On quadratic models of yield in risk-neutral world.pdf Обычно отправным пунктом при анализе квадратичных моделей временной структуры являются следующие предположения. Считается, что существует некоторое пространство состояний финансового рынка, описываемое «-мерным вектором x, в котором состояние эволюционирует согласно диффузионному случайному процессу x(t), описываемому стохастическим дифференциальным уравнением dx(t) = ^(x(t)) dt + a(x(t)) dW(t), t > t0, x(t0) = х0, с векторной функцией дрейфа ^(х) и матрицей волатильности с(х), W(t) - «-мерный вектор независимых винеровских процессов. Предполагается, что краткосрочная ставка доходности r(t) связана с состоянием финансового рынка x(t) соотношением (верхний индекс Т означает транспонирование): r(t) = а + x(t)T^x(t) + x(t)Y x(t) е R«, а е R1, ¥ е R«x«, ц е R«x1. (1) При этом считается, что состояние финансового рынка (вектор x(t)) непосредственно не наблюдается, а процентная ставка r(t) - наблюдаемый процесс. Так что x(t) - совокупность неких латентных переменных, которые сами не наблюдаются, но влияют на временную структуру доходности активов, стоимость которых определяется процентной ставкой. Заметим, что поскольку по экономическому смыслу процентная ставка r(t) принимает положительные значения для любых ненулевых x(t), то естественно считать матрицу ^ положительно определенной. Кроме того, поскольку x(t)TVx(t) = x(t)Tx¥i:x(t), для любых x(t), не нарушая общности, можно считать матрицу ^ также симметрической. Заметим, что согласно (1) процентная ставка принимает свое минимальное значение, когда 2^x(t) + ц = 0, т.е. при x(t) = xmin = - ц/2, и минимальное значение процентной ставки в этой модели равно rmn = а - у1^-1 ц/4. Модель (1)-(2), называемая квадратичной, составляет некоторую конкуренцию аффинным моделям временной структуры доходности, которые допускают аналитическое представление решений, но довольно неточно описывают реальные временные структуры доходности. Считается, что квадратичная модель будет приспосабливаться к реальным временным структурам более точно. Попытаемся рассмотреть этот вопрос для класса диффузионных процессов x(t) с линейной функцией дрейфа ^(х) = £(&-х) и постоянной матрицей волатильности с(х) = с [1]: dx(t) = к(& - х^)) dt + с dW(t), t > t0, х(^) = х0. (2) Как это принято, временную структуру доходности находят с помощью уравнения временной структуры [2], или, как его иногда называют [1], фундаментального уравнения с частными производными для цен бескупонных облигаций Р(г(х), t; T): SP SP,/n ч 1 - +-k (3- x) + -tr d t dx 2 f я 2d ^ d P T -ttOO dx2 -r(x)P(r(x),t;T) = -dpaX(x), P(r(x), t; T) = 1. (3) dx Здесь T - дата погашения облигации, X(x) - вектор-функция рыночной цены риска. Здесь цена облигации P(r(x), t; T) определяется как условное математическое ожидание по объективной вероятностной мере при фиксированном текущем состоянии, т.е. при фиксированных t и r(x), а следовательно, и x(t). Рыночная цена риска задается вектором [1]: X(x) = XQ + X x, где XQ и X - вектор и матрица постоянных коэффициентов. Решение уравнения (3) имеет достаточно простой вид P(r(x), t; t + x) = exp[- xTa(x)x - xTb(x) - c(x)], (4) где для удобства введен символ x = T- t для обозначения срока до погашения облигации, а также (nxn) матрица a(x), n-вектор b(x) и скалярная функция c(x). Заметим, что с возрастанием компонент вектора x (точнее, с возрастанием xTWx) процентная ставка r увеличивается. С другой стороны, по экономическому