Pole assignment for second-order system by acceleration feedback.pdf Задача управления спектром линейной стационарной динамической системы в случае статической обратной связи по выходу относится к трудно решаемым задачам математической теории управления [1]. Эту задачу можно рассматривать как обратную проблему собственных значений [2]. Подобного рода задачи встречаются не только в теории автоматического управления, но и в механике, физике, обработке сигналов, вычислительной математике. Обратная проблема собственных значений, как правило, сводится к решению систем нелинейных алгебраических уравнений. В отличие от систем линейных алгебраических уравнений системы нелинейных алгебраических уравнений могут не иметь действительных решений или иметь конечное число таких решений. Поиск всех действительных решений системы нелинейных алгебраических уравнений в общем случае является достаточно сложной вычислительной задачей. В данной работе решается задача управления спектром системы второго порядка с двумя переменными входа и двумя переменными выхода. Предполагается, что измерению доступны вторые производные переменных выхода. Управление строится в виде статической обратной связи по вектору измерений. Такого вида обратную связь принято называть обратной связью по ускорению. В работе рассматриваются условия существования решения задачи управления спектром и ограничения, накладываемые на спектр замкнутой системы. Описывается алгоритм расчета матрицы обратной связи, который сводится к последовательному решению квадратного уравнения и системы линейных алгебраических уравнений. Аналогичный метод синтеза обратной связи по выходу для системы, заданной передаточной функцией, описан в работе [3]. Необходимо также отметить работы [4-6], в которых представлено решение задачи управления спектром для систем второго порядка с обратной связью по скорости и ускорению. В этом случае синтез обратной связи может быть осуществлен на основе решения линейных матричных уравнений или линейных матричных неравенств. Для систем со статической обратной связью по ускорению этот подход неприменим. Данная статья дополняет работу [7], в которой получено решение задачи управление спектром системы второго порядка в случае статической обратной связи по выходу. 1. Постановка задачи Рассмотрим линейную динамическую систему, поведение которой описывается уравнением A y + Aiy + A2 y = Bu , где и , y - 2-векторы входа и выхода, A0 , Ax, A2 , B - (2 х 2)-матрицы с вещественными элементами. Управление будем искать в виде обратной связи по вектору вторых производных и = -F y, где F - (2 х 2)-матрица обратной связи с вещественными элементами. Замкнутая обратной связью система описывается уравнением (A0 + BF)у + Axy + A2у = 0 . Под спектром разомкнутой системы будем понимать корни характеристического многочлена разомкнутой системы a(s) = det(A(s)), A(s) = A0s2 + Ajs + A2. Под спектром замкнутой системы будем понимать корни характеристического многочлена замкнутой системы b(s) = det(A(s) + BFs2). Будем считать, что det A ф 0, и будем рассматривать только те матрицы обратной связи, при которых det(A + BF) ф 0 . В этом случае спектры разомкнутой и замкнутой систем состоят из четырех чисел, deg a(s) = deg b(s) = 4. Задача управления спектром заключается в выборе матрицы обратной связи F, при которой корни многочлена b(s) совпадают с заданным набором комплексных чисел S = {sj;s2; s3; s4} . Коэффициенты многочлена b(s) действительные, поэтому комплексные числа st должны входить в набор S комплексно сопряженными парами. Для обеспечения асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо также, чтобы числа s находились в левой части комплексной плоскости. 2. Алгоритм синтеза обратной связи Запишем матрицы A, B, F поэлементно: A( s) = Тогда b(s) = a(s) + Cj(s)fjj + C2(s)fj2 + c3 (s)f2j + C4(s)f22 + C5(s)(/jjf22 - /21/12) , где a(s) = an (s)a22 (s) - a2j (s)aj2 (s) , Cj (s) = (a22 (s)bu - aj2 (s)b2j )s2, c2 (s) = (aJJ (s)b2J - a2J (s)bJJ)s2 , c3 (s) = (a22 (s)bJ2 - aJ2 (s)b22 )s2 , Обозначим C4(s) = (ajj(s)b22 -a2j(s)bj2)s2 , C5(s) = (bjjb22 -b2jbj2)s4 . 