The probability density of the processes of yield interest rates.pdf Процессы краткосрочных процентных ставок порождают изменения многих рыночных индексов, а также лежат в основе определения стоимости рыночных активов и торговых контрактов. Особую роль они играют при расчетах временной структуры доходности. Поэтому разработка математических моделей таких процессов крайне интересна для финансовых аналитиков и исследователей рыночных проблем. Существует много версий изменения краткосрочных безрисковых процентных ставок в рамках теории диффузионных процессов. Однако до сих пор нет такой модели, которая была бы основой для построения временной структуры доходности, близкой к существующей на реальном финансовом рынке. Представляет интерес проанализировать эти модели с целью выяснения их особенностей в вероятностном смысле более подробно, чем это делалось их создателями и пользователями. Здесь будет сделан такой анализ для семейства моделей, использованных авторами трех широко известных статей [13], при их подгонке к реальным временным рядам доходности. Все рассматриваемые модели относятся к классу диффузионных, порождающих процессы X(t), описываемые уравнением dX(t) = ц,(Х(0) dt + c(X(t)) dW(t), t > to, X(to) = Xo, (1) где конкретное задание дрейфа ц(х) и волатильности с(х) определяет ту или иную конкретную модель. Некоторые модели, такие как модели Васичека, Кокса-Ингерсолла-Росса, геометрического броуновского движения, Ана - Гао, достаточно полно описаны в имеющейся литературе, но тем не менее их свойства приведены здесь для удобства сравнения с другими, менее известными или не исследованными моделями. Предлагаемый читателю анализ будет полезен для выяснения наиболее подходящих моделей краткосрочной ставки при определении временной структуры бескупонной доходности, приближающей реально наблюдаемую, по возможности, наилучшим образом. Схема анализа сводится к тому, что с помощью прямого уравнения Колмогорова выводится стационарная плотность вероятностей, при необходимости обсуждаются ее особенности и вычисляются первые четыре момента, обычно интересных на практике. Для рассмотренных моделей коэффициенты асимметрии и эксцесса, определяемые моментами третьего и четвертого порядка, зависят от единственного параметра, называемого параметром формы плотности, который, в свою очередь, определяется только отношением дисперсии к квадрату математического ожидания (это соответствует квадрату так называемого коэффициента вариации). 1. Модель Васичека Для ц(х) = к(9 - х), с2(х) = с2 получается процесс Орнштейна-Уленбека, в финансовой литературе обычно называемый моделью Васичека [4]. Плотность распределения вероятностей для этого процесса является нормальной с математическим ожиданием E[X] = 9 и дисперсией Var[X] = с2/2к: к 1 f (x) = л--e с . (2) n с 2. Модель CIR Для функций дрейфа и волатильности ц,(х) = к(9 - х) и с2(х) = с2х получаем неотрицательный процесс краткосрочной процентной ставки r(t), в финансовой литературе известный под названием модель Кокса-Ингерсолла-Росса (модель CIR) [5]. dr(t) = к(9 - r(t))dt +J2kDr (t)/ 9 dW(t), где 9 и D - стационарные