смыслу с увеличением процентной ставки цена актива P(r(x), t; t + x) должна уменьшаться. Следовательно, с увеличением xTWx величина xTa(x)x тоже должна увеличиваться. Кроме того, для любых x справедливо равенство xTa(x)x = xTa(x)Tx. Поэтому без ограничения общности можно считать, что матрица a(x) является положительно определенной и симметрической. Функции a(x), b(x) и c(x) находятся из следующей системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений daX) + 2 a(x) aaTa(x) + a(x)(k + aX1) + (к + aX1)T a(x) -W = 0, d x dbx) + 2a(x) aaTb(x) + (k + aA,1)Tb(x) - 2a(x)(k3 - aX0) - у = 0, (5) d x - tr[aaTa(x)] +1 b(x)T aaTb(x) - b(x)T (k3 - aX0) - a = 0 d x 2 с начальными условиями a(0) = 0, b(0) = 0, c(0) = 0. Чаще всего для представления временной структуры процентных ставок доходности используют кривую доходности y(x, x) или форвардную кривую f(x, x), которые, согласно определениям, выражаются через цену бескупонной облигации по формулам y(x x) = - lnP(x,t,t + x) = xTa(x)x + b(x)T x + c(x) (6) x x fx, x) = -d ln P( x,t,t + x) = xT daix) x + Г x + (7) dx dx ^ dx ) dx К сожалению, система уравнений (5) в общем случае не имеет аналитического решения, поэтому особенности кривых доходности y(x, x) и fx, x) не удается исследовать аналитическим путем, хотя численный анализ не представляет особого труда, если заданы параметры к, 3, a, а, у, W, X0 и X1. Тем не менее в некоторых частных случаях найти аналитические решения и провести некоторый анализ удается. Рассмотрим эти случаи. Однако сначала представим математически эквивалентное, но более компактное описание рассматриваемой квадратичной модели. Поскольку матрица W положительно определенная и симметрическая, ее собственные числа положительные, а она имеет диагональную форму W = ЬТФЬ, где Ф - диагональная матрица, по диагонали которой расположены положительные собственные числа {ф}, L - матрица нормированных собственных векторов, которая обладает следующими свойствами: LT= L-1, LTL = LLT = I, где I - единичная матрица. Преобразуем пространство состояний {x} в пространство состояний {X} с помощью линейного преобразования X = Lx - LW-1y/2. Тогда вместо модели процентной ставки (1)-(2) можно получить эквивалентное описание процентной ставки соотношениями dX(t) = K(0 - X(t)) dt + S dW(t), t > t0, X(ta) = Xq, (8) r(t) = rmm + X(t)^X(t), X(t) e Rn, r e R1, Ф e Rnxn, (9) где обозначено K = LkLT, 0 = L3 + LW-1y/2, S = La, XQ = Lx0 - LW-1y/2. Модель (8)-(9) отличается от модели (1)-(2) более простым, но эквивалентным представлением процентной ставки r(t) через другие латентные переменные {X}, взаимно однозначно связанные с исходными латентными переменными {х}. Свойства диффузионных процессов X(t) и x(t) совпадают с точностью до значений факторов уравнений (2) и (8). Модель (8)-(9) приводит к уравнению (3) для функции P(r(X), t; t + х), в котором вместо к, & и о используются K, 0 и S соответственно, а также вместо h(x) - функция рыночной цены риска Л(Х) = Ло + ЛХ, где вектор Л0 и матрица Л1 постоянных коэффициентов определяются формулами Л0 = h0 + WVA Л1 = h LT. Решение этого уравнения имеет вид, аналогичный выражению (4): P(r(X), t; t + х) = exp[-XTA(x)X-XTB(x) - C(x)], (10) где функции A(x), B(x) и C(x) находятся из системы + 2A(x) SSTA(x) + A(x)(K + SЛl) + (K + S^)TA(x) -Ф = 0, d x dBx) + 2 A(x) SSTB(x) + (K + SЛ1)T B(x) - 2A(x)(K0 - SЛ0) = 0, (11) d x - tr[SSTA(x)] +1 B(x)T SSTB(x) - B(x)T (K0 - SЛ0) - ^ = 0 d x 2 с начальными условиями