Estimation of the parameter of unextendable dead time random duration in the Poisson flow of events.pdf Распространенными математическими моделями физических явлений и процессов являются потоки событий. В частности, такие модели применяются при исследовании информационных потоков сообщений в телекоммуникационных системах, в спутниковых сетях связи и т.п. Задачи по оценке параметров случайных потоков событий возникают в оптических и лазерных системах, функционирующих в режиме счета фотонов. В большинстве публикаций авторы рассматривают математические модели потоков событий, когда события потока доступны наблюдению. Однако на практике возникают ситуации, когда наступившее событие влечет за собой ненаблюдаемость последующих событий. Причиной ненаблюдаемости выступает мертвое время регистрирующих приборов [1, 2], в течение которого зарегистрированное событие обрабатывается; другие же события, поступившие в этот период, теряются. Регистрирующие приборы при этом делятся на два вида: с непродлевающимся мертвым временем и продлевающимся [Там же]. Задачи по оценке параметров и состояний потока событий в условиях наличия мертвого времени фиксированной длительности рассматривались в работах [3-33]. При этом в [3, 5-8, 10, 12-16, 18-31] получены результаты для непродлевающегося мертвого времени, в [4, 9, 11, 17] -для продлевающегося. При непродлевающемся мертвом времени фиксированной длительности Т решены задачи по нахождению оценки Т: в [3] - для пуассоновского потока, в [5, 6] - для синхронного альтернирующего потока, в [7, 8, 10] - для асинхронного альтернирующего потока, в [12] - для синхронного потока, в [13-15] - для асинхронного потока, в [16, 18] - для полусинхронного потока, в [19-21] - для обобщенного асинхронного потока, в [22, 23] - для обобщенного полусинхронного потока, в [24, 25] - для МАР-потока, в [26, 27] - для модулированного синхронного потока, в [28, 29] - для модулированного обобщенного полусинхронного потока, в [30-33] - для модулированного МАР-потока; при продлевающемся мертвом времени фиксированной длительности Т - в [4] (для пуассоновского потока), в [9] - для аль-тернируюшего асинхронного потока, в [11] - для синхронного потока, в [17] - для полусинхронного потока. Однако достаточно открытым остается вопрос изучения потоков событий, когда мертвое время является случайной величиной с тем или иным законом распределения. В настоящей статье в текущем времени строятся оценки параметров наблюдаемого потока, порожденного пуассоновским потоком, функционирующим в условиях непродлевающегося мертвого времени случайной длительности. 1. Математическая модель наблюдаемого потока Рассматривается пуассоновский поток событий интенсивности X. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает период мертвого времени случайной длительности, в течение которого другие события потока недоступны наблюдению и не вызывают его продления (не-продлевающееся мертвое время). По окончании периода мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени случайной длительности и т. д. Принимается, что длительность мертвого времени распределена по экспоненциальному закону с параметром а. Вариант возникновения ситуации приведен на рис. 1, где прямоугольниками обозначены периоды мертвого времени длительности Т1, Т2,...; t1, t2,... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке. - р- -1 - ■fiWTRiTRi* 5-Р- -о- -о-о-* -с tl - -( itiiii т - ^tiSMiitj 2 9И 7', -О- \ т, -О-> ri t2 t3 t4 Рис.1. Формирование наблюдаемого потока событий Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования наблюдаемого потока событий, поэтому переходными процессами на полуинтервале наблюдения (t0, t], где t0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений, пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить to = 0. Предполагается, что параметры наблюдаемого потока X и а являются неизвестными. Необходимо в момент окончания наблюдений (в момент времени t) на основании выборки t1, t2, .., tn наблюденных моментов наступления событий потока осуществить методом максимального правдоподобия и методом моментов построение оценок X и а и произвести сравнение качества полученных оценок. 