Polinomial models of yield term structure.pdf Проблема представления временных структур степенными рядами связана с решением бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для коэффициентов ряда. Эта система уравнений имеет особенности, не позволяющие получить ее решение в аналитическом виде в общем случае. В тех частных случаях, когда это удалось сделать, представление временной структуры в виде степенного ряда не существует, поскольку коэффициенты ряда не удовлетворяют требуемым свойствам. Результаты иллюстрируются для известных моделей процессов краткосрочной процентной ставки Ана-Гао и CIR (1980). 1. Временная структура доходности Пусть состояние финансового рынка описывается процентной ставкой r(t), которая следует однородному по времени марковскому процессу, порождаемому стохастическим дифференциальным уравнением dr(t) = ц(г(0) dt + c(r(t)) dw(t) с функцией дрейфа ц(х), функцией волатильности с(х) и стандартным винеровским процессом w(t). Уравнение временной структуры, определяющее зависимость цены бескупонной облигации P(r, т) от срока до ее погашения т, в этом случае имеет вид [1]: 8P(r,т) ... .. . . .. 8P(r,т) 1 2, ч 82P(r,т) D. . . --+ (ц(г) - X(r)o(r)) -+ - о2(r) v 2 - rP(r, т) = 0. 8т 8r 2 8r Для упрощения записи введем функцию дрейфа т(г) = ц(г) - X(r)o(r) и функцию диффузии s(r) = 0,5 o2(r). При этом уравнение временной структуры преобразуется к виду 8 P(r, т) , ч 8 P(r, т) , ч 82P(r, т) _ ч л ш 0 , --+ m(r)-+ s(r)-- rP(r,т) = 0, P(r, 0) = 1. 8т 8r 8r Обозначим ln P(r, т) = z(r, т). Тогда можно записать уравнение временной структуры для функции z(x, r) в следующем виде: fc^ + m(r) Ъ™ + s(r) 8т 8r 82z(r,т) 8r2 8z(r,т) 8r - r = 0, z(r, 0) = 0. (1) Предположим, что функции дрейфа m(r) и диффузии s(r) являются полиномами, т.е. ра m(r) = £ bir1, s(r) = £ oir1. 1=0 1=0 Возникает вопрос, может ли в этом случае решение уравнения (1) тоже представляться в форме полинома по переменной r, т.е. существует ли полином z(x, r) = Z a (т) r', '=0 удовлетворяющий уравнению (1)? Подстановка представления (2) в уравнение (1) приводит к тому, что левая часть равенства (1) будет суммой трех полиномов по переменной r, которые условно назовем полиномом доходности, полиномом дрейфа и полиномом диффузии. Полином доходности (2) Z(т) 8z(r,т) 5т r - r - r = - '=0 имеет степень к (штрих обозначает производную по т). Полином дрейфа степени р + к - 1 имеет вид р к 8z(r,т) 8r ,,' + J-1 m(r) = ZZ Jb'aJ(т) '=0 J=1 Полином диффузии имеет степень а + 2к -2 и определяется выражением 2 2 f к ^ ,j-1 82z(r,т) f8z(r,т)^ rJ-2 + = Z Z J( J - 1)aJ (т) J=2 ZJaJ(т) s(r) - + c,r 8r 8 r2 '=0 =1 Это выражение выписано для случая, когда к > 2. Если это неравенство не выполняется, то первая сумма в квадратных скобках отсутствует. Поскольку постановка задачи предполагает, что рассматриваемая модель задана, то функции ц(г), o(r) и A,(r) известны. Следовательно, наборы параметров {b} и {с} тоже являются известными. Таким образом, задача состоит в определении набора функций {аг(т)}, которые определяют решение (2), если оно существует. 