A(0) = 0, B(0) = 0, C(0) = 0. Эта система, так же как и система (5), в общем случае в аналитическом виде неразрешима. Поэтому прежде чем переходить к частным случаям, которые разрешимы, попытаемся обсудить в общих чертах свойства решений системы (11), если они существуют. В литературе достаточно много внимания уделено свойствам кривых доходности и форвардных кривых для аффинных моделей временных структур [3-9]. В этом классе моделей кривые y(x) и fx) стартуют из одной точки (это общее свойство по определению этих кривых, оно основано на том, что краткосрочная доходность равна процентной ставке r) и при x - ю стремятся к одному и тому же постоянному пределу. Достаточным условием последнего может служить тот факт, что при x - ю функции A(x) и B(x) имеют конечные пределы A(ro) и B(ro), что обеспечивает независимость предельных значений у(ю) и fro) от текущих (начальных) значений переменных состояния рынка X(t) и обеспечивает предельное равенство lim iAx) = lim A = 0. x-^ю d x x-ю x x-ю d x x-ю x При этом предельные значения A = A(ro) и B = B(ro) могут быть найдены из системы алгебраических матричных уравнений 2 ASST A + A( K + SЛ1) + (K + S^)T A = Ф, 2 ASSTB + (K + 5Л1 )T B - 2A(K0 - SЛ0) = 0. Наконец, предельное свойство функции C(x) находится из третьего уравнения системы dC(x) C(x) r . 1 lim-^ = lim -- = tr[SS1 A] - BT SS1B + B1 (K0 - SЛ0) + rmin. x-ю dx x-ю x 2 Используя перечисленные свойства функций временной структуры A(x), B(x) и C(x), можно установить соответствующие свойства кривых y(x) и fx): при x = 0 они стартуют из одной общей точки у(0) = f0) = r(X) и при x - ю стремятся к одному общему пределу у(ю) = _Дю) = tr[SST Л(ю)] - 2 B(ю)T SST B(ю) + B(ю)T (K0 - SЛ0) + rmin. Характер поведения кривых между этими предельными точками существенно зависит от стартового значения процентной ставки r(X), как это имеет место в аффинных моделях [3-10]. Однако поскольку некоторому фиксированному значению ставки r(X) = r0 соответствует некоторое множество векторов X, вполне возможна зависимость кривых и от величины векторов из этого множества. Для того чтобы выяснить этот вопрос, рассмотрим частный случай, допускающий аналитическое решение системы (11). Сделаем следующие предположения: Предположение 1. Процесс латентных переменных X(t), порождаемый уравнением (8), является нормальным процессом со стационарным математическим ожиданием 0. Предположим, что 0 = 0. Заметим, что такое предположение принимается довольно часто, например в моделях [11, 12]. Предположение 2. Рассмотрим случай, когда вероятностные свойства процентной ставки г(Х) подчиняются нейтральной к риску вероятностной мере. Это означает, что средняя ставка доходности актива совпадает с краткосрочной процентной ставкой, иначе говоря, пусть Л(Х = Л0 + ЛХ = 0, т.е. Л0 = 0 и Л1 = 0. Такое предположение упрощает анализ, но идеализирует рыночные отношения. Получающиеся при этом результаты отражают основные закономерности, а введение в расчеты рыночных цен риска обычно только изменяет численные значения, не меняя закономерностей (см., например рис. 3.6, 3.7, 3.8 в [10] для аффинных моделей). При этих предположениях система (11) упрощается и имеет вид ^^ + 2 А(т) SST А(т) + А(т)K + KTА(т) - Ф = 0, А(0) = 0, d т ^^ + 2 А(т) SSTВ(т) + KTВ(т) = 0, В(0) = 0, d т ^^ - tr[ SST А(т)] + -2 В(т)т SST В(т) - rmin = 0, C(0) = 0. d т 2 Выясняется, что уравнение для В(т) оказывается линейным однородным дифференциальным уравнением с нулевыми