Stability in the Neumann-Pearson theorem and its applications.pdf В работе [1] рассматривается задача определения состояния ненаблюдаемого альтернирующего процесса по наблюдениям за точечным потоком пуассоновского типа, интенсивность которого меняется в зависимости от состояния альтернирующего процесса. В работе [2] рассматривается пороговый алгоритм, учитывающий старение информации и ошибки измерений моментов наступления событий потока. При решении данной задачи используются методы выбора статистических гипотез относительно параметра точечного пуассоновского потока при условии, что наблюдения подчиняются не точно параметрическому семейству распределений, а некоторой его аппроксимации. Поэтому в процедуру поиска байесовского решающего правила необходимо вводить аппроксимации, оценивать получающуюся при этом погрешность и вставлять эти оценки в известные статистические процедуры. В частности, используя лемму Неймана-Пирсона, необходимо вместо оптимального искать е-оптимальное байесовское решающее правило. В настоящей работе строятся такие оценки в предположении, что время наблюдения достаточно невелико и потому вероятность изменения состояния альтернирующего потока также невелика. Приводится результат вычислительного эксперимента, иллюстрирующего предлагаемый подход. Идея построения предлагаемых в работе оценок основана на классификации статистических задач, предложенной в монографиях [3, 4] и на идеях применения метрического подхода [5] к построению оценок устойчивости в вероятностных моделях массового обслуживания [6-9], характеризации распределений [10], аппроксимации распределений нормированных сумм независимых случайных величин [11]. 1. Оценки устойчивости в теореме Неймана-Пирсона В дальнейшем нам понадобится следующая версия леммы Неймана-Пирсона. Пусть Q = { 1,..., N} - множество результатов измерения, 8(х) - решающее правило, в соответствие с которым по измерению принимается решение о выполнении той или иной гипотезы к = \,..., т. Решающее правило 5(x) = j, если xеПj сQ, где т Q nQt=0, j,k = \,...,т, j ф к, uQ =Q (1) j=i Пусть pj (x) - условная вероятность того, что при выполнении гипотезы j измерение равно x, а т q - априорная вероятность выполнения гипотезы / е {1 ... т) Е 4kPk(*)> к = \,...,т,кФ j(x). Тогда байесовское решающее правило 8( x), минимизирующее вероятность а(5), определяется равенством j = j(x), x eQ. Доказательство. Вычислим вероятность ошибочного отклонения правильной гипотезы а(8): (2) а(5)= Z aj (5) = 1 - Z 4jPj (Qj) = 1 - Z Z 4jPj (x)IQ (x), j=1 j=1 xeQ j=1 J Q j (x) где индикаторная функция Iq (x)=1, если x sQ,, иначе Iq (x)=0. Из равенства (2) следует, что минимизация a(8) эквивалентна максимизации суммы Z Z q P (x)In (x) при каждом x eQ. В силу x eQ j -1 j последнего равенства в соотношениях (1) получаем, что байесовское решающее правило подчиняется равенству j = j(x). Лемма доказана. По фиксированным N*, 0 < N* < N, j e {1,..m} определим следующие множества: X(N*) = {x: x < N*}, X(N*) = {x: N* < x < N}, Xj (N*) = {x: j(x) = j, x < N*}, Xj (N*) = {x: qjPj (x) > qkpk(x), x < N*, к = 1,.. „т, к Ф j} . Теорема 1. Предположим, что невозмущенные pj(x) и возмущенные p.