Comparison of MM and ML estimation of dead time period in Modulated MAP.pdf Интенсивное развитие компьютерной техники и информационных технологий послужило стимулом к созданию важной сферы приложений теории массового обслуживания - проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, компьютерных сетей связи, спутниковых сетей, телекоммуникационных сетей и т.п. Интенсивность входящих потоков событий в системах и сетях массового обслуживания меняется со временем, как правило, случайно, поэтому возникает необходимость исследования математических моделей дважды стохастических потоков событий. Дважды стохастические потоки можно разделить на два класса: к первому классу относятся потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс [1]; ко второму классу относятся потоки с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний [2-5]. Отметим, что MAP-потоки событий относятся ко второму классу дважды стохастических потоков и наиболее характерны для реальных телекоммуникационных сетей [6]. При исследовании потоков событий выделяют два класса задач: оценивание состояний потока событий [7-10] и оценивание параметров потока [11-13] по наблюдениям за моментами наступления событий. Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока событий является мертвое время регистрирующих приборов, которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, наблюдению недоступны. Для того чтобы оценить потери заявок, возникающие из-за эффекта мертвого времени, необходимо оценить его длительность. Отметим, что задачи оценки длительности мертвого времени рассматривались в статьях [14-20] для обобщенного асинхронного, обобщенного полусинхронного и модулированного МАР-потока событий. В настоящей статье для решения задачи оценивания длительности мертвого времени используются метод моментов и метод максимального правдоподобия. При построении оценок применяются явный вид плотности вероятности значений длительности интервалов между соседними событиями, а также совместная плотность вероятности значений длительностей двух соседних интервалов между моментами наступления событий, которые получены в [19]. В работе описаны этапы построения ММ- и МП-оценок длительности мертвого времени. Приводятся численные результаты сравнения ММ- и МП-оценок и делается вывод о границах применимости рассмотренных методов для оценивания длительности мертвого времени при различных параметрах потока и времени наблюдения за потоком. 1. Постановка задачи Рассматривается модулированный MAP-поток событий с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный стационарный случайный процесс X(t) с двумя состояниями: X(t) = Xi и X(t) = X2 (X1 > > 0). Длительность пребывания процесса X(t) в i-м состоянии, i = 1,2, определяется двумя случайными величинами: 1) первая случайная величина распределена по экспоненциальному закону F,(1 = 1 - e~a, i = 1,2; в момент окончания i-го состояния процесс k(t) переходит с вероятностью единица из i-го состояния в j-е, i, j = 1,2 (i Ф j); 2) вторая случайная величина распределена по экспоненциальному закону F(2) = 1 - e~'k, i = 1,2; в момент окончания i-го состояния процесс k(t) переходит с вероятностью P1 (kj | k,) в j-е состояние (i Ф j) с наступлением события, либо с вероятностью P0 (kj | k,) переходит в j-е состояние (i Ф j) без наступления события, либо с вероятностью P\ (k, | k,) остается в i-м состоянии с наступлением события (P1 (kj | k,) + P0 (kj | k,) + P1 (k, | k,) = 1, i, j = 1,2, i Ф j). Первая и вторая случайные величины являются независимыми друг от друга. В сделанных предположениях k(t) - марковский процесс. Блочная матрица инфинитезимальных