2. Временная структура как полином Как мы выяснили, левая часть уравнения (1) представляет из себя полином по переменной r степени у = тах{к, а + 2к - 2, р + к - 1} > к. Этот полином равномерно по r равен нулю. Поскольку степенные функции {r'} линейно независимы, то в этом случае коэффициенты при r1, ' = 0, 1, 2,..., у, должны быть равны нулю. Это дает систему (у + 1) уравнений для определения (к + 1) функций а'(т), ' = 0, 1, 2,..., к. Заметим, что (к + 1) уравнений этой системы являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, а остальные (у - к) уравнений нелинейные алгебраические. Когда у > к, система уравнений относительно функций а'(т) является переопределенной. Сделаем также естественные предположения, что а, р и к - целые числа, а > 0, р > 0, к > 1. Пусть 5 = max{а + 2к - 2, р + к - 1}. Рассмотрим последовательно все три возможных случая: к > 5, к = 5, к < 5. Предположим, что к > 5. Найдем все возможные пары чисел {а, р}, которые соответствуют этому предположению. Для этого нужно решить следующую систему неравенств: а > 0, р > 0, к > 1, к > р + к - 1, к > а + 2к - 2. Два последние неравенства дают р < 1, а + к < 2. Поэтому получаем, что существует единственный вариант возможного решения уравнения (1): а = 0, р = 0, к = 1. Для определения функций а'(т),' = 0, 1, получаем систему уравнений a0(т) = Ьа(т) + С0aj2 (т), a0(0) = 0; a;(т) = -1, aj(0) = 0, решение которой имеет вид a^) = - т, a0^) = - Ь0т2/2 + с0т3/3. Наконец, решение (2) уравнения (1) выглядит следующим образом: z(x, r) = - Ь0т2/2 + с0т3/3 - т r. Поэтому временная структура доходности в этом случае будет иметь вид полинома первой степени по переменной r: z(x, r) _ ^ { Ь0т с0т 2 у(т, r) = - ' = r + т 2 3 Заметим, что цена облигации с такой доходностью рассматривалась Р. Мертоном [2]. Предположим теперь, что к = 5. В этом случае имеется три варианта построения решения: {Р + к - 1 = к, а + 2к -2 < к}, откуда Р = 1, а + к < 2 и а = 0, р = 1, к = 1; {Р + к - 1 = к, а + 2к -2 = к}, откуда Р = 1, а + к = 2 и а = 1, р = 1, к = 1; {Р + к - 1 < к, а + 2к -2 = к}, откуда Р < 1, а + к = 2 и а = 1, р = 0, к = 1. Как видно, все эти варианты соответствуют полиному первой степени (к = 1). В случае {а = 0, Р = 1} для определения функций аг(т), i = 0, 1, имеем систему уравнений а0 (т) = Ь0а1(т) + с0 а2(т), а0(0) = 0; а' (т) = ^^(т) -1, 0^(0) = 0. Используем обозначения, которые обычно применяются в литературе о временных структурах процентных ставок: а0(т) = А(т), ^(т) = - В(т), Ь0 = кЭ - А,ст, Ь1 = - к, с0 = ст2/2. Тогда решение этой системы уравнений запишется в виде 2 1 - е-кт ( 1 2 ^ ( 1 2 ^ В(т) - -В(т)2, В(т) = ■ А(т) = - т + к 2к2 4к к , v к 2к2, в котором легко узнаются функции временной структуры модели Васичека [1]. В случае {а = 1, Р = 1} для определения функций аг(т), i = 0, 1, имеем систему уравнений а0(т) = Ь0а1(т) + с0а2(т), а0(0) = 0; а'(т) = Ь1а1(т) + с1а12(т) -1, ai(0) = 0. При использовании традиционных обозначений а0(т) = А(т), а^т) = - В(т), Ь0 = кЭ - Аст0, Ь1 = - (к + A,ai), с0 = Сто/2, ci = CTi/2 эта система преобразуется к виду А' = -(кЭ - Хст0) В(т) + Ст0 [В(т)]2/2, А(0) = 0, В' = 1 - (к + А,ст0 В(т) - Ст1 [В(т)]2/2, В(0) = 0. Полученные уравнения определяют функции временной структуры модели Даффи-Кана. А(т) =-СТ°[В(т)-т] -^|(ст1Э-СТ0)[ут-ln(1 + уВ(т))], В(т) = + V ст1 ст2 V e -1 где в = -у/(к + Хст1 )2 + 2ст1 , v = (в-к-Аст1)/2, V = (s + к + Аст1)/2. Наконец, в случае {а = 1, Р = 0} функции аг(т), i = 0, 1, удовлетворяют системе уравнений а0(т) = Ь0а1(т) + с0а^(т), а>(0) = 0; а{(т) = с1а12(т) -1, а1(0) = 