математическое ожидание и дисперсия соответственно. Процесс CIR имеет гамма-распределение G с параметром масштаба с = 2к/с2 и параметром формы q = 2к9/с2: X(t) - G(2k/c2, 2к9/с2), так что cqxq-1 f (х) = C-(- e-cx, q > 0, x > 0. (3) T(q) Моменты этого распределения вычисляются по формуле = T(m + q) c m T(q) ' а важные числовые характеристики, такие как математическое ожидание E[X], дисперсия Var[X], коэффициенты асимметрии S и эксцесса К, имеют вид E[X] = q/с = 9, Var[X] = D = q/с2 = с29/2к, S , E[( X - E[X2)3] = 2fq , Var[ X ]3/2 y K_ E[(X -E[*P4] = 3 + 6 , Var[ X ]2 Если обозначить отношение дисперсии к квадрату математического ожидания символом ю, Var[ X ] 1 В й й й б ю =--, то q = -. В дальнейшем при сравнении свойств плотностей удобнее использовать зави- E[ X ]2 ю симости S(ю) и К(ю) вместо S(q) и K(q), так как довольно абстрактные параметры формы q для разных моделей по-разному зависят от вполне физически понятного отношения ю. 3. Модель Даффи-Кана В модели Даффи-Кана [6] ставка r(t) порождается уравнением c ц(х) = к(9 - х) и с(х) = у] у x + 5 = = 2kDX-0: 1 9-ro dr(t) = (ar(t) + P)dt +^у r (t) + 5 dW(t), yr(0) + 5 > 0, где к = - a > 0, 9 = - P > 0, D = iP-^ > 0, r0 = - - < 9. a 2a2 у Процесс r(t) имеет стационарную плотность вероятностей fx), которая является сдвинутой плотностью гамма с параметром сдвига r0, параметром формы q и параметром масштаба с, т.е. _с (х ro)q -с(x r0) f(x) _ (4) , r0 < x < да, T(q) где q _ (9 - r0)2/d, с _ (9 -ro)/D > 0, r0 - предельное нижнее значение процентной ставки r(t). Важные числовые характеристики стационарной плотности: E[X] _ q/с _ 9, Var[X = D _ qlc2, S _ 2y[q , К _ 3 + 6 lq. Здесь также q _ 11ю. Зависимости S(ra) и К(ю) для моделей CIR (1985) и Даффи-Кана одинаковы и представлены на рис.1, где сплошной линией показан коэффициент асимметрии S(ra), а прерывистой - коэффициент эксцесса К(ю). В таком же стиле будут показаны зависимости S(ra) и К(ю) на последующих рисунках. s,k 25 20 15 10 5 var (x) 2.0 e (x) 2 0.5 1.0 1.5 Рис. 1. Зависимости коэффициента асимметрии S(ro) и коэффициента эксцесса К(ю) от отношения дисперсии к квадрату математического ожидания для моделей CIR (1985) и Даффи-Кана Заметим, что только у моделей CIR (1985) и Даффи-Кана из рассмотренных в статье моделей коэффициент асимметрии уменьшается с ростом отношения дисперсии к квадрату математического ожидания ю. 4. Модель Лонгстаффа Модель Лонгстаффа [7] иногда называется моделью «с двойным корнем» и определяется диффузионным процессом с функциями дрейфа и диффузии ц(х) _ k(9 a2(x) _ a2x: dr(t) _ k (9 - ^/КО) dt + a Jr(f) dW(t). Такая модификация модели CIR приводит к тому, что плотность вероятностей процесса приобретает вид f(x) _ (2c)2qxq 1 e-2с^, q > 0, х > 0. 