To the optimality of singular controls in the classical sense in one problem of optimal control of systems with variable.pdf H X JJSv'(t, x)My (t,x,У°(t, x), v° (t,x), yl (t, x))Sy (t,x)dxdt ■ h xo (54) t2 X J J h x , (t, x )Sv (t, x ) dxdt. t2 X JJSv' (т, s ) MVy (т, s, y° (т, s ), v° (т, s ), yl (т, s )) R1 (т, s; t, x) dsd т t x0 Далее имеет место тождество h X JJSy'(t,x)(t,x,y0 (t,x),v° (t,x),yl (t,x))Sy (t,x)dxdt -h x0 J J R (t, x; т, s)Myy (т,s, y0 (т, s), v0(т, s), y (т, s))R (t, x;a, p)dxdt t=mаx2т, x) x=max(s,p) xg (a, p)Sv (a,p) da dp. JJSv ' (т, s ) g; (т, s ) D D1 Введя обозначение t2 X N (т, а,р)= J J R (t, x; т, 5) (t, x, y°(t, x), v°(t, x), y°(t, x)) R (t, x; a, p) dxdt t=max(r, x) x=max(5,p) д 2ф2( y °(t2, X)) -R (t2,x;т,5)----R (t2,x;a,p) и учитывая тождества (53)-(55), из неравенства (52) получим J JSv ' (т, 5) g'v (т, 5) N (т, 5; a,p) gv (a,p)5v (a,p) d т dsd a dp+ (56) D D Г X +2 J JJSv'(т,5)Mvy (т,5,у°(т,5),^(т,5),у°(т,5))R2 (т,5;t,x)dтd5 gv (t,x)5v(t,x)dtdx + D2 L< x + J Sv'(t,x)Mvv (t,x,y° (t,x),v° (t,x),(t,x))Sv(t,x)dxdt < 0. D2 Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 3. Для оптимальности классической экстремали (и° (t, x), v° (t, x)) в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства (51), (56) выполнялись для всех Ъи(t,x)e Rr, (t,x)е D1 и Sv(t,x)е Rq, (t,x)e D соответственно. Неравенства (51) и (56) являются довольно общими необходимыми условиями оптимальности второго порядка. Из них можно получить ряд более легко проверяемых необходимых условий оптимальности, и в частности аналог условия Лежандра-Клебша. Теорема 4. (Аналог условия Лежандра-Клебша) Для оптимальности классической экстремали (и° (t,x), v° (t,x)) необходимо, чтобы выполнялись соотношения и'Нии (0,4x° (04),и° (04), (0,4))и < 0, (57) для всех и е Rr, (0,4) е [t0,' )x[x0,X), v' Mv (0,4, y° (0,4), v° (0,4), v2 (0,4)) v < о, (58) для всех v е Rq, (0,4) е [',t2)x[x0,X) . Неравенства (57), (58) являются аналогом условия Лежандра-Клебша. Рассмотрим случай вырождения аналога условия Лежандра-Клебша. Определение. Классическую экстремаль назовем особым, в классическом смысле, управлением, если для всех (0,4)е['0)x[x0,X) и и еRr и'Нии (0,4x° (04),и° (04),(0,4))и = о, (59) а для всех (0,4)е[',t2)x[x0,X) и v е Rq v' Mv (0,4, y° (0,4), v° (0,4), (0,4)) v = о. (60) Имеет место Теорема 5. Для оптимальности особого в классическом смысле, управления (и°(', x), v°( t, x)) необходимо, чтобы выполнялись соотношения и'[/:{0> 4) K (0, 4; 0, 4)fu (0, 4) + 0,5H„ (0,4, (0,4) ,«°(0,4), )x[s,S+л/ц), где ц > 0 достаточно малое произвольное число, такое что e + < tj, + -^/ц < X, а u e Rr произвольный вектор. Принимая во внимание (63) в неравенстве (51) и учитывая (59), после некоторых преобразований получим Ц1 {u'[f (e, S)K (e, S; e, (e, S)+ o,5Huz (e, s, z °(e, s), u °(e, s), yl(e, s)) f (e, ^)}]}+о(ц2)< o . Отсюда в силу произвольности ц > 0 следует неравенство (61). Этим теорема 5 доказана. Заключение В статье рассматривается одна задача оптимального управления, описываемая системой гиперболических уравнений с краевыми условиями Гурса. При предположении открытости областей управления установлены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков. Отдельно изучен случай вырождения аналога условия Лежандра-Клебша. Выведено необходимое условие оптимальности (в классическом смысле особых управлений).

Скачать электронную версию публикации