Asymptotic properties of robust estimators of scale parameters.pdf Масштабный параметр используется в качестве меры, характеризующей степень разброса случайной величины, и определяется в виде функционала от функции распределения наблюдений. Общие требования, предъявляемые к таким функционалам, сформулированы в работах [1, 2]. Традиционно используемые на практике оценки масштабного параметра, такие как выборочная оценка S (0) стандартного отклонения S1 (F) и оценка S2 (0) среднего абсолютных отклонений S2 (F), имеют неограниченные функции влияния и очень чувствительны к наличию выбросов в выборке. Урезанные варианты этих оценок 5\(а) и S"2(a), 0(X1,...,Xn) = S(Fn) функционала S(F), F е З, является эквивариантной относительно линейных преобразований наблюдений X1,... , Xn , если выполняется равенство S(aX1 + b,...,aXn + b) =| a | S?(X1,...,Xn). Определение 3. Разброс с.в. X относительно 9x (масштабный параметр с.в. X) определяют в терминах «расстояния» X от 9x, т.е. с помощью величины | X -9x |, при этом говорят, что с.в. X1 имеет больший разброс относительно 9x1, чем с.в. X относительно 9x, если с.в. | X1 -9 | стохастически больше с.в. | X -9x |. Определение 4. Согласно условиям Бикеля и Лемана [1, 2] функционал S (F), F еЗ, определяет меру разброса, или масштабный параметр ф.р. F, если его выборочная оценка S"(X 1,...,Xn) = S(Fn) является эквивариантной относительно линейных преобразований наблюдений X1,...,Xn и он удовлетворяет условию монотонности относительно стохастического возрастания распределений, т.е. выполняется выражение S(F1) < S(F2) для F1 0 . Например, если в (1) положить i = 1, в качестве параметра положения выбрать среднее значение T1 (F) и положить V(t) = t, 0 < t < 1, то при у = 1 получим среднее абсолютных отклонений S2 (F), выборочная оценка которого запишется в виде S2 (0) = n -12 | Xi - X |. При у = 2 будем иметь стандартное отклонение. Если же положить V(t) = t /(1 - а), 0 < t < 1 -а , 0 0 . В частности, к этой группе относятся интер- а -квантильные размахи, определяемые в виде [ F-1 (1 - а) - F-1 (а)] / 2, 0 0, и т.п. Затем к преобразованным случайным величинам применяется либо «операция усреднения», либо «операция вычисления медианы», либо «операция вычисления оценки Ходжеса-Лемана» и т.п. Другими словами, функционал, описывающий масштабный параметр, определяется с помощью функционала, характеризующего параметр положения для преобразованных случайных величин. Например, «медианная операция», примененная к | X - T2(F) |у при у = 1, приводит к медиане абсолютных отклонений от медианы; «медианная операция», примененная к | X1 - X2 |у при у = 1, приводит к медиане абсолютных разностей; «операция усреднения» в этом случае приводит к средней разности Джини; «операция вычисления оценки Ходжеса-Лемана» приводит к еще не изученным оценкам масштабного параметра, например, такого вида: med{[|X, -med(X)| +1Xj -med(X)|]/2, 1

Скачать электронную версию публикации