Representation of images using Le Gall transform.pdf По мере развития информационных и телекоммуникационных систем, а также технических средств регистрации изображений, отмечается интенсивное расширение применения методов цифровой обработки изображений в различных сферах человеческой деятельности. Увеличение требований конечных пользователей к такого рода системам является одной из основных причин их постоянного совершенствования и развития, увеличения производительности и эффективности их функционирования. В настоящее время очевидно, что традиционный подход к анализу стационарных сигналов на основе преобразования Фурье является малоэффективным для представления функций и сигналов с локальными особенности [1]. Одним из главных недостатков такого подхода является использование в качестве базовой функции синусоиды, имеющей область определения R. Как следствие, преобразование Фурье не обладает хорошей локализацией в пространстве и не способно описывать нестационарные сигналы [2]. 1. Вейвлет-анализ сигналов Обозначим через L (0,2п) множество всех измеримых функций f, определенных на интервале (0,2п) и таких, что 2п j|f(x)|2 dx < да. (1) 0 Здесь f является периодически продолжаемой на R кусочно-непрерывной функцией, поэтому L (0,2п) называют 2п-периодической функцией со среднеквадратичной сходимостью. Функция f может быть представлена рядом Фурье [3]: да f (x)-Z cneinx , (2) где c - коэффициенты Фурье, которые определяются как -1 2л с? - If (x 2Л 0 Из формулы (2) видно, что для получения преобразования необходимо иметь сведения о поведении сигнала не только в прошлом, но и в будущем [4]. Любая функция f е Z2 (0,2л) представляется суперпозицией целочисленных растяжений базисной функции ш(x) - ex - cos (x) + i sin (x), являющейся синусоидой. Необходимо отметить, что функция ши (x) - ш( nx) не принадлежит пространству L (R) , являющемуся одним из случаев гильбертова пространства, для которого да Ц f (x )|2 dx < да. (4) ) e-inxdx. (3) Из (4) следует, что любая f е L (R) должна затухать при x ^ ±» и юп (x) € L (R). Таким образом, для использования функций юи (x) для порождения L (R) необходимо, чтобы юи (x) затухали до нуля при x ^ ±ю. Основная идея вейвлет-анализа состоит в разложении сигнала f по базису функций [5]: f = Zс,¥,, (5) i т.е. в представлении исходного сигналаf в виде взвешенной суммы базисных функций , помноженных на спектральные коэффициенты с; . Из формулы (5) следует, что только спектральные коэффициенты с; представляют информацию об исходном сигнале f так как базисные функции предполагаются заданными. Как ранее отмечалось в (2), разложение в ряд Фурье также представляется в соответствии с данной концепцией [2, 6]. Для эффективного представления исходного сигнала f посредством малого количества спектральных коэффициентов с; необходимо потребовать соответствия базисной функции особенностям исходного сигнала f [7]. Реальные сигналы локализованы и в частотной, и во временной области [4, 8]. Первое множество сигналов эффективно представляется с помощью импульсной функции Кронекера: >=8')=К

Скачать электронную версию публикации