2r(2q) В этой модели параметр масштаба с _ 2kla2, а параметр формы q _ 2k0la2. Числовые характеристики процесса вычисляются по формулам ей _ qi+м, varm _ q(1+2q)(3+4q) 2c2 4c4 30 + 68q + 40q 2 Vq(1 + 2q) (3 + 4q)312 S _ > 0, K _ 3 210 + 629q + 674q2 + 288q3 + 32q4 > 3 2 q (1 + 2q) (3 + 4q) . Соответствующие зависимости S(ra) и К(ю) представлены Л ТГ 11 Для этой модели q _ -I- ю 4 на рис. 2. , 16 16 , 1 + - + -7 -1 ю ю2 S,K 20 15 10 2.0 E (X)2 Рис. 2. Зависимости коэффициента асимметрии Б(ю) и коэффициента эксцесса К(ю) от отношения дисперсии к квадрату математического ожидания для модели Лонгстаффа var (X) 5. Модель Ана-Гао В модели Ана-Гао [2] принимается, что дрейф и волатильность являются нелинейными ц,(х) _ = к(9-х)х и с2(х) _ с2х3. Процесс имеет стационарную плотность, имеющую вид ■e-c7х, х > 0, q c f(x) _ (5) r(q) х 1+q где параметр масштаба с _ 2£9/с2, параметр формы q _ 2 + 2к/с2. Такой процесс получается из процесса CIR преобразованием XAG _ 1/XCir. Моменты E[X] существуют только при условии, что m < q: r(q - m) T(q) q - 3 Пэтому числовые характеристики стационарной плотности процесса определяются формулами E[X] _ c/(q - 1) _ 2№/(2к + с2), Var[X] _ c2/(q -1)2(q - 2) _ 2кс297(2к + с2)2, E[X] = c/(q - 1) = 9, Var[X = c2/(q -2)(q - 1)2 = 92c2/(2k - c2), E[Xm] = о" r(q - m) r(q) Поэтому 5 = 4 JEl , q > 3; К = 3 (q - 2)(q + 5) > 3, q > 4. q - 3 (q - 4)(q - 3) Как выясняется, плотности вероятностей процессов в моделях Ана-Гао и Бреннана-Шварца совпадают с точностью до параметров формы, зависимость которых от параметров модели несколько другая ^БШ = 1 + 2k/c2, q^ = 2 + 2k/c2). Тем не менее для обеих моделей q = 2 + 1/ю, а зависимости S( 0, при помощи преобразования Y(t) = ln r(t) приводится к линейному виду dY(t) = (aj - p2/2 - a2 Y(t)) dt + p dW(t). Это уравнение допускает стационарное решение, для которго процесс Y(t) находится в явной форме i ( 2 Л Р_ 2 Z(t), ^(t) = pj e-a 2 sdW (s), Y(t) = - a 2 + a oo где ^(t) - случайный гауссовский процесс с нулевым средним, дисперсией Var[^(t)] = p2/2a2 и ковариацией Cov[ti, t2] = p2 e-a2't2-t1'/2a2. Таким образом, модель BDT генерирует логарифмически нормальный процесс, также допуская стационарный режим (рис. 4). Первые стационарные моменты процентной ставки вычисляются по формулам a1 - 2 Л P_ 4 1 a v 4 E[r] = exp ( 'j2 ^ 2a 2 v 2 2 = 1 + < a1 q = exp 2 Var[r] = (q - 1) exp a S = (q + 2)^, К = q 4 + 2 q3 + 3 q2 - 3 > 3. S,K 20 15 10 2.0 E (X)2 Рис. 4. Зависимости коэффициента асимметрии S(ro) и коэффициента эксцесса К(ю) от отношения дисперсии к квадрату математического ожидания для модели BDT var (X) 8. Модель Эйт-Сахэйлиа Эйт-Сахэйлиа [10] протестировал основные модели краткосрочных процентных ставок, включая описанные здесь, приспосабливая их к реальным временным рядам ставок. При этом оказалось, что на допустимом уровне согласия все эти ставки отвергались из-за свойств дрейфа и волатильности. В связи с этим он предложил следующие функции дрейфа и диффузии: ц(г) = а0 + a1r + а2г2 + а- 1 -L, c2(r) = Р0 + p1r + Р2г2. r' В такой модели функции дрейфа и диффузии нелинейные и допускают широкое разнообразие формы. Для того чтобы с2(х) > 0 для любых х, необходимо, чтобы параметры функции диффузии обеспечивали выполнение неравенств Р0 > 0, Р2 > 0, у2 = 4Р0Р2 - Р12 > 0. Соответствующая таким функциям плотность вероятностей дается выражением f (х) = NхВ (Р0 + Р1Х + Р2Х 2)С-1ехр[Лх + Darctg(E + Fx)], х > 0, где N - постоянная нормировки, Л = 2а2/Р2 < 0, В = 2а-1/Р0 > 0, С = а^ - а2Р1/Р22 - а-^, D = 2[2а0 + а2Р12/Р22 -а1Р1/Р2 - 2а2Р0/Р2 - а-^^/у, Е = Р1/у, F = Рз/у. Поскольку плотность f (х) при x ^ 0 имеет порядок 0(хВ), В > 0, а при x ^ да ее порядок 0(хВ + С ехр[Лх]), Л < 0, то для всякого конечного m моменты E[X] существуют, однако их аналитические выражения получить не удается и они могут быть вычислены только численно. 