Comparison of maximum likelihood method and moments method by estimating unextendable dead time period in the modulated .pdf Условия функционирования реальных систем массового обслуживания таковы, что если в отношении параметров обслуживающих устройств, как правило, можно утверждать, что они известны и с течением времени не меняются, то в отношении интенсивностей входящих потоков этого сказать во многих случаях нельзя. Более того, интенсивности входящих потоков заявок обычно меняются со временем, часто эти изменения носят случайный характер, что приводит к рассмотрению математических моделей дважды стохастических потоков событий (DSPPs) [1-9]. Интерес к рассмотрению дважды стохастических потоков событий проявляется неслучайно. Все это находит широкое применение в различных отраслях науки и техники, таких как теория сетей, P2P^ra и адаптивное вещание видео, системы оптической связи, статистическое моделирование, финансовая математика и др. [10-16]. В реальных ситуациях параметры, задающие входящий поток событий, известны либо частично, либо вообще неизвестны, либо, что еще более ухудшает ситуацию, изменяются со временем случайным образом. Поэтому при реализации адаптивного управления системой массового обслуживания возникают, в частности, следующие задачи: 1) задача фильтрации интенсивности потока (или задача оценивания состояний потока по наблюдениям за моментами наступления событий) [17-26]; 2) задача оценивания параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [27-33]. Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока выступает мертвое время регистрирующих приборов. Необходимость рассмотрения случая мертвого времени вызвана тем, что на практике любое регистрирующее устройство затрачивает на измерение и регистрацию события некоторое конечное время, в течение которого оно не способно правильно обработать следующее событие, т.е. событие, поступившее на обслуживающий прибор, порождает период так называемого мертвого времени [34-42], в течение которого другие наступившие события потока недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродле-вающееся мертвое время). В частности, подобные ситуации встречаются в компьютерных сетях, например, при использовании протокола случайного множественного доступа с обнаружением конфликта (протокол CSMA/CD). В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки»; в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети. В настоящей работе рассматривается модулированный обобщенный полусинхронный поток событий, являющийся обобщением полусинхронного потока [43-46] и обобщенного полусинхронного потока событий [47-49] и относящийся к классу дважды стохастических потоков событий с кусочно-постоянной интенсивностью. Достаточно обширная литература по исследованию подобных потоков событий (асинхронных, синхронных и полусинхронных) приведена в [21, 22, 50, 51], при этом в [50] показано, что данные потоки могут быть представлены в виде моделей MAP-потоков событий. В настоящей статье, являющейся непосредственным развитием работ [51-54], проводится сравнение оценок длительности мертвого времени в модулированном обобщенном полусинхронном потоке событий, полученных методом максимального правдоподобия (МП-оценки) и методом моментов (ММ-оценки) по наблюдениям за моментами наступления событий в потоке. 1. Постановка задачи Рассматривается модулированный обобщенный полусинхронный поток событий (далее - поток или поток событий), интенсивность которого является кусочно-постоянным стационарным случайным процессом X(t) с двумя состояниями X1 и X2 (Xj > X2 > 0). Будем говорить, что имеет место первое состояние процесса (потока), если X(t) = X1, и второе состояние процесса (потока), если X(t) = X 2. В течение временного интервала случайной длительности, когда процесс X(t) находится в состоянии Xi (X(t) = Xi), имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью Xi, i = 1,2. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе возможен в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности X1, при этом переход осуществляется с вероятностью р (0 < p < 1); с вероятностью 1 - р процесс X(t) остается в первом состоянии. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе также возможен в произвольный момент времени, не совпадающий с моментом наступления события, при этом длительность пребывания процесса X(t) в первом состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром р: F(т) = 1 - e-рт, т > 0 . Тогда длительность пребывания процесса X(t) в первом состоянии есть случайная величина с экспоненциальной функцией распределения F1(t) = 1 - e-(pXl+р)т, т > 0 . Переход из второго состояния процесса X(t) в первое в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности X 2 невозможен и может осуществляться только в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса X(t) во втором состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром а : F2(t) = 1 - e-ат, т > 0 . В момент окончания второго состояния процесса X(t) при его переходе из второго состояния в первое инициируется с вероятностью 5 (0 < 5 < 1) дополнительное событие. Отметим, что события пуассоновских потоков и дополнительные события неразличимы для наблюдателя. В сделанных предпосылках X(t) - скрытый марковский процесс. При этом матрицы инфинитезимальных характеристик принимают вид (1 - p)X1 pX а5 X 2 D = А = -(X1 +р) Р а(1 - 5) - (X2 + а) Элементами матрицы Dj являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - это интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - это интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает период мертвого времени фиксированной длительности T , в течение которого другие события потока недоступны наблюдению. По окончании периода мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности Т и т.д. (непродлевающееся мертвое время). Вариант возникающей ситуации приведен на рис.1, где 1, 2 - состояния процесса A(t); дополнительные события, которые могут наступать при переходе процесса A(t) из второго состояния в первое, помечены буквами 5; периоды мертвого времени длительности T помечены штриховкой; ненаблюдаемые события отображены черными кружками, наблюдаемые tb - белыми. Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на полуинтервале наблюдения (t0, t], где 10 - начало наблюдений, t -окончание наблюдений (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить 10 = 0 . Поскольку процесс A(t) является принципиально ненаблюдаемым, то говорить о состоянии потока можно только в вероятностном смысле. Вся доступная информация о потоке - это моменты наступления событий t1,t2,...,tk с начала наблюдения 10 до момента t. Наблюдаемый поток событий Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Параметры потока А, А2, p , Р, а , 5 полагаются известными, длительность мертвого времени T неизвестна. Необходимо в момент окончания наблюдений (в момент времени t) на основании выборки ti,t2,...,tk наблюденных моментов наступления событий потока осуществить методом максимального правдоподобия и методом моментов оценки T длительности мертвого времени и произвести сравнение получаемых оценок. 2. Оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени Обозначим через тк = tk+1 - tk , к = 1,2,..., значение длительности к-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (тк > 0 ). Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятности значений длительности к-го интервала есть Pt (тк) = Pt (т), т > 0 , для любого к (индекс T подчеркивает, что плотность вероятности зависит от длительности мертвого времени). В силу этого момент времени tk без потери общности можно положить равным нулю, т.е. момент наступления события есть т = 0 . Тогда одномерная плотность вероятности Pt(т), т > 0 , примет вид [51, 53]: |0, 0 T, e e z2 -- Z -- Р1 +Р: Р1 +Р; Z2 Z1 Z2 Z1 g-(Pi + Pi)T f (T) = Xia + (pli + p)(X2 + a5) + a(X -X2 -a5){(pXi + p)[(1 -p + p5)-X2 + 5p]-p^a} , F (T) F(T) = - qe-(pi+P2)T, pi = pX1 +p , p2 = a , q = Xi[l2 - p(X2 + a5)], Zi2 = -2- + X 2 +a+p + -yj (Xi -X 2 - a + p)2 + 4ap(i -5) JJ, 0 < zi < z2. Пусть xi = t2 - ti, x2 = t3 -t2, ..., xk = tk+i - tk, x1 > 0, x2 > 0, ..., xk > 0, - последовательность измеренных в результате наблюдения за потоком в течение интервала наблюдения (0, t ] значений длительностей интервалов между соседними событиями потока. Упорядочим величины xi, ..., хк по возрастанию: xmin = x(i) < х(2) 0, x2 > 0 , при этом x1 = 0 соответствует моменту t1 наступления события наблюдаемого потока; x2 = 0 соответствует моменту t2 наступления события наблюдаемого потока. Соответствующая совместная плотность вероятностей при этом есть pT(x1,x2), x1 > 0, x2 > 0 [51, 53]: pT(тьX2) = 0, 0 2). По данной выборке строится оценка теоретической ковариации (6). a- 3) Решается кубическое уравнение (8) [57], т.е. находятся корни x1, x2, x3; рассматривается слу чай a0 Ф 0. 4) Далее возможны три случая: 4.1) Вещественный корень один - xj, при этом x2, x3 - комплексно сопряженные корни, тогда: а) если xj < 0 , то Тмм = х min ; б) если x1 > 0, то: б.1) если TMMM > х min , то 7ММ = Х min ; б.2) если 0 < 7МММ < Х min , то 7ММ = 7МММ \ б.3) если TMMM < 0, то TMM = хmin . 