Modeling of risk in multidimensional stochastic systems.pdf В последние годы резко возросли масштабы и частота природных катаклизмов, техногенных катастроф, террористических актов и экономических потрясений. Но создание систем, обладающих устойчивостью по отношению к природным, техногенным и преднамеренным катастрофам, невозможно без разработки соответствующего теоретического аппарата в области анализа риска, а также практических методов и средств. Поэтому проблематика исследований в области анализа риска в настоящее время становится одной из актуальных. В широком смысле под риском понимают возможную опасность какого-либо неблагоприятного исхода. Обычно моделирование риска сводится к выделению опасных исходов, количественному заданию последствий от их наступления и оцениванию вероятностей этих исходов [1. С. 37-43]. При этом вклад компонент многомерной системы объединяют и рассматривают уже одномерную систему как случайную величину [1. С. 148-156; 2. С. 82-87]. Но вопрос взаимного влияния опасных ситуаций, вызванных разными элементами многомерной системы, малоисследован, обычно им пренебрегают, считая разные опасные исходы взаимно независимыми, и также пренебрегают вероятностью их одновременного наступления. Для относительно простых объектов, когда можно априори указать все опасные исходы, при наличии статистической информации или экспертных оценок о шансах их появления в целом данный подход дает приемлемые на практике результаты. Во многих случаях здесь удается накопить статистический материал для оценивания вероятностей наступления опасных исходов, а форму взаимосвязи между элементами системы считают достаточно простой и описываемой, например, с помощью логико-вероятностных моделей риска [3, 4]. Однако у сложных систем структура взаимодействия между элементами значительно усложняется и часто не может быть описана с помощью логико-вероятностных моделей. Понятия опасных исходов также могут размываться, делая невозможным их конкретное выделение. Таким образом, несмотря на большое количество исследований в области риска, взаимному влиянию на безопасность сложных многомерных систем ее элементов и различных факторов уделяется недостаточно внимания. Во многих случаях, когда нет возможности явно связать разные факторы риска в виде логико-вероятностной модели, их корреляция при расчете риска не учитывается. Поэтому представляется актуальной научная проблема построения моделей, позволяющих оценивать риск многомерных стохастических систем, элементы которых коррелированны между собой. 1. Модель риска в многомерных стохастических системах Рассмотрим один возможный подход к моделированию риска в многомерных стохастических системах [5]. Имеем некоторую многомерную стохастическую систему S. Будем считать адекватной математической моделью представление этой системы в виде непрерывного случайного вектора [6]. Каждая компонента случайного вектора описывает поведение элемента системы. Взаимосвязанность элементов учтем с помощью коррелированности компонент случайного вектора. Если имеем слишком большую размерность системы, то ее можно сократить. Это можно выполнить, например, с помощью факторного анализа [7. С. 178-237]. В результате имеем модель системы S в виде случайного вектора X = (Xx, X2,..., Xm) с плотностью вероятности pX (x). В отличие от известного подхода, основанного на выделении конкретных опасных ситуаций [1], будем задавать геометрические области неблагоприятных исходов. Формально эти области могут выглядеть произвольным образом в зависимости от конкретной задачи и определяются на основе имеющейся априорной информации. Опишем предлагаемый подход, используя распространенную концепцию нежелательных событий как больших и маловероятных отклонений случайной величины относительно математического ожидания. Тогда опасными ситуациями будем считать большие и маловероятные отклонения выборочных значений Xjлюбой из компонентXj относительно математических ожиданий цj = E[Xj], j = 1,2,...,m . Вероятность неблагоприятного исхода для каждой из компонент Xj без учета влияния других компонент зададим как P(Dj) = P(Xj e Dj), Dj = {x: |x - цj\ > A}oy} , где oj - среднее квадратическое отклонение случайной величины Xj, Aj - заданный пороговый уровень. Учтем взаимное влияние компонент на появление неблагоприятных исходов в виде величины расстояния исхода относительно точки математических ожиданий всех компонент ц = (ц1,ц2,...,цт). Тогда для случайного вектора X вероятность неблагоприятного исхода будет равна Г m (x - ц )2 1 P(D) = P(X e D), D = 1x = (X!, X2,..., Xm): ^ ^ 22 > 4 . (1) I j=1 Ajo j J Заметим, что в (1) область D неблагоприятных исходов представляет собой внешнюю область m-осного эллипсоида, у которого полуоси по каждой из координат равны Ajoj соответственно, т.