9. Модель CKLS В модели CKLS [1] принято, что ц(х) = k(9 - х), с (х) = с х . Оказывается, что случайный процесс, соответствующий этой модели, имеет стационарную плотность If - 29 f (х) = -т exp (6) х > 0, - c x x x где с = k/9c2, n - постоянная нормировки. Заметим, что у такого случайного процесса существует только первый момент Е[Х] = 9. 10. Модель без ограничений I В модель без ограничений I (unrestricted model) [2] dr = (а1 +а 2 r + a3r 2)dt + yja 4 + a5r + a6r3 dw (7) вложены все предыдущие модели, т.е. при определенном задании параметров {а} можно получить любую из предыдущих моделей. В табл. 1 показано соответствие для этого случая. Таблица 1 Модели процессов Ограничения параметров Модель Уравнение процесса а3 = а5 = а6 = 0 Модель Васичека dr = к (0 - r )dt + adw а3 = а4 = а6 = 0 Модель CIR dr = к (0 - r)dt + стл/rdz а3 = а6 = 0 Модель Даффи-Кана dr = к (0 - r)dt + -yja + Prdw а1 = а4 = а5 = 0 Модель Ана-Гао dr = к (0 - r)rdt + ar1,5dw а3 = а4 = а5 = 0 Модель CKLS dr = к (0 - r)dt + ar1,5 dw Стационарная плотность вероятностей процесса «без ограничений I» имеет вид • 2(a1 +a 2u +a3u ) a 4 +a5u + a6u 3 с(ю) f (х) = exp a2( x) •2ц(и) a2(u) с(ю) du du exp a 4 +a5 x + a6 x где с(ю) - постоянная нормировки, ю - некоторое фиксированное число из множества возможных значений случайного процесса, конкретное значение которого не играет роли. Получение явного вида выражения для f (х) возможно, однако оно в общем случае будет иметь довольно громоздкий вид, и мы ограничимся только тем случаем, когда значения параметров { а} обеспечивают выполнение свойств плотности вероятностей для f (х). Во-первых, заметим, что волатильность реального процесса должна быть вещественной функцией, поэтому a2(r) = a 4 + a5 r + a 6 r3 > 0 для любых значений r. При этом аналитические свойства плотности вероятностей зависят от типа корней уравнения a 4 + a5 r + a 6 r3 = 0, a6 > 0. Знак дискриминанта A = (а5/3а6)3 + (а4/2а6)2 определяет число действительных и комплексных корней уравнения. Когда A > 0, имеется один действительный и два комплексных сопряженных корня. Когда A < 0, имеется три различных действительных корня. Когда A = 0, корни действительные кратные. Пусть A > 0 и действительным корнем является r = r0, тогда можно записать a 4 + a5 r + a 6 r3 = o^ (r-r0) (r2 + pr + q), где r0, p и q имеют довольно сложные аналитические выражения и из-за этого здесь не приводятся. Однако если о = 0, то r0 = 0, p = 0, q = а5/аб. В этом случае плотность вероятностей имеет вид (x 2\ -exp J 2(ai +a2u +a3u ) du \ с(ю) a6 u (u +a5 /a6) f (х) = a 6 x (x + a5 /a6) Oi-O -1 2a1 1 2a2 (8) rarctg 6 = n x exp x a (a6 x +a5)c aa где n - нормировочная константа. Для существования плотности вероятностей ее параметры должны удовлетворять неравенствам а1/а5 > 1, а3/а6 < 1. Для того чтобы при этом существовали стационарные моменты, для математического ожидания нужно а3/а6 < 0,5, для дисперсии - а3/а6 < 0, для третьего момента - а3/а6 < -0,5 и для четвертого момента - а3/а6 < -1. В случае A < 0 обозначим корни уравнения r0 > r1 > r2 так, что a4 +a5r + a6r3 = 06 (r - r0) (r - ri) (r - r2). 