Comparison of ML- and MM-estimations of period duration of dead time in modulated synchronous double stochastic flow of .pdf Настоящая работа является непосредственным продолжением исследований модулированного синхронного потока событий, начатых в статьях [1-4]. Математические модели систем массового обслуживания широко применяются при описании реальных физических, технических и других процессов и систем. В связи с бурным развитием компьютерной техники и информационных технологий появилась важная сфера приложений теории массового обслуживания - проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, компьютерных сетей связи, спутниковых сетей, телекоммуникационных сетей, объединенных термином «цифровые сети интегрального обслуживания» (ЦСИО) [5, 6]. На практике параметры, определяющие входящий поток событий, изменяются со временем, при этом изменения часто носят случайный характер, последнее приводит к рассмотрению дважды стохастических потоков событий. По-видимому, одной из первых работ в этом направлении явилась статья [7], где дважды стохастический поток определяется как поток, интенсивность которого есть случайный процесс. Дважды стохастические потоки можно разделить на два класса: к первому классу относятся потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс; ко второму классу относятся потоки, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний. Подчеркнем, что потоки второго класса впервые введены в рассмотрение практически одновременно в 1979 г. в [8, 9]. В [8] введенные потоки названы MC (Markov сЬат)-потоками, в [9] - MVP (Markov versatile ргосе88е8)-потоками. Отечественные и зарубежные авторы в своих работах начала 90-х гг. [1015] называют данные потоки событий либо дважды стохастическими потоками событий, либо MAP-потоками, либо MC-потоками. В свою очередь, в зависимости от того, каким образом происходит переход из состояния в состояние, MC-потоки можно разделить на три типа: 1) синхронные потоки событий [16-21]; 2) асинхронные и обобщенные асинхронные потоки событий [22-27]; 3) полусинхронные и обобщенные полусинхронные потоки событий [28-33]. В [34] введены в рассмотрение MAP-потоки событий первого порядка (собственно MAP-потоки, введенные в [9]) и MAP-потоки событий второго порядка (суперпозиция двух синхронизированных MAP-потоков первого порядка, отличающихся друг от друга исходными параметрами). В [34] показывается, что синхронный MC-поток является частным случаем MAP-потока первого порядка, асинхронный и полусинхронный MC-потоки являются частными случаями MAP-потока второго порядка. В реальных ситуациях параметры, задающие входящий поток событий, известны либо частично, либо вообще неизвестны, либо (что еще более ухудшает ситуацию) изменяются со временем. Вследствие этого возникают задачи: 1) оценки состояний потока (задача фильтрации интенсивности потока) по наблюдениям за моментами наступления событий [24, 27, 29, 33, 35-38]; 2) оценка параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [16-22, 26, 28, 30-32]. Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока событий выступает мертвое время регистрирующих приборов [39-46], которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродле-вающееся мертвое время). В качестве примера приведем протокол CSMA/CD - протокол случайного множественного доступа с обнаружением конфликта, широко используемого в компьютерных сетях. В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети по ней рассылается сигнал «заглушки» («пробки»); в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети. Для того чтобы оценить потери заявок в узле сети, необходимо оценить длительность мертвого времени, которым выступает в данном случае длительность сигнала «заглушки». В работах [1-4] введен в рассмотрение модулированный синхронный поток событий, являющийся обобщением синхронного потока и относящийся к классу MAP-потоков второго порядка. Синхронный поток событий систематически исследовался в работах [16-21, 47-52]. В статье [4] приведено решение задачи оценивания длительности мертвого времени методом максимального правдоподобия [53-59]. В настоящей статье предложено решение задачи оценивания длительности мертвого времени методом моментов, а также производится сравнение оценок, полученных методом максимального правдоподобия (МП-оценки) и методом моментов (ММ-оценки). 