0, решение которой в традиционных обозначениях а0(т) = А(т), а1(т) = - В(т), Ь0 = кЭ - Аст0, с0 = ст0/2, с1 = ст1/2 (в рассматриваемом случае Хст1 = - к) выражается через гиперболические функции ( т, V Заметим, что модели временной структуры Васичека и Даффи-Кана в литературе достаточно подробно изучены (см., например, [3]), но последний случай {а = 1, Р = 0}, предусматривающий ограничение Хст1 = - к (возможно, редко встречающийся на реальном рынке), еще нигде не обсуждался. Для него кривая доходности А(т) = - Кт--(ст1Э + ст0)1п(сЬ(^Тст1/2))], В(т) = ^thfJ^ ст1 ст1 \ ст1 V V 2 гВ(т) - А(т) У(т, r) = ^0тн--(ст1Э + ( ст1т ' ' ст1 т 1 2к =-{гд/2ст!ш(т^ст17~2) -ст0т+--(ст1Э + ст0) 1п(сЬ(^ст1 / 2))} dB(x) dA(x) f(x, r) = r dx =-{(а0 + 1 однородных алгебраических уравнений. Эти уравнения находятся приравниванием коэффициентов при r', i = 0, 1, 2,..., 5, к нулю. Коэффициенты при r', 0 < i < k, приводят к системе дифференциальных уравнений, а коэффициенты при r', k < i < 5, - к системе алгебраических уравнений. Заметим, что коэффициент при r5 имеет вид либо k2caak(x)2 в случае 5 = а + 2k - 2, либо kb^ak(x) в случае 5 = р + k - 1, либо (k2caak(x) + kbp)ak(x), когда 5 = а + 2k -2 = р + k - 1. Во всех этих случаях он имеет в качестве множителя функцию ak(i) и равномерно по т должен быть равен нулю. Следовательно, равномерно по т равна нулю функция ak(T) и, следовательно, равна нулю и ее производная. Отсюда имеем, что степень полинома доходности понижается до (k - 1). Вместе с этим понижается и порядок системы дифференциальных уравнений (уравнение с производной функции ak(x) становится алгебраическим). После приравнивания нулю функции ak(x) и ее производной в оставшейся системе в уравнении, полученном приравниванием коэффициента при r5-1 нулю, окажется множителем функция ak-1(T). Ввиду однородности уравнения эта функция равномерно по т должна быть равна нулю. Так что равна нулю и ее производная. Степень полинома доходности понижается до (k - 2). Продолжение этой процедуры приводит к тому, что функция a1(T) должна быть равна нулю, но при i = 1 уравнение является неоднородным, и это исключается, что приводит к противоречию. Отсюда следует, что не существет конечного k, для которого полином (2) мог бы быть решением уравнения (1). Для иллюстрации описанной процедуры приведем пример. Пусть k = а = р = 2, когда 5 = 4. Тогда относительно функций {ai(T)} получается система трех дифференциальных уравнений dan (т) 2/\ --- = a1 (т)Ь0 + a1 (т)с0 + 2a2 (т)с0 , dT da1 (т) = a1 (т)Ь1 + af (т)с + 2a2 (т)с1 + 2a2 (т)Ь- + 4a1 (T)a2 (т)с- -1, dT dci2}xT = a1 (т)Ь2 + af (т)с2 + 2a2 (т)с2 + 2a2 (т)Ь1 + 4a1 (T)a2 (т)с1 + 4af (т)сdT и система двух алгебраических уравнений 2a2(T)b2 + 4С1(Т)С2(Т)С21 + 4С|(Т)С1 = 0 , 4с|(т)С2 = 0. Из последнего уравнения следует, что c2(t) = 0 для всех возможных т. Поэтому равна нулю и производная этой функции. Используем это в исходной системе уравнений. Тогда она преобразуется к виду da^) . 2. . -^ = С1(Т)Ь0 + С12(Т)С0, dт da1(т) . 2. . -^ = С1(Т)Ь + С12(Т)С1 -1, dт С1(Т)Ь2 + a-p (т)с2 = 0. Из третьего уравнения получаем, что с1(т) = 0 для всех возможных т. Поэтому равна нулю и производная этой функции. Однако это противоречит второму уравнению. Следовательно, решения в виде (2) не существует. 