5^6 Тогда плотность вероятностей выражается в виде 2) 2(aj +a2r +a3rj2) 2(aj +a2r2+a3r22) - 1---1--1 f (х) = n (X - r0) a6(r0-ri)(r0-r2) (X - r1) a6(r0-ri)(ri-r2) (X - r2) a6(r0-r2)(ri-r2) . (9) При этом должны выполняться неравенства 2(a1 + a2r0 + a3r02) >a6(r0 - r1)(r0 - r2), аз/аб < 1. Для существования m-го момента, кроме этого, необходимо соблюдение условия m/2 + а3/аб < 1. К сожалению, аналитические выражения нормировочной константы n и моментов E[rm] очень громоздки, включают гипергеометрические функции. При сделанных предположениях процесс, характеризующийся такой плотностью, имеет нижнюю границу, равную наибольшему корню, т.е. r(t) > r0. 11. Модель без ограничений II В этой модели [1] процесс краткосрочной ставки следует уравнению dr = к(9 - r)dt + crуdw , у > 0. (10) Поэтому ц,(х) = к(9 - х), с 2( х) = с2 х2 у и стационарная плотность вероятностей имеет вид f (х)=Xkexp q 2 9 X X , х > 0, (11) x 2у 1 - 2у 2 - 2у где q = 2к/с2, n - постоянная нормировки. Значения парметра у, допускающие сходимость интеграла от Дх) на интервале (0, да), определяются неравенством у > 0,5. При этом имеются две особые точки: у = 0,5 (в этом случае такая модель краткосрочной ставки превращается в модель CIR) и у = 1, когда плотность вероятностей сводится к виду, соответствующему процессу модели Бреннана-Шварца: cq+1 / f (х) =-е-c / X, c = 9q, х > 0. (12) r(q +1) X 2+q Когда у = 1,5, модель «без ограничений II» известна под наименованием «модель CKLS». Модель Васичека тоже является вложенной моделью в модель «без ограничений II» при у = 0. Для того чтобы существовали моменты порядка m, необходимо выполнение неравенства 2у > m + 1. К сожалению, выражение для плотности вероятностей в общем случае не позволяет вычислять моменты в аналитическом виде, хотя для упомянутых частных случаев они вычисляются просто. В табл. 2 приведены характеристики плотностей этого семейства. Т а б л и ц а 2 Характеристики моделей Модель у E[X] Var[X] Асимметрия Эксцесс Васичека 0 9 с2 2к 0 3 CIR 0,5 q=9 c q с29 c2 = ~2к 2Jq 3 + 6 1 q Бреннана-Шварца 1,0 c = 9 q 92 92с2 q - 2 2k - с2 4 q - 3 3(q - 2)(q + 5) (q - 4)(q - 3) CKLS 1,5 q=9 c Не существует Не существует Не существует 12. Модель СЕУ Еще до появления модели «без ограничений II» использовались модели, которые потом оказались частными случаями этой модели. Одной из них является модель CEV - модель процесса с постоянной эластичностью дисперсии (Constant Elasticity of Variance), предложенная Дж. Коксом и С. Россом [11], когда в уравнении (10) принято 0 = 0: dr = - krdt + с r у dw так, что дрейф ц,(х) = - кх, коэффициент диффузии с2(х) = с2х2у, а стационарная плотность вероятностей имеет вид с (2 - 2у)1/(2-2у) Г[(0,5-у)/(1 -у)] (cx)27 2-2у Л (cx) f (х) = х > 0, exp 2-27 где c = (2к/с2)1/(2-2у). Значения парметра у, допускающие сходимость интеграла от Дх) на интервале (0, да), определяются неравенством у < 0,5. Заметим, что это условие допускает не только положительные, но и отрицательные значения параметра у. При у Ф 0 процесс r(t) с вероятностью единица принимает только неотрицательные значения. Причем для у > 0 плотность вероятностей монотонно убывает с возрастанием аргумента (т.