характеристик процесса k(t) при этом примет вид - (a! +k1) а! +k1Po (k2 | k1) а2 +k2P0(k11 k2) -(а2 +k2) k1P1 (k1| k1) k1P1(k 2 | k1) k2P1 (k1| k 2 ) k2P1(k 2 | k 2 ) D = = 1 do | dj . Элементами матрицы d1 являются интенсивности переходов процесса k(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы d0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы d0 - интенсивности выхода процесса k(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает время фиксированной длительности T (мертвое время), в течение которого другие события исходного модулированного MAP-потока недоступны наблюдению. По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности T и т.д. Пример возникающей ситуации приведен на рис. 1, где 1 и 2 - состояния процесса k(t), t\,t2... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке, жирной линией обозначены длительности мертвого времени; черными кружками обозначены события модулированного MAP-потока, недоступные наблюдению. P\(k\|k\) P\(k\|k\) 1 а1 J к а2 0, для любого k (индекс Т подчеркивает зависимость плотности вероятности от длительности мертвого времени). Вследствие этого момент tk без потери общности можно положить равным нулю, что то же самое, момент наступления событий наблюдаемого события потока есть т = 0. Тогда [20] плотность вероятности примет вид 0,0 T, Рт (т) = 1 1 Z Z - zi(t-t ) 2 -f (Т ) f (Т) z2 -- Z, - - Pi + P: Pi+P: z - z z - z f (Т) = A + {X, (1 - P0(X2 | Xi)) - X2(1 - P(Xi | X2)e -(Pl+P2)T, F (T ) F(T) = XiX2(1 - P0(X2 | Xi)P0(Xi | X2)) + X,«2(1 - P0(X2 |Xi)) + X2«i(1 - P0(Xi | X2))- X,X2Pe-(Pl+p2)T Pi = «, + Xi (1 - Pi (Xi | Xi)), P2 =«2 +X2 (1 - Pi (X 2 | X 2)), A = Pi + P2, Pi = X2Pi(Xi | X2 )(Xi +«1 ) + XiPi (Xi | Xi)(«2 + X2P0 (Xi | X2 )) , P2 = X1P1 (X2 | Xi)(X2 + «2 ) + X2Pi (X2 | X2 )(«i + XiP0 (X2 | Xi)), P = Pi (Xi | Xi )Pi (X2 | X2 ) - Pi (Xi | X2 )Pi (X2 | Xi) , («i +X1 +«2 + X2)W(«1 + X1 -«2 -X2)2 + 4(«1 + X1P0 (X2 | Xl))(«2 + X2P0 (X1 | X2)) 0 < z1 < z2. Отметим, что в (1) функция F(T) > 0 для любых T, 0 < T < т. Пусть т,,..., Tk - последовательность измеренных в результате наблюдения за потоком значений длительностей интервалов между соседними событиями потока. Упорядочим величины т,,..., Tk по возрастанию: тт1П = т(1) < .. .< T(k). В сделанных предпосылках наблюденный поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать начиная с момента tk, k = 1,2,. . С учетом (1) функция правдоподобия [20] запишется в виде l(x ,,«,, Pi (X i | X,), Pi (X j | X;-), P0 (X j | X , ),Т|т(1) ,...т Т > 0, (2) k Z, :П-- l=1 z2 - Z1 1 1 -z,(T Х2 >0, «1, «2, P, (Xj- | X,) + P, (Xj | X,) + P0 (Xj | X,) = 1, i, j = 1, 2, i Ф j, МП -оценка Тмп = т min . Итак, в процессе наблюдения за потоком событий вычисляются величины т^ k = 1,...,n, после чего находится vin = min тk и полагается ТМП = тmin . 3. ММ-оценка длительности мертвого времени В [19] показано, что модулированный МАР-поток событий в общем случае является коррелированным и только в частных случаях становится рекуррентным. Пусть Tk = tk+1 - tk, Tk+1 = tk+2 - tk+1, k = 1,2,..., - значения длительностей смежных k-го и k+l-го интервалов между соседними событиями потока. В силу стационарности потока можно положить k = 1 и рассматривать длительности интервалов т1 = t2 - t1, т2 = t3 - t2. Тогда т1 = 0 - моменту t1 наступления события наблюдаемого потока, а т2 = 0 соответствует моменту t2 наступления следующего события потока. При этом соответствующая совместная плотность вероятности значений длин соседних интервалов между моментами наступления событий рт (т1, т2) имеет вид [19]: pT(i1,12) = 0,0

Скачать электронную версию публикации