The Longstaff-Schwartz model of yield term structure and its expansion.pdf Временная структура бескупонной доходности является одной из востребованных характеристик, которая используется при определении стоимости финансовых активов. Однако до сих пор временные структуры в аналитической форме удавалось получить только для аффинных систем доходности, как правило, для однофакторных моделей. Поскольку однофакторные модели описывают ситуацию на финансовом рынке недостаточно точно, возникают модели с использованием большего числа факторов. Одной из первых таких моделей является двухфакторная модель Лонгстаффа-Швартца (1992). Она основана на использовании так называемых латентных (скрытых) факторов, т.е. переменных состояния, которые непосредственно на рынке не наблюдаются. Считается, что динамика этих факторов описывается процессами «с квадратным корнем» Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR). Затем, если удается связать эти процессы с реально наблюдаемыми показателями, то можно придать анализу такой модели реальный смысл. Это свойство может быть использовано в более общих обстоятельствах, когда рассматривается модель с произвольным числом латентных факторов. 1. Модель Лонгстаффа-Швартца Известной версией двухфакторной модели CIR является модель Лонгстаффа-Швартца [1]. В этой модели в качестве исходных переменных состояния выбираются два независимых процесса CIR, имеющих смысл неких ненаблюдаемых экономических факторов: (1) dx = (a - bx)dt + 4xdW1, В дальнейшем считается, что взвешенная сумма этих факторов образует краткосрочную процентную ставку (2) r(t) = ax(t) + Py(t), где а и р - неотрицательные константы. Использование исходных уравнений и формулы Ито позволяет написать dr(t) = а dx(t) + р dy(t) = [a a + р d - bx(t) - ey(t)]dt + a^x(t) dW1(t) + р^y(t) dW2 (t). Заметим, что стационарные математические ожидания процессов x(t) и y(t) определяются равенствами E[x(t)\ = alb и E[y(t)\ = die. По тем же причинам квадрат dr(t) имеет вид (dr(t))2 = a2x(t) dt + Р2 y(t) dt. Локальная (по времени) дисперсия изменения процентной ставки за интервал времени (t, t + dt) на еди-ницу времени равна V(t) = a2x(t) + Р2 y(t). (3) Из (2) и (3) следует, что между прами (x, y) и (г, V) имеется взаимно однозначная связь, определяемая соотношениями г = ax + Py, V = a2x + p2y, Pr - V a(P - a) V -аг P(P-a) (4) x = y = Поэтому более естественно рассматривать в качестве переменных состояния не ненаблюдаемые неопределенные «экономические факторы» (x, y), а имеющие вполне определенный смысл процентную ставку г и ее локальную дисперсию V. Однако следует заметить, что если областью задания переменных (x, y) является весь первый квадрант плоскости (X, Y), то переменные (г, V) принимают значения только в ограниченной области первого квадранта, определяемой неравенствами аг < V < Рг (или V/p < г < Via), 0 < a < Р, в которой малым ставкам могут соответствовать только малые дисперсии (или малые дисперсии имеют только малые процентные ставки). Имея ввиду существующее линейное преобразование Р Y x 1 ( г Л а а 2 (5) Р2 /V Y / вместо системы уравнений (1) по формуле Ито получим соответствующую систему для (г, V): ( г W ( г Л ( W1 VW2 J d 0- (6) = К dt + а(г,V) d где a K = a 0 o^,V) = (V -аг) 0 VP(P-a) Для определения дифференциальных уравнений для функций временной структуры Л(т) и В(т) применим технику, описанную в [2\. Для получения системы уравнений (4), (5) из [2\ воспользуемся разложением по переменным г и V элементов стохастического дифференциального уравнения (6). При составлении уравнений (5) из [2\ весовые коэффициенты фг- выбирались таким образом, чтобы было выполнено необходимое условие lim y(т, x) = г. Так что если в качестве переменных состояния принимаются (г, V), то фг = 1, а фv = 0. Если в качестве переменных состояния используются (x, y), то ф* = а, а Фу = р. Заметим, что 1 ( ea-ЬР b -e Л Р Л(a/bЛ р2 JV ф / Л 0 = a-pVaP(e - b) ba- еР (Рг - V) P у a(P - a) a x а2 Р2 ea- bp ( b - e Л aa + pd a2a + p2d 1 1 K0 = Кг = a-P V ba- ep KV = a-PlaP(e - b) / а(г, Р)а(г, V)T = P0 + Ргг + PvV, a + P (0 1 Л 1 a + p (1 P0 = 0, Рг = -ap , Pv = a + p a2 +ap + p2 с(г, У)Х(г, V)T = + цгг + ^V, ( P Хг -aXv ap (X г-Xv ) J 1 ( Хг-Xv Л 1 S = 0, Цг= 4v= vaXг -pX p-a a-p Vj Здесь предполагается, что рыночные цены риска определяются соотношением X(r, V) = (Xr, XV)c(r, V), где Xr и XV - константы. Подставляя полученные разложения в уравнения (4), (5) из [2], находим систему уравнений для функций временной структуры Л(т), Br(x) и BV(x): Л'(т) = - (aa + pd) Вг(т) - (a2a + P2J)Bv(t), Л(0) = 0, Br'(т) = 1 - В(т)Т(^г + Kr) - В(т)ТРг В(т)/2 = = 1--- ((ea-bp -p Xr + aXV)Br(т) + ap(e-b-Xr +XV)BV(т)) + + a P BV(T)(Br(T) + (a + P)Bv(t)/2), Br(0) = 0, By (т) = - B(T)T(^V + Kv) - 2 B(t)tPvB(t) = (7) (8) a-p (9) ((b - e + Xr - XV)Br (т) + (b a - e p + aXr -pXV )BV (т)) - 1 a-p 1 1 2 - -B^)2 - (a + P)Br(т)Bv(т) - -(a2 + aP + p2)ByCt)2, By(0) = 0. 2 К сожалению, полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений для (Br, By) относится к системам уравнений Риккати, является нелинейной и не известно какого-либо способа для получения ее аналитического решения. Вместе с тем задача определения временной структуры рассматриваемой модели при использовании исходных ненаблюдаемых переменных состояния (X, y) имеет аналитическое решение. Действительно, для системы (1) получаются следующие данные для составления уравнений (4), (5) из [2]: K = 1b 01 0 = ( a/ b 1 K0 = f a 10 eJ' 1 d/eJ' 1 d ( x 01 (101 (0 01 X + У, 01 (0 01 Р у = v0 1 ) c( X, у )

Скачать электронную версию публикации