(x) условные вероятности при некотором N s, k = \,...,m,k*j(x), (3) Pi(x) -Р,-(x) (4) < Б, (Р j ( x) - Pj ( x)) (5) < Б. xeX(N )\X (N ) xeX(N ) Тогда байесовское решающее правило 5 удовлетворяет неравенству m a(5 ) ЧкРк(x)+Б. Следовательно, в силу (4) qj(x)р j(x) > qj(x)pjx)- qj(x^ + Б > qkPk(x) - qkБ - qj(x)Б + Б > qkPk(x). Поэтому справедливы неравенства (6) a (5 ) 0, с множеством состояний 1, 2. Интенсивность перехода из состояния 1 в состояние 2 равна Y1, интенсивность перехода обратно равна Y2- Случайный процесс y(t), t > 0, с вероятностью ^ = Y2 / (Y1 +Y2) равен 1 и с вероятностью = Y1 / (Y1 +Y2) равен 2. Он разбивает временную полуось t > 0 на полуотрезки 0 = TQP(n(T) е Z, y(0) = J, T1> T) = qj qj _ P(n(T) е Z / y(0) = J, T1 > T)P(y(0) = J, T1 > T) = qj _ P(n(T) е Z / y(0) = J, T1 > T)P(T1 > T / y(0) = j)P(y(0) = j) = qj = P(n(T) е Z / y (0) = j, T1 > T )P(T1 > T / y (0) = j = = P(n(T) е Z / y(0) = J, T > T) exp(-YjT) = P(n(T) е Z / y(0) = j, T > T)(1 - sj ). Таким образом, доказано, что P(n(T) е Z / y(0) = j, T > T) - s < P(n(T) е Z / y(0) = j, T > T)(1 - sj ) < P(n(T) е Z / y(T) = j). (8) Аналогично получаем P(n(T) е Z / y(T) = j) = P(n(T) е Z, y(T) = JT) < P(n(T) е Z, y(0) = J, T1> T) + qj qj +PTH) = P(n(T)еZ/y(0) = J,T1>T)(1 -sj) +| q^P(T1 T )(1 - s j ) + mife. J qj Следовательно, справедливо неравенство < P(n(T) e Z / y(0) = j, T > T) + q181 + q282 . (9) q Из неравенств (8), (9) получаем неравенство (7). Следствие 1. Для любых N*, 0-^ ke.{\„. .,m}, k Ф j(N). Тогда выполнены соотношение (5) и соотношение (4), принимающее форму | Pj (x)-p'j (х) |< s, х = 0,.. ,,N. (Ю) Причем байесовское решающее правило 5 удовлетворяет неравенству а(5 ) N*/y(0) = 1) » 0,0166, P(n(T) > N7y(0) = 2) » 0,0006. Следовательно, из следствия 2 и теоремы 1 имеем, что вероятность ошибки байесовского решающего правила 5 , основанного на наблюдениях за потоком точек на сравнительно небольшом отрезке времени длины T =1, удовлетворяет неравенству а(5') < а(5) + 8+ 2 (qPi(x) + q2P2(x)) < а(5) + 0,0283. x >N ' qt8! + q282 ^ j, ^j У P(n(T) e Z / y(T) = j) < P(n(T) e Z / y(0) = j, T,> T )(1 -8,) + ^ + ^ < q Рис. 1. Значения qp(j) отображены сплошной линией, значения q2p2(j) отображены пунктирной линией, значения | qp (j) - q2p2 (j) | отображены точечной линией. * Пример 2. Пусть а1 = а2 = 0,01, T = 1, Х1=2, Х2=1, N = N = 4, тогда имеем q1= q2 =0,5, s1 = s2=0,01, s = 0,02, min | q1 p1(x) -q2p2(x) |= 0,04. 1< x < N * Следовательно, из следствия 2 и теоремы 1 имеем, что вероятность ошибки байесовского решающего правила 5' , основанного на наблюдениях за потоком точек на сравнительно небольшом отрезке времени длины T = 1, удовлетворяет неравенству а(5 ) < а(5) + s = а(5) + 0.02. На рис. 1 показаны значения qkpk(j),k = l,2, j = 0,...,А, позволяющие определить с = 0,02. В приложениях обсуждается задача построения байесовского решающего правила при наличии более двух гипотез. Условия теорем 1, 2 нетрудно распространить и на этот случай. Заключение В настоящей работе строится оценка состояния альтернирующего процесса (управляющего интенсивностью пуассоновского потока) в заданный момент времени по наблюдениям за числом точек потока на сравнительно небольшом предшествующем отрезке времени. Поэтому применение оценок устойчивости в лемме Неймана-Пирсона позволяет в качестве предельного для данного числа точек (наряду с нормальным) взять пуассоновское распределение. Это предоставляет дополнительные возможности для проверки гипотез применительно к важной прикладной задаче, рассмотренной в работах [1, 2].

Скачать электронную версию публикации