2. Оценки максимального правдоподобия параметров Я и а Обозначим через хк = tk+1 -tk, к = 1,2., значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (хк > 0). Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятности значений длительности к-го интервала есть ра(т^) = ра(т), х>0, для любого к (индекс а подчеркивает, что плотность вероятности зависит от случайной длительности мертвого времени) в наблюдаемом потоке событий. В силу этого момент времен tk без потери общности можно положить равным нулю, т.е. момент наступления события есть т = 0. В [3] получено выражение для плотности вероятности р(т I Т), когда длительность мертвого времени является детерминированной величиной: р(т I Т) = 0, т < Т, р(х I T) = Xe"X(x"T), х>Т. (1) Тогда плотность вероятности ра(т) запишется в виде х Ра (х) = \p(T)p(x\T)dT . (2) 0 Подставляя в (2) выражение (1) и учитывая, что p(T) = ае-ат, находим Ра(х) = -аН-ах-е-Хх), х>0. (3) X-а Пусть х1 = t2 - tj,..., хп = tn+1 - tn, Xj > 0,., xn > 0 - последовательность измеренных в результате наблюдения за потоком в течение полуинтервала наблюдения (0, t] значений длительностей интервалов между соседними событиями потока. В силу предпосылок последовательность {Tfc} , к = 1, n , образует конкретную реализацию выборки из совокупности независимых случайных величин. Тогда функция правдоподобия примет вид ' ка ..........................(4) - e Да ^lTi,...,Tn) V ' - а у k=1 Здесь возможны три варианта: X > a, X = a, X < a (X > 0, a > 0). Рассмотрим вариант X > а. Тогда, логарифмируя (4), после чего взяв первые производные по X и а, получим систему уравнений правдоподобия для определения оценок X, а n п ( ax k e = 0, (5) (6) (7) (8) k па X(X-a) k=1 k eXxk - e0 nX » eXk a(X-a) - £Tk e^-e^k = 0. n = 0. Преобразовывая (5), (6), находим X + a = x aX, " J a-(2/x) 1 exp (2 / x). Эквивалентные преобразования уравнения (5), (6) приводят к уравнениям X + a = x aX, (9) exp(2/x). Замечание 1. Уравнения (7), (8) и уравнения (9), (10) полностью идентичны. Замечание 2. Аналогичный результат получается для варианта X < a, за исключением того что a >(2/x), X a . В силу идентичности уравнений (8), (10) выпишем их в виде [(2/ x)- x]] Z1 k -(2/x)) "-(1/ x )J = 0. -1 exPi x V (11) x Пусть х* - корень уравнения (11). Тогда а* = х* - корень уравнения (8). С другой стороны, X* = х* - корень уравнения (10). Таким образом, имеем а* = X*. Тогда из (7) следует X = а /(та* -1), из (9) следует а = Х*/(тХ* -1). Так как а* = X*, то X = -. Из уравнений (7), (8) вытекает а (2 / т). Тогда, так как а = X, имеем X < (2 / т), X > (2 / т), поэтому а = X = (2 / т) - единственная точка, в которой уравнения (7), (8), а также уравнения (9), (10) не противоречивы. Аналогично рассматривается вариант X < а . Теорема 1 доказана. 3. ММ-оценки параметров Я и а Получим оценки параметров X и а методом моментов. Теоретическое среднее значение длительности интервала между соседними моментами наступления событий наблюдаемого потока (начальный момент первого порядка): ш 11 Т =|тРа (T¥т = - + -. а X о " 1 п -Оценка Т1 = - k = ^ (тх = т). n k=1 Начальный момент второго порядка ш ( 111 Т2 --WРа(t>ft = 2(-. о " 1 n 2 „ Оценка Т2 = - = т2 . Уравнения моментов при этом примут вид n k=1 X + а - т^аХ , 21- + - + - 1 = т2а2X2. (12) а2 -X X2 1 1 1 1 X + а - ТхОА , 21 - V Преобразовывая (12), находим X - а/[т:1а -1], [т? -(1/2)т2]а2 -т1а +1 = 0. (13) Решением квадратного уравнения (13) являются корни ах и а2, которые определяют оценки ах - ах , а2 - а2. В свою очередь, оценки а1 и а2 путем