е. меньшие значения процесса более вероятны, чем большие). Если у < 0, плотность вероятностей f (х) имеет максимум в точке х = (- с2 у / к)0,5(1-у). Значение у = 0 является особой точкой, в этом случае процесс r(t) имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией с2/2к. Это семейство плотностей проиллюстрирована на рис. 5. -2-10 1 2 Рис. 5. Плотности вероятностей для различных значений у (у = 0, у < 0, у > 0) Когда у Ф 0, моменты E[X] вычисляются по формуле E[X т] = Г(т +1 - 2у) (2 - 2у)0,5™/(1-у) cm Г(2 - 2у) : поэтому важные числовые характеристики в модели СЕУ такие: E[X] = (2 - 2у)1/(2-2у)/ c Г (1 - 2у^ 2 - 2у (■ 1 - 2у W 3 - 2у 2 - 2у J { 2 - 2у 0,5-у Л Г 2-у 1 -у J I1-у Г - 3 Г Л ( 0,5 -у ЛГГ 1,5-уЛ 1-у J I1-у S = Г V V -1 JJ ( ( 0,5 -у JГГ 1,5 -у Л Л3/2 1-у J V 1 -у Л ( 1 - 2у V 2 - 2у + 2 1/(1-у) c 2 Г Уаг[Х] = (2 - 2у) -1 Г ( 0,5 -у ? гГ 2,5 -у ^ 1 -у J V 1 -у г К _ (05-у I2 rf ^ 1 -у J 11 -у Ч С ( 0,5-уТ 1,5 - у ^ ^ г 1-у J V1-У - 4 г + 6 г / 2 г V ч -1 JJ С 0,5 -У Vf 1,5 - у ^ 1-У J I 1-У - 3 В модели CЕV роль параметра формы выполняет параметр волатильности модели у. К сожалению, в аналитическом виде можно привести только зависимость ю(у), поскольку зависимость у(ю) здесь слож -1. Довольно грубое, но простое приближение обратной зависимости 1 - 2у W 3 - 2у 2-2уJ V2-2у ная: ю(у) _ г имеет вид у(ю) « 0,14 + 0,25 ln ю. Зависимости S(ra) и К(ю) для модели CЕV представлены на рис. 6. s,k 10 г 8 6 4 2 var [X] 2.0 E{X) 2 0.5 1.0 1.5 Рис. 6. Зависимости коэффициента асимметрии S( r0 > 0. r JV r0 J 0 Как видим, эта плотность является, по существу, смесью двух распределений Парето, известных как распределения с тяжелыми хвостами. Для существования моментов E[X] необходимы достаточно большие значения параметра у, если это выполнено, то моменты будут вычисляться по формуле E[X m] = 2(у-1)(2у- Ц r0m , у > L + m , (2у - m - 1)(2у - m - 2)' 2 и важные числовые характеристики процесса r(t) будут иметь вид (2у -1) Г02 (у- 2)(2у- 3): 2 (у- 1)(2у-1) Г0 (2у- 2)(2у- 3) E[X] = , у > 1,5; Var[X] = , у > 2; 6 (у-2)(4у2 -4у + 3) (у- 3)(2у- 1)(2у - 5) 2 (2у +1) у-2 V2, у > 2,5; K = S = > 6, у > 3. > (2у-5) \2у-1 В этой модели снова параметр волатильности у играет роль параметра формы плотности вероятностей, при этом у = 0,25 (5 + V9 + 8/ю). Зависимости S(ra) и К(ю) для модели CIR представлены на рис. 7. S,K 20 15 10 5 Var [X] 0.20 EX2 0.00 0.05 0.10 0.15 Рис. 7. Зависимости коэффициента асимметрии S(ro) и коэффициента эксцесса К(ю) от отношения дисперсии к квадрату математического ожидания для модели CIR Заметим, что в оригинальной модели CIR предлагалось у = 1,5, однако это не гарантирует существования даже математического ожидания. На рис. 8 представлены примеры плотностей вероятностей для модели CIR для различных значений параметра у. Для плотностей характерно, что чем меньше у, тем более тяжелый хвост; чем больше у, тем выше максимум, который встречается в точке хтах = 2 у Г)/(2у- 1) . 