On a quadratic model of yield term structure.pdf В рамках теории диффузионных процессов существуют разнообразные версии изменения краткосрочных процентных ставок доходности. Тем не менее до сих пор не появилось такой модели, которая смогла бы быть подходящей основой для построения временной структуры доходности, близкой к существующей на реальном финансовом рынке. Наиболее известны модели процентных ставок, приводящие к аффинным временным структурам доходности, поскольку они просты и подразумевают решение в аналитическом виде. Однако воспроизведения реальных временных структур с помощью аффинных моделей неточны. В последнее время развитие моделей идет в двух направлениях: увеличение размерности моделей и отказ от аффинных свойств. В качестве представителей такого развития наиболее популярны сейчас так называемые квадратичные модели процессов процентных ставок [1], в которых процесс процентной ставки r(t) задается уравнениями dX(t) = ^(X(t)) dt + c(X(t)) dW(t), t > to, X(to) = Xo, r(t) = a + X(t)T¥X(t), X(t) e Rn, a e R1, ¥ e Rnxn. Обычно a > 0, ¥ - симметрическая положительно определенная матрица. Когда вектор В,(Х) линейно зависит от X, а матрица с(Х) не зависит от X, процесс X(t) является гауссовым и в стационарном режиме имеет, скажем, математическое ожидание ц и матрицу ковариации V. Утверждение. При принятых условиях производящая функция моментов процесса процентной ставки r(t) определяется соотношением M(Z) = еаz-*Ty/2+ VT(V-2zV¥V)-1 ц/2 I V l'^ , \V - 2zV¥V|1/2 ' где |V = detV, z - вещественная переменная с областью определения, задаваемой неравенством | V- 2 z V¥V | > 0. Следствие 1. Стационарное математическое ожидание процесса r(t) E[r] = a + цт¥ц + Vo¥, n n где o - сумма произведений соответствующих элементов матриц, Vo¥ = ^ Z Vy ¥ у . i=1 у=1 Следствие 2. Пусть ^ и V - диагональные матрицы ^ = у1, V = vI. В этом случае T 1 M(z) = ea2-ц Цz2zvу)_-_ (1 -2zvу)n/2 ' а основные стационарные моменты процесса r(t) вычисляются по формулам E\r\ = а + n v у + цтц у, Var[r] = 2v (n v + 2ц) у2, E[(r - E\r\f\ = 8v2 (n v + 3ц) у3. Следствие 3. Если условия следствия 2 дополнить равенством ц = 0, то маргинальным распределением процесса r(t) будет сдвинутое распределение гамма с параметром сдвига а, параметром масштаба 1/2vy и параметром формы n/2. Заметим, что сдвинутое распределение гамма характеризует также краткосрочную процентную ставку в модели Даффи-Кана, где процесс r(t) следует стохастическому дифференциальному уравнению \2\ (1) dr(t) = k(9 - r(t))dt +к\2kDr(t) a dW(t). 9 -a Таким образом, модель Даффи-Кана (1) и квадратичная модель dX(t) = -KX(t) dt + Е dW(t), t > to, X(to) = Xo, r(t) = a + X(t)Tx¥X(t), X(t) e Rn, a e R1, ¥ e Rnxn, (2) порождают случайные процессы r(t) с одним и тем же распределением, когда условия следствий 2 и 3 выполняются, т.е. K = kI, Е - диагональная матрица с элементами V2kv , ^ = у1. При этом параметры уравнения (1) должны быть согласованы с параметрами модели (2) следующими равенствами: 9 = a + n v у, D = 2 n v2y2. Представляет интерес выяснить, насколько разными (или близкими) будут временные структуры процентных ставок доходности для этих двух моделей при данных условиях. Рассмотрим этот вопрос в нейтральной к риску постановке, когда рыночные цены риска равны нулю. Основываясь на известных результатах [2], временную структуру процентных ставок доходности у(т) (кривую доходности) и форвардных процентных ставок f (т) (форвардную кривую) для модели (1) можно записать в виде В(т) Пу^ ln(1 + gB(T)) (3) (4) 1 -у:(т) = a + (r-a)-+ т G Tg f1(T) = r + ту k В(т) - k В(т) (r - a) - 2Ьу В(т) 2 (r - a), + Gj , 8 =Jk2 + 4Ьу , g = (e-k)/2, G = (e + k)/2. где В(т) = Заметим, что обе эти кривые имеют одни и те же предельные значения как при краткосрочных, так и при долгосрочных доходностях: ng lim Jj(t) = lim^(т) = r ; lim у^т) = lim ^(т) = y(да) = a + - < 9. т^0 т^0 т^да т^да 2 (5) (6) (7) Для модели (2) эти кривые определяются с помощью гиперболических функций соотношениями [3] 2у,Х2 ( n 1 У2(т) = a + 2 - ,=1 2т - + ln ch(8;- т) + - sh(8;- т) 8, - k; т 8, Cth(8;-т) + kt 8 2 у ,Х,2 1 f2(т) = a + 2 ,=1 8 2 - k,2 ^ (8, ch(8,т) + kt sh(8,т))2 2 8,- cth(8,-т) + kt V2 n 2 k, + > k,, 1 < i < n. Согласно (2) имеем r = a +2 у,-Х,- . Для нашего случая, когда по где 8, = принятым предположениям параметры k, v и у не зависят от индекса, формулы (6) и (7) упрощаются к виду ,=1 , ч r-а n , ( к , , ] пк у2(т) = а +----- + - In I ch(s т) + -sh(s т) I --, Tsctn(sT) + тк 2т ^ s J 2 - к2 (9) ' (r -а) /2СО = а + (s ch(sT) + к sh(sT)) 