1. Постановка задачи Рассматривается модулированный синхронный поток событий (далее - поток), интенсивность которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс X(t) с двумя состояниями: Xx, X2 (Xx > X2 > 0). Длительность пребывания процесса X(t) (потока) в i-м состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром ai, i = 1,2 . Если процесс X(t) в момент времени t находится в i-м состоянии, то на полуинтервале [t, t + At), где At - достаточно малая величина, с вероятностью aiAt + o(At) пребывание процесса X(t) в i-м состоянии закончится и процесс X(t) с вероятностью, равной единице, перейдет из i-го состояния в j-е (i, j = 1,2; i Ф j). В течение временного интервала случайной длительности, когда X(t) = X i, имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью X i, i = 1,2. Кроме того, переход из первого состояния процесса X(t) во второе возможен в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности Xx; переход осуществляется с вероятностью p (0 < p < 1); с вероятностью 1-p процесс X(t) остается в первом состоянии. Переход из второго состояния процесса X (t) в первое возможен также в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности X2; переход осуществляется с вероятностью q (0 0, X2 > 0 (Xj > X2), ах > 0, а2 > 0, 0 < р < 1, 0 < q < 1 МП-оценка длительности мертвого времени ТМП = т min . Таким образом, в процессе наблюдения потока событий (в течение временного интервала (t0, t)) вычисляются величины т к, к = 1, n , после чего находится Т min = min Т к , к = 1 П и полагается ТМП = Т min . 3. ММ-оценка длительности мертвого времени В [3] показано, что модулированный синхронный поток событий, функционирующий в условиях мертвого времени, в общем случае является коррелированным потоком. Только в частных случаях поток становится рекуррентным. Пусть т к = tk+i _ tk, т к+1 = tk+2 _ tk+j, к = 1,2,..., - значения длительностей смежных к-го и к+1-го интервалов между соседними событиями наблюдаемого потока (к = 1,2,...). В силу стационарности потока можно положить к = 1 и рассматривать длительности интервалов тх = 12 - tj, т 2 = t3 -12, Tj > 0, т 2 > 0. Тогда тх = 0 соответствует моменту tj наступления события наблюдаемого потока, а т 2 = 0 соответствует моменту 12 наступления следующего события наблюдаемого потока. При этом соответствующая совместная плотность вероятностей имеет вид pT (тк,тк+1) = pT (тj,т2), т 1 > 0, т2 > 0 [2]: pT (Tj, Т2) = 0,0 < Tj T, C = e-(Pj+p7)T P(\ -^2)(Pj^j(0)-Р2^2(0))(Pj + P2) T [(-2 - -j)(-j -2 -Pe-(p1+p2)T)(Pj + P2)" x{-j-2 -e-(p1+p2)T(2-1 -2 -(Pj +P2X-j + -2)) + e-2(p1+p2)T(-1-2 -(Pj +P2)(^j(1 -p) + M1 -q)))}, (3) P1 =aj + pXj, P2 =a2 + qX 2, P = ^2(1 - P - q), P1 = (1 - p) X1a2 + qX2( X1 +a1), P2 = (1 - q) X 2a1 + pX1( X 2 +a2), Я1 (0) = Pj / (Pj + P2 ), (0) = P2 / (Pj + P2 ), где -1, - 2, pT (tк) определены в (1) для т = тк, к = 1,2 . Теоретическая ковариация значений т1, т 2 запишется в виде 2 J трт (T)dT T COv(T1, Т2 ) = J JТ1Т2PT (T1, Т2)dT1dT2 - TT 2x Подставляя плотность (1) и совместную плотность (3) в интегральную формулу для ковариации (4), находим ее явный вид (4) Ct , (5) -2 -1 V -1-2 J cov(T1, т 2) = где -1 , -2 определены в (1), CT определена в (3). Пусть за время наблюдения (в течение временного интервала (t0, t)) реализовалось n интервалов (tk, tk+1), к = 1,n, длительности тк, к = 1, n . Введем статистику: Л 1 n-1 ( 1 n \1 COv(т1, Т 2 ) =--S TkTk+1 Tk I , (6) n -1 к=1 V n к=1 J которая представляет собой оценку теоретической ковариации (5). Тогда согласно методу моментов уравнение моментов, учитывающее коррелированность потока событий, может быть записано в виде / - ^2 л 2 1 CT = cov(x1, т2). (7) л , d = -(z1Z2 )2 cov(t1 , т2 ), V Z1Z2 ) Подставляя в (7) значение CT , определенное в (3), вводя новую переменную х = e (р1+р2)Т и проделывая необходимые выкладки, выражение (7) преобразуется в кубическое уравнение относительно переменной х вида ах3 + Ьх 2 + сх + d = 0, а = h[ -(в1 + в2)(М1 - Р) +X2(1 - q))l Ь = -fh[2z^^(Pi + в2)(zi + Z2)] + P2cOv(Ti, т2)1, (8) л h + 2P cov(t1, т 2) C = z1z2 h = P(^1 - X 2XP1P - в 2P2)/(Z1 Z 2 (в1 + в 2 )) 2 . При решении уравнения (8) определяются три корня х{, i = 1,2,3 , которые, в свою очередь, задают три ММ-оценки длительности мертвого времени: Тмм =--1-ln Xt, i = 1,2,3 . в1 + в 2 Используя полученные выше ММ-оценки Т^, i = 1,2,3, можно определить единственную ММ-оценку ТММ по алгоритму, описанному ниже: 1. Для заданного набора параметров X1, X 2, а1, а 2, p, q, Т осуществляется в течение длительности Tm = t ед. времени интервала наблюдения (интервала моделирования) имитационное моделирование наблюдаемого потока событий. л 2. В ходе имитационного моделирования находится оценка ковариации cov(t1, т2), определенная в (6), где n > 2 (n - количество наблюдаемых событий потока). 3. Используя метод Виета, решается кубическое уравнение (8), т.е. находятся три корня xi, i = 1,2,3 , ко торые могут быть как вещественными, так и комплексными. 4. Если все корни х{, i = 1,2,3, - комплексные, то ТММ = т min . 5. Если среди трех корней xi, i = 1,2,3, выделяется хотя бы один вещественный, то возможны три варианта: 5.1. Вещественный корень один - х1, тогда: 5.П. Если х1 < ^ то Тмм = т min. 5.1.2. Если х1 > 0, то: 5.L2.L Тмм = тmin , если TMM > Tmin . 5.1.2.2. ТММ = TMM , если 0 < TMM < Tmin . 5.1.2.3. ТММ = Тmin , если ТМм < 0. 5.2. Вещественных корня два - х1, х2 (х1 < х2), тогда: 5.2Л. Если х1 < х2 < 0 , то ТММ = Тmin . 5.2.2. Если х1 < 0 < х2, то: 5.2.2.1. ТММ = тmin , если T}JM > Tmin . 5 222. ТММ = TMM , если 0 < TMM

Скачать электронную версию публикации