е. по каждой j-й оси эта область соответствует одномерному случаю Dj. Очевидно, когда исход не лежит на одной из осей, то событие D может реализоваться и при отсутствии рисковых отклонений по всем компонентам (возможны ситуации X e D и V j Xj £ Dj). Задав функцию последствий от опасных ситуаций в виде g(x), получим модель для количественной оценки риска r (X) = jj... j g (x) p X (x)dx , Rm причем для определенности можно считать, что V x £ D g(x) = 0. Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда вектор X имеет совместное нормальное распределение с плотностью вероятности px (x) = -=j--expj- I(x - a)T E-1 (x - a)}, (2) л/(2%Г И L 2 где Z - ковариационная матрица, a - вектор математических ожиданий. Зададим размерность вектора X от 1 до 5. В [8] введен коэффициент тесноты совместной линейной корреляционной связи компонент случайного вектора X, равный De (X) = 1 - |Rx I1'm , где |RX| - определитель корреляционной матрицы случайного вектора X. Очевидно, что коэффициент 0 < De (X) < 1. Рассмотрим предельные случаи: De (X) = 0 (независимость компонент Xj), De (X) = 1 (линейная зависимость компонент). Результаты расчета вероятности неблагоприятного исхода (1) приведены на рис. 1. Для наглядности примем Aj = A2 = ... = Am = A . Анализ графиков на рис. 1 говорит о следующем. Увеличение размерности m и тесноты корреляционной связи между компонентами случайного вектора X приводит к резкому росту вероятности неблагоприятного исхода. Причем на рост вероятности неблагоприятного исхода увеличение размерности влияет значительно сильнее, чем увеличение тесноты корреляционной связи. 4,5 а 4,5 б Рис. 1. Зависимости lgp(D) от порогового уровня A: а - De(X) = 0; б - De(X) = 1 В качестве иллюстрации на рис. 2 покажем, как меняется с ростом значений Aj отношение вероятности P(D) при коррелированности и некоррелированности компонент случайного вектора X размерности m = 5. Из этого рисунка видим, что с ростом A вероятность неблагоприятного исхода у коррелированных систем (De(X) ^ 1), по сравнению с некоррелированными (De(X) ^ 0), резко возрастает. В частности при A = 6 вероятность, а значит, и риск неблагоприятного исхода более чем в 7 000 раз выше у коррелированной системы по сравнению с некоррелированной. Таким образом, при моделировании риска в стохастических системах нужно учитывать как фактор многомерности, так и тесноту корреляционных связей. l P(Z?/|Rx| = 0) 4 -gP(£>/|Rx| = l) 3 2 -1 0 Рис. 2. Отношение вероятности P(D) при коррелированности и некоррелированности компонент случайного вектора X размерности m = 5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 А Данный подход к моделированию риска позволяет на практике осуществлять управление стохастической системой с целью снижения рисков. Суть такого управления состоит в следующем. Рассмотрим некоторую га-мерную гауссовскую стохастическую систему S. Используем в качестве математической модели этой системы случайный вектор X с плотностью вероятности (2). Задав функцию последствий от опасных ситуаций g(x) и введя ограничения G(E) и H(a) на допустимые значения параметров плотности PX(x), сформулируем задачу минимизации риска "(X) = ff... f g(x)px (x)dx ^ min, Rm (3) E e G(E), a e H(a). Варьируя элементы ковариационной матрицы и вектора математических ожиданий случайного вектора X, решив задачу (3), получим минимально возможный риск функционирования системы. 2. Модельные примеры управления риском для гауссовских случайных векторов Рассмотрим примеры управления риском для гауссовских случайных векторов. Пример 1. С целью наглядности рассмотрим двумерный гауссовский случайный вектор с плотностью вероятности 1 PXi,X2(x) =--I-- (2л)с1с2-у/1 -р --2( x1-a1,x2-a2) e , yi = xi - ai, i = 1, 2, р - коэффициент корреляции между слу 2РУ1 y- + y2 ^ --+ 2 a!

Скачать электронную версию публикации