Simple approximation of an insurance company ruin probability for cramer-lundberg model with stochastic premiums.pdf Стандартной задачей актуарной математики является задача вычисления вероятности разорения страховой компании, т.е. вероятности ситуации, когда страховая компания не может исполнять свои финансовые обязательства ввиду отсутствия денежных средств при различных предположениях о потоках, поступающих в компанию страховых премий и страховых выплат, производимых страховой компанией [1-3]. Сложность состоит, как правило, в нахождении явных решений соответствующих инте-гро-дифференциальных уравнений, определяющих вероятность разорения. Поэтому представляет интерес нахождение оценок для вероятности разорения, для построения которых не нужно решать соответствующие уравнения. В настоящей работе предлагается и исследуется оценка вероятности разорения страховой компании для модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями [4, 5]. 1. Модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями Модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями строится при следующих предположениях: предполагается, что поток страховых премий, поступающих в компанию, является пуассонов-ским с интенсивностью X, премии - независимые, одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения Ф(x) и моментами ak = M{xk} [Там же]. Страховые выплаты также образуют пуассоновский поток с интенсивностью ц, выплаты - независимые, одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения x) и моментами bk = M{xkJ. Предполагается также, что с начала деятельности страховой компании прошло достаточно длительное время, так что поток страховых выплат не зависит от потока страховых премий. Пусть в момент времени t капитал компании равен S(t). При сделанных выше предположениях m(t) n(t) S(t) = S(0) +X x -X У, , (1) i=1 j=1 где S(0) - начальный капитал, m(t) - число поступивших страховых премий до момента времени t, n(t) - число страховых выплат, xi - величина i -й страховой премии, у, - величина j -й страховой выплаты. Определим T = minjt :S(t) < 0} и T = да, если S(t) > 0 Vt. Случайная величина T - момент разорения. Тогда вероятность предельного разорения страховой компании, при условии, что ее капитал в начальный момент равен S, P(S) = Pr {T < да}. (2) Можно показать [4, 5], что вероятность разорения P(S) (2) определяется уравнением S м (X + ц)P(S) = Xj™P(S + х)Ф(x)dx + P(S - x)¥(x)dx + м|У(x)dx (3) 0 S с граничным условием Р(+м) = 0 . Для существования отличного от P(S) = 1 решения уравнения необходимо выполнение условия Xai = (1 + 0) мА, (4) где 0> 0 - нагрузка страховой премии. Точное решение уравнения (3) удается найти лишь в нескольких частных случаях, например при экспоненциальных или гиперэкспоненциальных распределениях страховых премий и выплат [4, 6]. Известны следующие оценки вероятности разорения P(S). Оценка вероятности разорения сверху [4, 5]. Обозначим со со ЬФ (и) = | e-

Скачать электронную версию публикации