4 3 2 4 3 2 a(s) = a0s + ajs + a2s + a3s + a4, Cj(s) = Cj0s + Cjjs + Cj2s , 4 3 2 4 3 2 C2(s) = C20s + C2Js + C22s , C3(s) = C30s + C3Js + C32s , t \ 4 3 2 ( \ - 4 C4(s) = C40s + C4js + C42s , C5(s) = C50s . Следовательно, коэффициенты характеристического многочлена замкнутой системы b(s) = b0 s4 + bjsi + b2 s2 + b3s + b4 равны b0 = a0 + CJ0fJJ + C20fJ2 + C30f2J + C40f22 + C50 (fjjf22 - f2JfJ2) , bJ = aJ + CJJfJJ + C2JfJ2 + C3Jf2J + C 4jf22 , b2 = a2 + CJ2fJJ + C22fJ2 + C32f2J + C42f22 , b3 = a3 , b4 = a4 . Составим многочлен b (s) = b0(s - sj)(s - s2)(s - s3)(s - s4) = b0(s4 + bjs3 + b2s2 + b3s + b4), где s , s , s , s - желаемый спектр замкнутой системы. Приравняем коэффициенты многочленов b(s) и b (s). Получим систему уравнений ajj(s) aJ2(s) , B = bjj bJ2 , F = 'fjj fj2 " a2j(s) a22 (s)_ b2J b22 _ /21 f22 _ b0b1 = b1 , b0b2 = b2 , b0b3 = «3 , b0b4 = «4 • (1) Система уравнений (1) является системой нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов обратной связи fn, f12, f21, /22. Будем считать, что «4 = det A ^ 0 . Это означает, что спектр разомкнутой системы не содержит нулевых чисел. Из равенств (1) следует, что корни многочлена b (5) связаны соотношением l l l l a (2) - + - - + - .+--= - a 5 5 5 5 2 3 4 4 Соотношение (2) накладывает ограничение на спектр замкнутой системы. Пусть соотношение (2) выполняется. Тогда в системе уравнений (1) можно оставить первые три уравнения. Запишем эту систему уравнений в матричном виде: Cf = p + qg • (3) Здесь C10b1 C11 C10b2 - C12 C10b3 C20b1 - C21 C20b2 - c22 c20b3 C30bl - C3l c30b2 - c32 c30b3 a1 - a0b1 - C50b1 p = «2 - a0b2 , q = - C50b2 «3 - a0b3 _ - C50b3 _ fll fl2 f2l f22 c40bl - C4l C40b2 - C42 C40b3 C = f = g = fllf22 f2lfl2 • Пусть строки матрицы C линейно независимы, rank C = 3. Тогда при заданном значении g система уравнений (3) имеет бесконечно много решений. Частное решение, обладающее минимальной нормой, можно построить с помощью псевдообратной матрицы f = C (p + qg), C += CJ ICC (cc" J-1 • (4) Введем матрицу 0 0 0 1 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 Неизвестную переменную g можно записать в виде квадратичной формы: G = Подставим (4) в (5). Получим уравнение (5) (6) g = f Gf • r0g + rlg + r2 = 0 ' где T (c +JgC+q , r = PT (c +JgC+q + qT (c +f GC+p -1, r0 = q Г2 = pT (C +JGC+p • Пусть r2 - 4rr - 0. Тогда существует одно или два действительных решений g уравнения (6), для которых мы можем получить вещественные решения уравнения (3) f = C + (p + qg), и, соответственно, матрицы обратной связи, при которых корни характеристического многочлена замкнутой системы совпадают с заданным набором комплексных чисел S• 3. Пример Рассмотрим двухмассовую механическую систему с активным демпфированием, движение которой в окрестности положения равновесия подчиняется уравнениям m1y1 =~к\У\ - d1y1 + к2(У2 - УО + d 2( y 2 - У\) + u1 - щ2 , m2y2 = к2(У2 - У1) - d2(y2 - y1) + u2 , где y1, y2 - отклонения масс от положения равновесия (м); щ, и2 - управляющие силы; m, m2 -значения масс (кг); кх, к2 - коэффициенты жесткости (Н/м); dx, d2 - коэффициенты демпфирования (Нс/м). Матрицы системы равны d1 + d2 d 2 A = d mj 0 " d1 , A = 0 m2 _ - 2 к1 + к2 - к2 _ - к2 к2 _ Характеристический многочлен разомкнутой системы: a(s) = m1m2s4 + ((d1 + d2)m2 + d2m1)s3 + ((к1 + k2)m2 + ^m1 + d1d2)s2 + + (^d2 + k2d1 )s + к;к2 . Характеристический многочлен замкнутой системы: b(s) = (m2/n + m1f22 -m^.f21 + /11/22 -/12/21 + m1m2>4 + + (d/11 + d2f12 + d1f22 + (d1 + d2)m2 + d2m1>3 + A2 = 5 = feOn + /12) + к1/22 + (к1 + к2)да2 + к2ОТ1 + d1d2 У + ( + + (к^2 + ^dj )s + к;к2 . Ограничение (2) принимает вид: 1 1 1 1 + ^di - + - + - + - = --- S s^ s^ s^ кк 1 °2 °3 °4 Пусть m1 = 2, m2 = 3, к1 = 2, к2 = 4, d1 = 3, d2 = 5 . Спектр разомкнутой системы равен s1 = -4,242; s2 = -0,94; s3 = -0,24 + 0,53i; s4 = -0,24 - 0,53i . Зададим желаемый спектр замкнутой системы в виде s1 = -v + wi; s2 = -v - wi; s3 = s1; s4 = s2. Из соотношения (7) следует 2 4кк 2 w =--- v - v . + Например, при v = 1 получим w = 0,67 . Составим многочлен, корнями которого являются числа s1 = -1 + 0,67i; s2 =-1 -0,67i; s3 = s1; s4 = s2 . Ранг матрицы C равен 3, уравнение (6) имеет вещественные решения g = -8,28 ; g2 = -6,1 . Соответственно находим две матрицы обратной связи: (7) - 0,59 - 2,85 - 2,26 - 0,563 - 0,348 - 3,09 - 2,74 - 0,563 F = F = при которых спектр замкнутой системы совпадает с заданными числами. Заключение В работе показано, что спектр системы второго порядка с обратной связью по ускорению нельзя назначить произвольно. При выборе допустимого спектра матрицу обратной связи можно найти, решая последовательно две алгебраические задачи - квадратное уравнение и систему линейных алгебраических уравнений. В результате при определенных условиях можно получить две матрицы обратной связи, которые обеспечивают заданный спектр замкнутой системы. Результаты работы могут найти применение при решении задач управления колебаниями механических систем на основе сигналов датчиков ускорений, что подтверждается рассмотренным в статье примером решения задачи управления спектром двухмассовой механической системы.

Скачать электронную версию публикации