4.2) Вещественных корня три, при этом x2 = x3, т.е. вещественных различных корней два - x1, x2 (x1 < x2), тогда: а) если x1 < x2 < 0, то TMM = х min ; б) если x1 < 0 < x2, то: б.1) если 7ММ >х min , то 7ММ =Х min; б.2) если 0 < 7ММ VMM, то ММ-оценка лучше МП-оценки. Отметим, что по определению оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени при конечных Tm будет всегда смещенная (Tmin > T); ее несмещенность реализуется только в асимптотическом случае при Tm ^ да . Т а б л и ц а 5 Результаты статистического эксперимента (X1 = 1, X2 = 0,5, р = 0,5, p = 0,2, а = 0,5, 5 = 0,2, T = 0,4) T m 10 20 30 40 50 VMn 0,62307 0,05566 0,01911 0,00494 0,00542 VMM 0,61807 0,05541 0,01790 0,00494 0,00542 VMn - VMM 0,00500 0,00025 0,00121 0 0 T m 600 700 800 900 1000 VMn 0,00003 0,00001 0,00002 0,00001 0,00001 VMM 0,00163 0,00050 0,00183 0,00182 0,00168 VMn - VMM -0,00160 -0,00049 -0,00181 -0,00181 -0,00167 Т а б л и ц а 6 Результаты статистического эксперимента (X1 = 0,7, X2 = 0,2, р = 0,5, p = 0,8, а = 1, 5 = 0,5, T = 0,2) T m 10 20 30 40 50 VMn 0,40721 0,08531 0,04087 0,00871 0,00649 VMM 0,40235 0,08448 0,04007 0,00911 0,00671 VMn - VMM 0,00486 0,00083 0,00080 -0,00040 -0,00023 T m 600 700 800 900 1000 VMn 0,00003 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 VMM 0,00083 0,00121 0,00121 0,00161 0,00161 VMn - VMM -0,00080 -0,00120 -0,00120 -0,00160 -0,00160 Т а б л и ц а 7 Результаты статистического эксперимента ( Xj = 1, X 2 = 0,5, р = 0,025, p = 0,5, а = 0,025, 5 = 0,5, T = 2 ) T m 10 20 30 40 50 VMn - 0,58607 0,28668 0,12089 0,06472 VMM - 0,58607 0,28668 0,12089 0,06472 VMn - VMM - 0 0 0 0 T m 600 700 800 900 1000 VMn 0,00025 0,00016 0,00012 0,00010 0,00009 VMM 0,02417 0,07572 0,03765 0,00010 0,03319 VMn - VMM -0,02392 -0,07556 -0,03752 0 -0,03309 Т а б л и ц а 8 Результаты статистического эксперимента (X1 = 5, X2 = 2,5, р = 0,5, p = 0,2, а = 0,5, 5 = 0,2, T = 0,4) T m 10 20 30 40 50 VMn 0,00163 0,00027 0,00014 0,00004 0,00004 VMM 0,00387 0,00150 0,00255 0,00629 0,00338 VMn - VMM -0,00224 -0,00123 -0,00241 -0,00625 -0,00334 T m 600 700 800 900 1000 VMn 0,00000019 0,00000015 0,00000013 0,00000012 0,00000010 VMM 0,01108566 0,00667453 0,01380863 0,01520267 0,01732796 VMn - VMM -0,01109 -0,00667 -0,01381 -0,01520 -0,01733 Анализ приведенных численных результатов показывает: 1) при малых временах наблюдения Tm за потоком (при малых Tm = 10, 20,..., 50) и малых значениях X1 < 1, X2 < X1 < 1 (в случае редкого потока) ММ-оценки лучше МП-оценок (когда разность VMn - VMM > 0) либо, по крайней мере, не хуже МП-оценок (когда разность VMn - VMM = 0), что является вполне естественным, так как при малых временах наблюдения оценка ТМП может быть достаточно сильно смещенной относительно T (см. табл. 5-7); 2) при больших временах наблюдения за потоком (при больших Tm = 600, 700, ...,1000) МП-оценки лучше ММ-оценок (когда разность VMn - VMM < 0) либо, по крайней мере, не хуже ММ-оценок (когда разность VMn - VMM = 0), что также является вполне естественным, так как при больших временах наблюдения смещение оценки TMn относительно T уменьшается; 3) в остальных случаях оценка максимального правдоподобия TMn оказывается лучше оценки TMM, полученной методом моментов (см. табл. 5-8). Заключение По результатам проведенного исследования по сравнению оценок длительности мертвого времени методом моментов и методом максимального правдоподобия для различных значений параметров модулированного обобщенного полусинхронного потока событий можно сделать вывод о том, что при малых временах наблюдения Tm за потоком и малых значениях А1 < 1, А2 < А1 < 1 (в случае редкого потока) предпочтительнее применять оценку TMM, полученную методом моментов; при больших временах наблюдения и / или больших значениях А1 > А2 > 1 (в случае нередкого потока) - оценку ТМП, полученную методом максимального правдоподобия. Кроме того, оценка максимального правдоподобия ТМП по таким характеристикам, как выборочные дисперсии и выборочные вариации, оказывается лучше оценки TMM , полученной методом моментов, по мере увеличения длительности мертвого времени Т при фиксированном значении времени моделирования Tm . Отдельно стоит отметить, что полученные результаты демонстрируют достаточно высокое качество оценивания длительности мертвого времени для обоих методов оценивания.

Скачать электронную версию публикации