3. Временная структура как степенной ряд Итак, решения (2) для конечных k не существует, но, может, оно существует при неограниченном k, т.е., может быть, существует решение в виде фнкционального ряда 2(т, Г) = £ a (т) ri. (3) i=0 Проверим эту версию. После подстановки представления (3) в уравнение (1) оно преобразуется к виду - rdog* ri + £ bJrj £ ^ (т) ri-1 + i=0 d т J=0 i=1 ( r \2 ^ x /со \ + £с/ £i (i-1)a, (т)r'~2 + £iat (т) ri-1 J=0 i=2 I i=1 i=2 Изменяя порядок суммирования в двойных суммах этого выражения, его можно записать в более удобном для анализа виде: Л dai (т) d т £ i=0 r2 = 0, - B (т) - С. (т) + 8г1 (4) где 8г-1 - символ Кронекера (8ц = 1, 8п = 0, если i Ф 1), а функции Д(т) и Сг(т) определяются равенствами B, (т) = £ b-j (j + 1)a7+1(т) + £ C _j (j + 1)(J + 2) «7+2(т) (5) (6) + £ C j=v f j +1 > l=1 j =u Ci (т) = £ Ci - j £l( j + 2 -l) al (т)aJ+2-1(т) J=v где u = max{0, i -P), v = max{0, i - a}. Поскольку равенство (4) должно удовлетворяться равномерно по переменным r и т, а степенные функции {гг} линейно независимы, то для справедливости (4) при всех значениях индекса i = 0, 1, 2, ... должны выполняться равенства -B(т) - С, (т) + 8г1 = 0 , a,-(0) = 0, i = 0, 1, 2, ..., dai (т) d т (7) которые с учетом (5) и (6) образуют бесконечную систему дифференциальных уравнений относительно функций {«.(т)}. Заметим, что эта система является неоднородной. Решение этой системы в аналитическом виде проблематично, поскольку, во-первых, уравнения (7) являются нелинейными из-за функции С,(т) в виде (6), и, во-вторых, из-за того, что в уравнении (7) для функции «.(т) используются не только предыдущие функции a/т), J < i, но и последующие функции a,+](т) и a,+2(т), поэтому нельзя реализовать стандартную рекуррентную процедуру для последовательного решения дифференциальных уравнений системы (7). Вместе с тем можно попытаться вычислить функции {«.(т)} с помощью следующей эвристической процедуры. Заметим, что формулы (5) и (6) можно записать в виде B, (т) = c0 (i + 1)(i + 2) at+2 (т) + (i + 1)(b0 + i c,) aM (т) + + i (b + (i -1) c2)at (т) + (i -1)(b2 + (i -1) C3) at_1 (т) +..., С, (т) = 2 c0 [(i + 1)al (т) a,+j (т) + 2i a2 (т) a, (т) + 3(i - 1)a3 (т) ai-1 (т) +...] + + 2c1 [i a1 (т) a, (т) + 2(i - 1)a2 (т) aiч (т) +...] + 2c2 [(i -1) a1 (т) ai-1(т) +...] +.... С помощью этих представлений уравнения (7) можно переписать так, чтобы функция «.(т) выражалась только через функции с предыдущими индексами или их производные. - b0 2a2 (т) - b1a1 (т) - c0 4 a1 (т)«2 (т) - c1 (2 a2 (т) + «1(т) ) +1 da1 (т) d т 1 «з(т) = 6c0 - 3b0 a3 (т) - 2b1a2 (т) - b2 a1 (т) - c0(6 a1 (т)«3 (т) + 4a2 (т)2) - 1 da2(x) «4(т) = 12- О 12c„ -C1 (6 «3(т) + 4 «1 (т)«2 (т)) - c2(2 «2(т) + «1 (т)2)), 1 (da3(i) -4b0a4(т) - 3b«3(т) - 2b2a2(т) -b3a1 (т) - c0(8a1(т)a4(т) +12a2(т)«3(т)) - «5(т)= 20 c0 d т -c1 (12 «4(т) + 6a1 (т)«3(т) + 4 «2(т)2) - c2 (6 a3 (т) + 4 a1 (т)«2 (т)) - c3 (2a2 (т) + «1(т)2), и вообще для i > 3 1 da (т) a+2(т) = ,w. (-i-(i+1)[b0 + ic1+2ca1 (тЖ+1(т)-c0 (i + 1)(i + 2) d т -i [b1 + (i -1) c2 + 2 c1 a1 (т) + 4с0a2 (т)] ai (т) - (i - 1)[b2 + (i - 2) c3 + 2c2a1 (т) + 4c1a2 (т) + +6coaз(т)] a^CO -...). Из этих выражений следует, что все функции a^) для i > 1 могут быть последовательно выражены через две первые функции a0^) и a^). Если удастся определить эти функции каким-либо образом или оценить их, рассматривая