начальными условиями, а это приводит к тому, что функция В(т) равна нулю для всех значений т > 0. Таким образом, система (11) становится еще проще: ^^ = -2 А(т) SST А(т) - А(т)K -KT А(т) + Ф, А(0) = 0, (12) d т ^^ = tr[SST А(т)] + rmin, C(0) = 0. (13) d т При этом собственно уравнением является только первое для матрицы А(т), а второе - это формула для производной функции С(т). Предположение 3. Латентные переменные, составляющие вектор X(t), являются независимыми случайными процессами. Это достигается в том случае, когда матрицы K и S являются положительно определенными диагональными. Такое предположение вовсе не означает, что исходные переменные состояния в уравнении (2) независимы, поскольку диагональность матриц K и S в уравнении (8) не означает, что матрицы k и с в уравнении (2) являются диагональными. Они связаны соотношениями K = LkLT, S = Lc, где L - матрица нормированных собственных векторов, которая обычно диагональной не является. Пусть ki - элемент матрицы K, стоящий на i-м месте главной диагонали, s, - элемент матрицы S, стоящий на i-м месте главной диагонали, фг- - i-е собственное число матрицы занимающее i-е место главной диагонали матрицы Ф. Если использовать предположение 3 в матричном уравнении (12) и рассмотреть систему скалярных дифференциальных уравнений для элементов матрицы А(т), то можно заметить, что для каждого элемента АДт), j Ф k, получается однородное линейное дифференциальное уравнение с нулевым начальным условием. Это означает, что решения всех этих уравнений нулевые, т.е. Ajk(т) = 0, j Ф k, для всех т > 0. Учитывая этот факт можно получить для каждого элемента матрицы А(т), стоящего на главной диагонали, уравнение в следующем виде: ^^ = - 2 s2Аи (т)2 - 2k,А, (т) + фг, Ай(0) = 0, 1 < i < п. (14) d т Таким образом, при сделанных предположениях матричное уравнение (12) распадается на п независимых уравнений Риккати (14) для диагональных элементов матрицы А(т), а недиагональные элементы оказываются нулевыми, т.е. матрица А(т) - диагональная. Поскольку коэффициенты уравнения (14) являются константами, используя разделение переменных, можно привести это уравнение к симметричной форме (для краткости индексы здесь опускаем): dA -о-о-= - d т, 2 s А 2+ 2kA-ф что с учетом начального условия А(0) = 0 дает следующее решение: _Ф,- [1 - exp(-2^ к2 + 2s^)]_ 1 < . < -1 -1 -1 , 1 < - < п. к,- + Vк-2 + + Цк} + 2s^i - к-)ехр(-2тyjk2 + ) Л- (т) = (15) Таким образом, для положительных к,, s, и ф,- функция Лй(т) является монотонно возрастающей функцией от Лй(0) = 0 при т = 0 до конечного предела Ф, 1 < i < п, л,, («) = ■ к, V2 2 кj + 2s- ф,- . Для функции С(т) из равенства (13) получаем соотношение siфi[1 - exp(-2Viт)] 1 к- + Vi + (Vi - к- )exp(-2Viт) Л Л +Z (16) = r ' II 1 + ш,- exp(2Vi т) 1 + ш,- Vi + к, Vi - кi ln V V - (V- + К )т (17) dC (т) d т Поэтому п 1 ( ( C (т) = т rmin + Z 7 i=1 2 J Таким образом, в рассматриваемом иллюстративном частном случае кривую доходности у(т, X) и форвардную кривую _Дт, X) можно выразить в явной аналитической форме 1 ( п Л У(т, X) = -т Z Л11 (т)X/ + C (т) V i =1 где функции Лй(т) и С(т) вычисляются по формулам (15) и (17), Лт. X) = id-Af>Xf + dm, ,=1 d т d т а производные функций Лй(т) и С(т) вычисляются по формулам (14), (15) и (16). Кривые доходности у(т, X) и _Дт, X) определяются выражениями, из которых видно, что кривые зависят не от компонент вектора X, а от их квадратов. Кроме того они явно зависят не от собственных чисел {ф,}, а от чисел {v,}, взаимнооднозначно связанных с ф,-. Поэтому для удобства рассуждений в дальнейшем введем в рассмотрение вместо переменных {X,2, ф,} переменные {z,, v,} согласно формулам преобразования z, - ф-X2 > 0, Vi - + 2s2ф1 > к,, 1 < i < п. 2 - к 2 X,22-f, Ф, -^-к- > 0, 1 < , < п. ф,- 2s,2 Равенства (15)-(17) можно представить в более компактной форме с помощью гиперболических функций, что дает более компактные выражения для кривых у(т, X) и Л(т, X) в виде ( п1 Z- Л Л - кiт JJ 2Л ( 2 z, - + ln ch(viт) + - sh(viт) (18) vi cth(viт) + к1 V Дт | z, Ф) = rmin + 2т i=1 V п ( Vj2 z- 1 v2 - к- (19) + ^(т | z, Ф) = rmin +Z j=1 V (v- ch(v-т) + к1 sh(v-т))2 2 vi cth(viт) + к-Используя выражения (9), (14)-(17), можно убедиться, что имеют место следующие предельные соотношения: lim ^ = ,im Aiilll = ф,, ,im ddl = lim Cd) = rm т^0 d т т^0 т т^-0 dт т^0 т lim у(т, X) = lim f (т, X) = r = rmm + X y;X2 = Vn + X z,; t^Q t^Q i=i i=i lim ^MH = lim МП = q, т^ю n V. - k i=1 2 т^ю T dT C (t) dC (t) lim = lim i=1 k + V n si Ф/ rmin + Е т^ю d T т^ю T n V - k lim у(т, X) = lim f (т, X) = rmm+ £ - у(ю). (21) 2 т^ю i=1 т^ю Таким образом, обе кривые Y(t | z, ф) и F(t | z, ф) при изменении т от нуля до ю, стартуя от значения процентной ставки r, определяемой текущими значениями переменных состояния, стремятся к общему пределу у(ю), не зависящему от текущего состояния, а зависящему только от параметров модели. Заметим, что функции (18) и (19) для малых т имеют следующие производные: 1 n 1 n = 2 ЕФ/(*? - 2kiX2) = - £ (v2 - k2 - 4k,z2). 2 ,_i 4 ,■_ d т d т 2 т=0 ~ i=1 i=1 Это говорит о том, что при малых т, во-первых, форвардная кривая изменяется в два раза быстрее, чем кривая доходности, и, во-вторых, вектор латентных переменных X может определять знак производных. То есть при фиксированной стартовой процентной ставке r в зависимости от вектораXкривые Y(t | z, ф) и F(t | z, ф) для малых т могут как возрастать, так и убывать. Анализ временных структур аффинного класса показал, что характер кривых доходностей существенно зависит от текущей (стартовой) процентной ставки r, хотя предельное значение долгосрочной доходности от текущей ставки не зависит и определяется только параметрами модели. В квадратичных моделях текущая процентная ставка r при построении кривых доходности в явном виде не используется, вместо нее используются значения латентных переменных X, которые при известных параметрах модели однозначно определяют процентную ставку r. Однако в квадратичных моделях одно и то же значение процентной ставки r может быть получено для некоторого набора различных переменных состояния X. Интересно выяснить, каково разнообразие кривых доходности при фиксированной процентной ставке, определяемой разнообразием переменных состояния, соответствующих этой фиксированной процентной ставке. Точнее, какова ширина полосы, в которой лежат все возможные кривые доходности (или форвардные кривые), соответствующие некоторой фиксированной ставке r и различным стартовым векторам X. dY(т | ф, X) 1 dF(т | ф, X) Рассмотрим множество кривых доходности, стартующих от процентной ставки r и имеющих предельную доходность у(ю). Процентная ставка в скалярной форме определяется с помощью соотношения (9) выражением т=0 r = rmin + XTOX = rmin + £ ф^2 = i=1 (22) rmin + i=1 С помощью (18) запишем Y(t | z, ф) = r -L mf 2T V n min + £ ^ i=1 1 z + T Vi cth(vit) + ki ki ch(Vi t)+-sh(Vi t) (23) 2 V Рассмотрим сначала случай, когда матрица Ф (т.