Probabilistic characteristics of the flow of events with prolonging dead time of special type.pdf Потоки однородных событий являются распространенными математическими моделями многих физических процессов и явлений. Такие модели применяются при исследовании информационных потоков сообщений в телекоммуникационных системах, спутниковых сетях связи, оптических и лазерных системах, функционирующих в режиме счета фотонов и т.п. В большинстве публикаций авторы рассматривают математические модели потоков событий, когда события потока доступны наблюдению. Однако на практике возникают ситуации, когда наступившее событие влечет за собой ненаблюдаемость последующих событий. Причиной ненаблюдаемости выступает мертвое время регистрирующих приборов [1, 2], в течение которого зарегистрированное событие обрабатывается; другие же события, поступившие в этот период, теряются. Регистрирующие приборы при этом делятся на два вида: с непродлевающимся мертвым временем, и продлевающимся [1, 2]. Задачи по оценке параметров и состояний потока событий в условиях наличия мертвого времени фиксированной длительности рассматривались в работах [3-33]. При этом в [3, 4, 6-8, 10, 12-16, 18-31] получены результаты для непро-длевающегося мертвого времени, в [5, 9, 11, 17] - для продлевающегося. Задачи по оценке параметров в условиях наличия непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности решены в [3, 4] для пуассоновского потока, в [6] для синхронного альтернирующего потока, в [7, 8, 10] для асинхронного альтернирующего потока, в [12] для синхронного потока, в [13-15] для асинхронного потока, в [16, 18] для полусинхронного потока, в [19-21] для обобщенного асинхронного потока, в [22, 23] для обобщенного полусинхронного потока, в [24, 25] для МАР-потока, в [26, 27] для модулированного синхронного потока, в [28, 29] для модулированного обобщенного полусинхронного потока, в [30-33] для модулированного МАР-потока; при продлевающемся мертвом времени фиксированной длительности - в [5] для пуассоновского потока, в [9] для альтернируюшего асинхронного потока, в [11] для синхронного потока, в [17] для полусинхронного потока. Задачи по оценке параметров пуассоновского потока, функционирующего в условиях наличия непродлевающегося мертвого времени случайной длительности, рассматривались в работах [34, 35]. В настоящей статье рассматривается однородный поток событий, функционирующий в условиях продлевающегося мертвого времени специального типа. 1. Математическая модель наблюдаемого потока Рассматривается поток однородных событий с заданной плотностью или функцией распределения вероятностей интервала между соседними событиями (входящий поток событий). После каждого зарегистрированного события во входящем потоке наступает период мертвого времени случайной длительности 9г, c заданной плотностью или функцией распределения вероятностей, в течение которого другие события потока недоступны наблюдению. В то же время, хотя события и не наблюдаются в течение мертвого времени, они вызывают продление периода ненаблюдаемости на случайную длительность, имеющую те же вероятностные характеристики, как и предыдущий период ненаблюдаемости, но при этом предыдущий период мертвого времени в этот момент заканчивается (обрезается), так что наблюдаться будет лишь то событие потока, которое наступит после окончания последнего периода ненаблюдаемости. Таким образом, создается общий период мертвого времени. По окончании общего периода мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени случайной длительности и т.д. Полагается, что длительность мертвого времени имеет заданную плотность или функцию распределения вероятностей. Вариант возникновения ситуации приведен на рис. 1, где прямоугольниками обозначены периоды мертвого времени, ti, fe, - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке. ti h t3 и Наблюдаемый поток событий Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Необходимо найти вероятностные характеристики интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке и общего периода мертвого времени, такие как преобразование Лапласа для плотности распределения вероятностей в общем случае и плотности распределения вероятностей в частных случаях. 