подстановки в первое уравнение (13) определяют соответствующие оценки Хх и Х2. Эквивалентные преобразования уравнения (12) приводят к уравнениям а - Х/р^Х -1], [т2 -(1/2)x2]X2 -x1X + 1 = 0. (14) Решением квадратного уравнения (14) являются корни Хх и Х2, которые определяют оценки Хх - Хх , Х2 - Х2. В свою очередь, оценки Хх и Х2 путем подстановки в первое уравнение (14) определяют соответствующие оценки ах и а2. Замечание 3. Уравнения (13) и (14) полностью идентичны. Теорема 2. Решение уравнений моментов (12) не существует. Доказательство. В силу идентичности уравнений (13), (14), полученных из (12), выпишем квадратное уравнение в виде х) = [т2 - (1/2)т2]х2 - т1х +1 = 0. (15) Корнями уравнения (15) являются - ?! - У2х2 - Зт^ - X! + У2х2 - Зт^ Х^ - п , %2 - о ■ 2rf - х2 2rf - х2 При этом должно выполняться х1 >0, х2 >0, так как а > 0, X > 0. Если дискриминант D = 2т2 - 3ff < 0, то решение уравнения (15) не существует. Случай D = 0, который приводит к оценкам а = Л = (2/т), имеет нулевую вероятность. Таким образом, если D < 0, то решение уравнений (12) не существует. Рассмотрим случай D >0: 1) пусть d = if - (1/2)т2 < 0, тогда решение уравнений (12) не существует; 2) случай d = 0 имеет нулевую вероятность. Таким образом, если D > 0 и d < 0, то решение уравнений (12) не существует. Рассмотрим последнюю ситуацию: D > 0 и d >0. Так как х1 - корень уравнения (13), то о^ = хг. С другой стороны, х1 - корень уравнения (14), тогда = хъ при этом (1/тх) < хх < (2/тх). Отсюда следует = Л1. Из первого равенства системы (13) находим л^ = о^Дт^ - 1], из первого равенства системы (14) получаем а1 = Л^Дт^ - 1]. Так как = Лъ то а1 = л^. Из уравнений (13) следует (1/Тх) < &! < (2/тх), Л1>(2/т1). Из уравнений (14) вытекает (1/тх) < < (2/тх), а1>(2/т1). Так как уравнения (13), (14) эквивалентны, то единственная точка, которая одновременно удовлетворяет этим уравнениям, есть о^ = = (2/тх). Последнее равенство возможно, если D = 0. Выполнение последнего равенства имеет нулевую вероятность, так что решения уравнений (12) не существует. Аналогичное утверждение имеет место для корня х2. Теорема 2 доказана. Таким образом, при оценке неизвестных параметров Л и а метод моментов неработоспособен. Замечание 4. Для варианта а = Л имеем 7\ = (2/а). Тогда уравнение моментов принимает вид (2/а) = тъ откуда следует а = (2/тх). 4. МП- и ММ-оценки параметра а Пусть параметр Л является известным. МП-оценка параметра а. Для оценки параметра а имеем уравнение (6). Обозначим левую часть уравнения (6) через /(а). После преобразования уравнение (6) примет вид " Г \ eXxt ] f («) = У----xk--j = 0, а> 0, ^ ' Й [а(Х-а) -j ' ' n lim/(a) = ю, lim/(a) = - (2 - Лтг), lim/(a) = - 0. (16) a^O а^Я 2Л а^да Замечание 5. Функция /(а), по крайней мере, один раз пересекает ось абсцисс, т.е. решение уравнения (16) существует. Замечание 6. Решение уравнения (16) возможно только численно. ММ-оценка параметра а. Для оценки параметра а имеем первое уравнение моментов (12), из которого получаем a = ЛД^Л - 1]. С целью установления качества получаемых оценок параметра а методом максимального правдоподобия и методом моментов поставлен статистический эксперимент. Отдельный j-й эксперимент (j=1,N) заключается в следующем: 1) при заданных значениях а, Л и заданном времени моделировании Тт осуществляется имитационное моделирование наблюдаемого потока; выходом имитационной модели является последовательность значений tj, t2..., tn; 2) численно решается уравнение (16), т.е. находится оценка а МП ; 3) по первой формуле (14) находится оценка аММ; 4) осуществляется повторение N раз шагов 1-3 для получения выборок достаточного объема. Результатом выполнения описанного алгоритма являются две выборки (аМП ,...,аМП), (аММ,..., аММ), на основании которых вычисляются выборочные средние „ 1 N Л 1 N амп ^е

Скачать электронную версию публикации