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Рис. 8. Примеры плотностей вероятностей для значений параметра у = 1,5; 2; 3 Во всех рассмотренных выше моделях существует стационарный режим. Однако встречаются такие модели, в которых такого режима не существует. К ним относятся модели, приведённые ниже. 14. Модель Мертона Предложенная Р. Мертоном [13] модель dr(t) _ a dt + a dW(t) порождает нестационарный гауссовский процесс r(t) _ r(0) + a t + a W(t) с линейно изменяющимся математическим ожиданием и линейно возрастающей дисперсией E[r |r(0)] _ r(0) + at, Var[r] _ a2t. 15. Модель Дотана Уравнение модели Дотана [14] dr _ ar dW можно решить в явном виде r(t) _ r(0) exp[- 0,5 a2t + a W(t)], откуда следует, что порождаемый моделью случайный процесс имеет логарифмически нормальное распределение и является нестационарным. Математическое ожидание постоянно, но дисперсия экспоненциально возрастает со временем: E[r |r(0)] _ r(0), Var[r |r(0)] _ r(0)2 (exp[a2t] - 1). 16. Модель GBM Модель GBM - модель процесса геометрического броуновского движения (Geometric Brownian Motion): dr _ p r dt + a r dW, введена в современный финансовый анализ П. Самюэльсоном [15]. Она порождает нестационарный процесс геометрического броуновского движения r(t) _ r(0) exp[(P - 0,5 a2) t + a W(t)]. В этом случае плотность вероятностей процентной ставки логарифмически нормальная. В отличие от модели BDT, которая порождает тоже логарифмически нормальный процесс, моменты r(t) в модели GBM не постоянные, а экспоненциально возрастают со временем, в частности E[r |r(0)] _ r(0) exp[P t], Var[r |r(0)] _ r(0)2 (q - 1) exp[2p t], q _ exp[a2t], S _ (q + 2)VI-I, K_ q4 + 2q3 + 3q2 - 3. Выражения для асимметрии и эксцесса совпадают с выражениями для этих характеристик модели BDT, но параметр q здесь не является константой, а экспоненциально возрастает со временем. Заключение Процесс краткосрочных ставок является основой для построения временной структуры доходности бескупонных облигаций. Это объясняет интерес к анализу процессов краткосрочных ставок. В литературе имеется много статей, в которых сделаны эмпирические попытки найти модель краткосрочной ставки, для которой получается временная структура, наиболее близкая к реально наблюдаемой структуре [1-3]. С другой стороны, в литературе содержатся также эмпирические факты о том, что известные модели краткосрочной ставки не обеспечивают этого на допустимом уровне согласия [10]. Поэтому имеется необходимость в аналитических исследованиях, позволяющих определить степень риска при применении той или иной модели краткосрочной ставки доходности. В качестве необходимой основы для этого нужны сведения о вероятностных свойствах процессов краткосрочной ставки, выраженные аналитически, что и предлагается в настоящей статье.

Скачать электронную версию публикации