выборку наблюдений, остальные функции можно последовательно определить. К сожалению, с ростом индекса i будет увеличиваться громоздкость выражений для функций a^). Кроме того, такая процедура не гарантирует того, что получающиеся функции a^) будут удовлетворять начальным условиям ai(0) = 0, i = 0, 1, 2, ... . Имеются и другие требования к функциям {a^)}, основанные на их экономическом смысле. Если решение (3) уравнения (1) существует, то кривая доходности до погашения выражается в виде У(т, Г) = - = -j ^ Г, (8) т ^^ т L i=0 L что налагает на функции a^) определенные свойства. Для равномерной сходимости ряда (8) необходимо, чтобы lim^M ai (т) = 0 равномерно по т. Предельная долгосрочная доходность limт^да у(т, r) = у(да) должна быть неотрицательной, конечной и не зависеть от значений краткосрочной ставки r. В связи с этим функция a0^) должна иметь прямолинейную асимптоту const - т у(да), так как limт^да a0(^/ т = - у(да). При этом каждая функция a^), i > 1, должна удовлетворять условию Нтт^м at (т)/ т = 0. Для этого достаточно, чтобы для каждой функции существовал конечный предел Нтт^м ai (т) = ai. В этом случае lim «0 = 0, i = 0, 1, 2, ... . т^да d т Поэтому предельные значения ai находятся из системы алгебраических уравнений 2c0a2 + b0 a1 + c0a1 + у(да) = 0, 2 6c0 a3 + b02a2 + b1a1 + c04 a1a2 + c1(2 a2 + a1) = 1, _г (i + 1)(i + 2) c0ai+2 + j bi - j (J + 1)aj +1 + j J( J + 1) ci - j+1aj +1 + + j ci - J J=u j=v+1 ( J +1 ^ = 0, i > 1. j l( j + 2 -l) alaj+2-l J=v Vl=1 Как видно из этой системы, значения ai, i > 1, последовательно выражаются по рекуррентным формулам через две величины ai и у(да): a = a1b0 + a12c0 + У(да) = 0 a2 ---- 0, 2c0 c0 + a1 (b0 + c0(2a2c0 - b1) + b0(3a1c0 + c1)) + (b0 + 2a1c0 + q)у(да) a= 3 " 6c0 ' a4 = 24~T(3a1b0b1c0 - a1b03 - b0c0 - 7a12b02c0 - 2a1c02 - 12a13b0c02 + 4a12b1c02 - 2a1b2c02 -24c0 - 6a4c03 - 3a1b2c1 - 2с0с1 - 4a12b0c0c1 + 2a1b1c0c1 - 2a1b0c12 + 2a1b0c0c2 + (2c0c2 - b02 -- 8a1b0c0 + 2b1c0 - 8a12c02 - 3b0c1 - 2a1c0c1 - 2c12)у(да) + 2c0y2 (да)) и т.д. К сожалению, с ростом индекса очень быстро растет сложность получающихся выражений a, через величины ai и у(), причем значения самих величин в рамках этой системы уравнений не определяются. С другой стороны, по определению limт^0 у(т, r) = r. Следовательно, если представление (8) имеет место, то . . ^ а,(т) , ^ dat(т) lim у(т, r) = - lim ^-^-r 1 r = r, т=0 т^0 ,=о т ,=о dт так что da1 (т) = -1, т=0 d т d т dat (т) = 0, i Ф 1. т=0 4. Тестирование известных моделей Таким образом, если набор функций ^(т)} обладает перечисленными выше свойствами, есть надежда, что временная структура доходности имеет представление в виде степенного ряда (8). Функции ^(т)} определяются уравнениями (5)-(7) с помощью наборов коэффициентов {bj | 0 < j < Р} и {cj \ 0 < j < а}. В свою очередь, набор коэффициентов определяется принятой моделью процесса краткосрочной процентной ставки. Рассмотрим некоторые примеры известных моделей краткосрочной ставки. Более интересны модели, для которых уравнения для функций ^(т)} получаются такими, что последующие функции определяются только через предыдущие. Тогда функции a^) можно найти в аналитическом виде. К таким моделям относится модель CIR (1980) [4] и модель Ана-Гао [5]. Рассмотрим их. Пусть процесс краткосрочной ставки r(t) задается моделью