2 scth(sT) + к который не предусматривает явной зависимости от конкретных значений латентных переменных состояния Х, а парметры k, s и v те же, что и в формулах (3) и (4). Анализ показывает, что кривые (8) и (9) имеют одинаковые предельные значения как при краткосрочных, так и при долгосрочных доходностях, точно такие же, как у кривых (3) и (4), приведенных в равенствах (5). Из представлений (8) и (9) видно, что при предположениях следствий 2 и 3 в квадратичной модели (2) при фиксированной процентной ставке r в отличие от ожидаемого семейства кривых, как в [3], существуют единственные кривые у2(т) и /2(т). Это объясняется тем, что эти кривые зависят не от конкретных значений Хи а от суммы квадратов всех переменных состояний Х, которая как раз задает фиксированную процентную ставку r. Заметим, что функции (3)-(4) и (8)-(9) для малых т имеют следующие производные: 1 dy2(т) dyx (т) 1 d/Кт) 1 d/2(x) к (9- r) 'т 0 4 d т 0 т=0 т=0 т=0 т=0 где 9 = а + п v у - стационарное математическое ожидание процесса процентной ставки r(t). Это говорит, в частности, о том, что при малых т, во-первых, форвардная кривая изменяется в два раза быстрее, чем кривая доходности для обеих моделей, во-вторых, вектор латентных переменных X не влияет на знак производных, и, в-третьих, кривые квадратичной модели при малых т изменяются в два раза быстрее, чем кривые аффинной модели Даффи-Кана. Как известно, в практике обычно встречаются кривые доходности (и форвардные кривые) трех типов: нормальные (монотонно возрастающие), инверсные (монотонно убывающие) и кривые с максимумом («горбатые»). Все эти три типа могут порождаться рассматриваемыми здесь моделями в зависимости от значения стартовой процентной ставки r. Когда r < у(да), получается нормальная кривая. Когда r > 9, кривые доходности инверсные. Если у(да) < r < 9, кривая доходности имеет максимум. На рис. 1-3 для иллюстрации эти случаи показаны. Чтобы представить эти кривые «целиком» для всего интервала значений сроков до погашения т е (0, да), использовано нелинейное преобразование сроков до погашения u = 1 - е-р т, которое отображает положительную полуось (0, да) в единичный интервал (0, 1). Принятое при расчетах численное значение р = ln10/30 = 0,07675 соответствует тому, что сроки до погашения от 0 до 30 отображаются в интервал (0; 0,9). Так что у(т) отображает Y(u), а / (т) отображает F(u), где т = - ln(1 - u) / р. Y,F 0.35 0.30 0.25 Рис. 1. Нормальные типы кривых Y(u) и F(u); r = 0,2 < у(да) = 0,3625 u Кривые доходности Y(u) показаны сплошными линиями, а форвардные кривые F(u) - пунктирными. Круглыми маркерами показаны предельные значения доходностей при т ^ 0 (u ^ 0) и при т ^ да (u ^ 1). Кривые доходности для модели Даффи-Кана располагаются ниже соответствующих кривых квадратичной модели для нормального типа (рис. 1) и выше - для инверсного типа (рис. 2). В качестве параметров моделей были выбраны следующие: а = 0, n = 5, v = 0,08, у = 1, к = 0,7 (к = 0,5 для рис. 3), 9 = 0,4, у(да) = 0,3625 (у(да) = 0,3508 для рис. 3). Y,F Рис. 2. Инверсные типы кривых; r = 0,5 > 9 = 0,4 Таким образом, когда в квадратичной модели любой размерности n латентные переменные состояния Х независимы и одинаково распределены по нормальному закону с нулевым средним, то временная структура процентных ставок доходности не зависит от конкретных значений переменных Х, а определяется только стартовым значением r текущей краткосрочной процентной ставки точно так же, как в аффинных моделях. При этом долгосрочные предельные ставки получаются такими же, как в модели Даффи-Кана. Причем распределение вероятностей процесса краткосрочной процентной ставки в этих моделях оказывается идентичным - сдвинутым гамма-распределением. Y,F Рис. 3. Кривые с максимумом; у(да) = 0,3508 < r = 0,37 < 9 = 0,4 Особенностью квадратичной модели является более быстрая, чем в модели Даффи-Кана, сходимость к предельному значению долгосрочной доходности, которая иллюстрируется на рис. 4 с помощью отношений SY = Y2(u) ~ У (да) SF = F2(u) ~ У(да) Yl(u) - у(да)' Fx(u) - y (да)' 0,5). К сожалению, хотя квадратичные модели доходности активно обсуждаются в литературе, природа квадратичных моделей оказывается загадочной, поскольку они являются математическими абстракциями, и ни один из авторов, описывающих свойства этих моделей, не привел объяснения, каким образом пользователь этих моделей может наблюдать значения латентных переменных состояния Х и вообще существуют ли они, как они определяются и каков их экономический смысл.

Скачать электронную версию публикации