2. Преобразование Лапласа интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке Обозначим через т, i = 1,2... длительность i-го интервала между соседними событиями входящего потока событий с заданной плотностью или функцией распределения вероятностей, через 9г i = 1,2... - длительность i-го периода мертвого времени с заданной плотностью или функцией распределения вероятностей. Введем две вспомогательные случайные величины: Pi = T, -x(xi >9i), Yi = T, -x(Xi 1, (1) где x(a) - индикатор множества A и функции: Fp (x) = p(o 9,), fp (x) = Fp'(x), Fy (x) = P(0 < t, < x, t, 1. (2) Обозначим через момент v : v = min{i > 1: y= 0}. (3) Тогда длительность интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке x, учитывая (1)-(3), определяется следующим образом: V-1 x-ZY+ Bv . (4) i-i Теорема 1. Преобразование Лапласа Фт (5) для плотности вероятностей f (x) интервала x между соседними событиями в наблюдаемом потоке из (4) имеет вид: Фв (5) Фх (x) -, Г/ч , (5) 1 -Фу (5) где Фв (5), Фу (5) - преобразования Лапласа для функций fB (x) и f (x) соответственно. Доказательство. Обозначим через Fn (x) функцию Fn(x) - Р(У1 +- + y„ 0,...,y„ > 0), fn(x) - F""(x) . Тогда x fn (x) - xfn-Mf^ (x - u)du , n > 2 . (6) 0 Найдем распределение x: P(x0)+... - x ад x x-t x x x-t - I fB (t)dt + Z I fn (t)dt j fB (5)d5 - j fB (t)dt + j g (t)dt j fB (5)d5, (7) 0 n-10 0 0 0 0 ад где g(t) - Z fn (t) . (8) n-1 Дифференцируя равенство (7), получим, что плотность распределения вероятностей f (x) интервала x определяется соотношением: x fx (x) - fB (x) + j g (t f (x - t)dt, x > 0. (9) 0 Суммируя (6) по n = 2, ад и учитывая соотношение (8), получим уравнение для нахождения g(t) : x g (x) - fY (x) + I g(tf (x - t)dt. (10) 0 Применяя преобразование Лапласа для (10), получаем уравнение G(5) - ФY (5) + G(5) ^ (5) , разрешая которое относительно G(5) , получим ФY (5) G(s) --. (11) () 1-ФY (5) ( ) Применяя преобразование Лапласа для плотности распределения вероятностей f (x) из (9) и учитывая (11), находим ФB (5) Фx (5) - Фв (5) + G(5) • Фв (5) = _ф() . (12) 1 ФY(5) Полученная формула (12) полностью совпадает с формулой (5). Теорема 1 доказана. Рассмотрим частные случаи для конкретных видов распределений. Частный случай 1. Пусть x и 0г - независимые экспоненциально распределенные случайные величины с параметрами X и ц соответственно. Получим вид функции Fb (x) из (2) для этого конкретного случая: F (x) - ]xe-Xtdt]^e-^'d5 - x Xe"Xt (l - e^ )dt, 0 . „ тогда fB(x) - FB'(x) = x(e~X - ) x > 0. (13) Аналогично найдем вид функции F (x) из (2) X л x x Fy (x) = \ Xe dt \ pe^ds - \ Xe^XVptdt, о t о тогда fy (x) = Fy'(x) -Xe-(X+p)x, x > O. (14) Получим преобразования Лапласа Фр (s), Фу (s) для функций fp (x) и f (x) соответственно из (13)-(14) в виде: (X + s) ■ (X + p + s) г 1 1 Фр (s) -X (15) X +s X + p +s X фу (s) = -- . (16) у X + p +s Используя результат (5) теоремы 1 и формулы (15)-(16), находим преобразование Лапласа ф (s) для плотности вероятностей f (x) : \ фр(s) _ X-p _ X-p 1 1 , X*p. (17) p + s X + s fT(x) = ^(e-px -e-Xx), x > O. (18) Фх (s) = ■ 1 -Фу (s) (X + s) ■ (p + s) X-p С помощью обратного преобразования Лапласа получим явный вид плотности вероятностей f (x) интервала х между соседними событиями в наблюдаемом потоке: X-p X-p Замечание. Стоит отметить интересный факт: формула (18) совпала с результатом, полученным в статье [34]. Действительно, продлевающееся мертвое время в таком варианте для экспоненциальных распределений сводится к непродлевающемуся мертвому времени, что достаточно просто объясняется в вероятностном смысле. Частный случай 2. Пусть хг - независимые экспоненциально распределенные случайные величины с параметрами X, а 9г = T , где T - const. Тогда функции fp (x) и fy (x) из (2) для этого конкретного случая имеют вид: fXe~Xx x > T [0, x < T, fP(x) - V ■ x е ), f~ (х) = F~ (x) , F.((x) = p(0 0. (27) Для функции f (х) справедлива формула (14). Получим преобразование Лапласа Ф~(5) для функций f~(х) из (27) в виде: Ф~(5) = , ^ . (28) P Х + Ц +5 Преобразование Лапласа для функций f (х) из (14) имеет вид (16). Используя результат (26) теоремы 2 и формулы (28), (16), находим преобразование Лапласа Фе (5) для плотности вероятностей f ( x) : Ф~(5) ц Фе(5) = Нгк = - . (29) 1 - Ф, (5) Ц + 5 С помощью обратного преобразования Лапласа для формулы (29) получим явный вид плотности вероятностей ^ (х) общего периода ненаблюдаемости е: f (х) = це-ц х, х > 0. (30) Замечание. Стоит отметить, что плотность вероятностей f (х) общего периода ненаблюдаемости (30) совпала с плотностью вероятностей длительности е; мертвого времени, что достаточно просто объясняется в вероятностном смысле. Заключение Для потока однородных событий с заданной плотностью или функцией распределения вероятностей интервала между соседними событиями в схеме с продлевающимся мертвым временем специального типа, подробно описанным в разд. 1 настоящей статьи и наглядно представленным на рис. 1, длительность которого имеет также заданную плотность или функцию распределения вероятностей, получены вероятностные характеристики для интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке и общего периода мертвого времени, такие как преобразования Лапласа для плотностей распределения вероятностей в общем случае и плотностей распределения вероятностей в частных случаях. Автор выражает признательность доктору физико-математических наук С.Э. Воробейчикову и доктору технических наук, профессору А.М. Горцеву за обсуждение вопросов, связанных с написанием данной статьи.

Скачать электронную версию публикации