CIR (1980), которая предусматривает, что dr(t) = с r(t)ydw(t), r(t) > r0, где r0 - нижняя граница возможных значений процентной ставки [6]. Примем у = 2,5, что обеспечивает процессу r(t) существование стационарного режима с математическим ожиданием E[r(t)] = 2r0 и дисперсией Var[r(t)] = 2r02. Для такой модели наборы коэффициентов {bj} и {c;} определяются так: bj = 0, j > 0; c5 = 0,5с2, Cj = 0, j Ф 5. Подставляя эти значения в соотношения (5)-(7), получаем систему уравнений, решения которых для ^(т), i < 10} имеют вид a0^) = a2^) = a3^) = a4(т) = a6(т) = a7(т) = a^) = 0, с5 т3 = 5 с52 т4 () = 2 с52 т5 a1(т) = - т, a5^) = -5-, a8^) = -5-, a9^) = - - 3 3 3 Нетрудно выяснить, что ненулевые функции с последующими индексами тоже будут степенными функциями со степенями, увеличивающимися с номером индекса, что противоречит свойству Нтт^м at (т)/ т = 0. Следовательно, кривая доходности для модели CIR (1980) не может быть представлена в виде ряда (8). Рассмотрим теперь в качестве модели процесса краткосрочной ставки r(t) модель Ана-Гао, задаваемую соотношением dr(t) = к (0 - r (t ))r (t) + с r (t )3/2 dw(t). Для этой модели наборы коэффициентов {bj} и {с} определяются так: b0 = 0, b1 = к0 > 0, b2 = - к; bj = 0, j > 3; с3 = 0,5с2; Cj = 0, j Ф 3. Аналитический вид первых функций a^) следующий: Ыт) = 0, al(т) = - 1(exb1 -1), a2(т) = - -^(етЬ1 -1)2, b1 2b1 (т) = - b22 - с3 + b2C3 (ет^ -1)3, 3b13 а4(т) = -2-^--^-J-±(ezb -l)4 и т.д. 4b4 Как видно, функции аг(т) экспоненциально возрастают по абсолютной величине с ростом т, что препятствует сходимости ряда (8). Приведенные примеры демонстрируют, что представление временной структуры доходности в виде ряда если возможно, то не всегда. Правда, это не доказывает того факта, что не существует моделей краткосрочной процентной ставки, для которых временная структура может быть представлена в виде степенного ряда (8). Для такого доказательства нужно отдельное исследование. Заключение В большинстве диффузионных моделей краткосрочных процессов процентных ставок функции дрейфа и диффузии задаются в виде полиномов. Среди известных в аналитическом виде временных структур доходности, соответствующих этим моделям, имеется класс аффинных моделей, в котором временные структуры тоже описываются полиномами. Поэтому возникает вопрос, существуют ли еще такие модели краткосрочных процессов процентных ставок, для которых временные структуры - полиномы по значениям процентной ставки. В статье показано, что ответ на этот вопрос - отрицательный. Несколько более сложным для анализа оказывается предположение о том, что в рассматриваемом случае временные структуры могут описываться степенным рядом по значениям процентной ставки. В статье найдена структура такого предположительного ряда, для коэффициентов которого получена система дифференциальных уравнений и обсуждены условия, при которых такой ряд мог бы быть описанием временной структуры доходности. Для диффузионных моделей краткосрочных процессов процентных ставок CIR (1980) и Ана-Гао системы дифференциальных уравнений решены аналитически и показано, что степенной ряд по значениям процентной ставки не может быть использован в качестве модели вре-менныой структуры для этих моделей. К сожалению, доказательства этого в общем случае пока не найдено.

Скачать электронную версию публикации