е. набор собственных чисел {фг}) фиксирована. Будем называть кривую доходности Y(t | z, ф) (форвардную кривую) допустимой, если Y(0 | z, ф) = r и Y(ro | z, ф) = у(ю). Ширина полосы, в которой лежат все возможные допустимые кривые доходности, определяется разностью Ymax(T, z) - Ymin(T, z), где Ymax(T, z) - максимум Y(t | z, ф) по z при ограничении (22), а Ymin(T, z) - аналогичный минимум. Переменные z. - неотрицательные величины, которые принимают значения в интервале (0, r - rmin). Как следует из (23) доходность определяется как сумма n положительных слагаемых, каждое из которых, в свою очередь, распадается на два положительных слагаемых, из которых только первое зависит от z;. Тогда максимизация (минимизация) доходности Y(t | z,ф) достигается просто: нужно найти максимальный (минимальный) коэффициент при Zi и назначить максимальное значение для соответствующего ему параметра zi. Обозначим символом M индекс i, для которого v; cth(v-T) + k; < < Vj cth(Vjт) + kj для всех j. Аналогично обозначим символом m индекс i, для которого v; cth(v-T) + к; > > Vj cth(Vjт) + kj для всех j. Тогда верхняя и нижняя границы рассматриваемой полосы при заданной матрице Ф определятся соотношениями ch(vi t) + k sh(vi t) n f ! > О r - r„ Ymax(т, z) rmin + - ln 2t ■ + T Vm cth(Vm t) + км 2 i=1 v f r-r ch(v; t) + - sh(v; t) T vm cth(vmT) + km i=1 Таким образом, ширина полосы, в которой лежат все возможные допустимые кривые доходности Y(t | z, ф) при фиксированной процентной ставке r и заданной матрице Ф, равна f r - rmin r - rmin ^ 1 > О n -ln 2t Ymin(т, z) rmin + + Ay = ^axC^ z) - Ymin(т, z) = T m 2 VM cth(vMt) + kM vm cth(vmT) + k Аналогично решается проблема определения верхней Fmax(T, z) и нижней границ Fmin(T, z) для допустимых форвардных кривых: У vi z, F(t | z, ф) = rmin i=1 (vi ch(vit) + ki sh(viT))Z Пусть символом H обозначается индекс i, для которого ch(v-T) + (ki / v;) sh(Viт) < < ch(Vjt) + (kj / Vj) sh(Vjт) для всех j. Аналогично обозначим символом h индекс i, для которого ch(vii) + (ki / v; ) sh(Viт) > ch(Vjт) + (kj / Vj) sh(Vjт) для всех j. Тогда верхняя и нижняя границы рассматриваемой полосы при заданной матрице Ф определятся соотношениями ( 2 j 2 vi - ki 1 + 2 vi cth(viт) + ki Fmax(т, z) rmin + 2 j 2 Vi - ki n1 VH(r - rmin ) 2 +Z (Vh ch(VHt) + kH sh(Vht))1 ;=1 2 Vi cth(Vit) + ki 1 2 j 2 Vi - ki n Vh(r - rmin) Fmin (т, z) r min (Vh ch(VhT) + kh sh(VhT))2 i=1 2 v; cth(ViT) + ki Ширина полосы, в которой лежат все возможные допустимые форвардные кривые F(t | z, ф) при фиксированной процентной ставке r и заданной матрице Ф, равна VH (r - rmin ) V2(r - rmin ) 1 Af = Fmax(T, z) - Fmm(T, z) = Т Теперь исследуем влияние матрицы Ф на исследуемое множество допустимых кривых доходности (форвардных кривых), составляющих рассматриваемую полосу. Элементы этой матрицы определяют не только процентную ставку (22), но и предельную доходность y(o>): n v- - k y(x>) = rmin + ; i=1 (24) 2 Поскольку матрица Ф задается набором собственных чисел {ф;}, то и допустимый набор матриц может определяться в пространстве положительных собственных чисел. Однако проблема выбора матриц Ф будет сложнее, так как эти матрицы определяют не только стартовую процентную ставку r, но и предельную долгосрочную доходность y(o>). Поэтому обсуждаемое разнообразие матриц (или, что одно и то же, разнообразие наборов чисел {v}) должно удовлетворять не только равенству (22), но и соотношению (24) при фиксированных r и y(

Скачать электронную версию публикации