Robust extrapolation in discrete systems with random jump parameters and unknown input.pdf Задачи построения оценок и синтеза управлений для объектов с непрерывным временем и параметрами со скачками рассматривались в работах [1-4]. Подобные проблемы изучались для дискретных систем в работах [5-9]. В настоящей работе рассмотрена задача синтеза робастного экстраполятора для дискретного объекта со случайными скачкообразными параметрами с конечным числом состояний. Решены задачи синтеза стационарного экстраполятора, а также синтеза нестационарного экстраполятора для конечного интервала при точной диагностике скачкообразного параметра и при диагностике с ошибками. 1. Постановка задачи Пусть модель объекта описывается разностным уравнением: х(к + 1) = А.,х(к) + (Uk)+f(k) + qJk), х(0) = х0, (1) где х(к) е R'" - вектор состояния, у - марковская цепь с п состояниями у1, у2,...,уи; I/,,(к) - известный вход; j[k) - неизвестный вход; хо - случайный вектор (предполагаются известными дисперсии N0. = М{(х0 - х0 )(х0-xf /у = у,}, /' = 1, и и математическое ожидание х0 = М{х0}); А.; заданная матрица; 0 и L (Tf ) > 0 - весовые матрицы, у0 - начальное значение переменной у. Задача экстраполяции рассматривается, когда значение у идентифицируется точно и с ошибками. 2. Синтез оптимального экстраполятора для конечного интервала Для построения оценки будем использовать экстраполятор Калмана X(k +1) = AX(k) + U(k) + f (k) + K(k)(y(k) - SyX(k)), X(0) = X0, (5) где K(k) - матрица коэффициентов передачи экстраполятора, зависящая от к и не зависящая от y(k). Введем обозначения для матриц Q, Vy, R, Ny, Ly, Ay, SY при j = ji: Q, V, R, N., Ц, A.., S., соответственно (i = 1, n )• Теорема. Пусть существуют положительно определенные матрицы Nt и Ц, являющиеся решением двухточечной краевой задачи: n N(k +1) = (A -K(k)Si)(£p,Nj(k))(A. -K(k)Si)T + Qi + K(k)VK(k)T, N..(0) = N0. (6) j=1 n L (k) = (A - k(k)S. )T (X p,L (k+1))(A - k(k)S.)+r , L (Tf)=lt .. (7) j=1 Тогда вектор ct(K (k)), составленный из строк матрицы K(k), определится по формуле ct(K (k)) = (£p, (k +1) [L (k +1) ® S. (£п (k))S- + L. (k +1) ®Vi ])-1 X jj i (8) x ct(£ p. (k + 1)L.. (k +1) A.. (X j (k ))ST). i=i j=i В (8) ® - операция кронекеровского произведения. Доказательство. Представим критерий (3) в виде суммы n J[0;Tf ] = XJ[kTf ], k = 0,Tf. (9) i=1 В (9) J [kT ] определятся по формуле t/-1 j, [k;Tf ] = X tr p.. ©N № (4)+tr p.. T )N T )L T), (10) где tr - след матрицы. Введем функцию Ляпунова следующего вида: т/ _ W(k, N,. (k)) = tr pt (k)NR (k) + tr £ p, (t(t)L,. (t), (11) t=k где L (t) - удовлетворяет (7), (t) = Q, + K(t)V,K(t)T + (t) (здесь ^ (t) - некоторая положительно определенная матрица). Просуммируем по k = t,Tf -1 конечные разности функции W(k, N (k)) , учитывая формулу (7): T-1 T-i X AW (k, Ni (k)) =£ [W (k +l, Ni (k +1)) - W (k, Ni (k))] = (12) (13) k=t k=t T/-1 _ = X tr[ pi (k +1) Ni (k + 1)L, (k +1) - pi (k) N.. (k) Lt (k) - p,(k)^i (k )L, (k)]. k=t С другой стороны, данное выражение можно представить в следующем виде: T/-1 X AW(k, N (k)) = W(t +1,Nt(t +1)) - W(t,N (t)) +... + W(Tf,Ni (Tf)) - W(Tf -1,N (Tf -1)) = k=t T/-1 _ = tr pt (Tf)N, (Tf)L, (Tf) - tr pt (t)N (t)L (t) - tr £ p, (4)^- (4)L (4). 4=t Подставим в формулу (10) разность (12) и, учитывая (13), получим: Tf-1 Tf-1 J[ [k;T/ ] = X/tr pt (4) N ($iR © + tr p, (Tf) N (Tf )L (Tf) + ftr[ pt & +1) ^^ ^ +1) Ц & +1) - 4=k 4=k - p, (4)N.. (4)L, (4) - p. (4)^i (4)L, (4)] - [tr p. (Tf)N.. (Tf )L, (Tf) - tr p, (k)N (k)L (k) - (14) Tf -l Tf -l Tf -l Tf -l - tr Xp, (4)^i (4) L (4)] = X tr p, (4) N.. (4)R (4) + £ tr p, (4 +1) N.. (4 + 1)L,. (4 +1) - £ tr p, (4) N (4) l (4). 4=k 4=k 4=k 4=k+1 Критерий (10), с учетом (14) и (6), представим в виде: (15) n Tf-1 Tf-1 Tf-1 J[0;T/] = £{Xtrp.(4)N(4)R,(4) - X trp,(4)N(4)L(4) + Xtrp,(4 +1) x i=l 4=k 4=k+1 4=k n X [(A,. - к(4)S,.)(Xj(4))(A,. - K(4)S,.)T + Qi + к(4)VK(4)T]L,(4+1)}. j=i Используя правила дифференцирования функции след tr от произведения матриц: 8 tr AXB ,T„T 8 tr AT XBT -= A B , -= BA, 8X 8X вычислим производную по K(k): Л T Tf 1 ". " n = XX[-L, (4 + 1)p, (4 +1) A, (X PjNj (4))S,T - pt (4 +1) L, (4 +1) A, (X pjNj (4))S,T + Ж (k) 4=k i=1 j=1 j=1 + pt (4+1) l. (4+1)K (4)S X (ХрЛ (4))S,T + L (4+1)p,. (4+1)K(4)S, (Xn (4))s,t+ (16) j=i j=i +pt (4+1) l (4+1) к (4)V. + l (4+1) pt (4+1) к (4)V ]. Приравняв эту производную нулю и полагая, что каждое слагаемое суммирования по i равно нулю, получим уравнения для определения матрицы K(k): n p, (4+1)L,. (4+1)K (4)S, (X puiNj (4))S,T + p.. (4+1) l, (4+1) k(4)v + ц (4+1) pt (4+1) K(4)S,. x j=i X (XX p,,j N (4))S,T + ц (4+1)p, (4+1)K(4)V = ц (4+1)p,. (4+1)A (Xn (4))S,T + (17) j=i j=i n +p, (4+1) ц (4+1) д. (X p^ (4))S,T. j=i Запишем аналитическое решение линейного матричного уравнения (17) для вектора ct(K (k)) с использованием операции кронекеровского произведения [11], заменив при этом 4 на k: ct{K{k)) = ^Pi{k + l)[Li{k + l)®Si{YjPiiN]{k))S^ + Ц{к+ \)®Vi\yl х 0 задается произвольно, то очевидно, что ее можно подобрать такой, чтобы конечная разность (19) стала отрицательной. Это условие гарантирует устойчивость динамики экстраполятора по Ляпунову. В качестве алгоритма оценивания неизвестного входа можно использовать различные алгоритмы [12-16]. В частности, при использовании метода МНК оценка f(k) может быть построена на основе минимизации следующего критерия: J{f(k)) = fj[\y(t)-Stx(t)l +II/C-1)!}, (20) t=i где W > 0, W > 0 - весовые матрицы. Тогда оптимальная оценка неизвестного входа примет вид: f(k) = [SkTWSk + W\l SlW{y(k +1 )-Sk (AjX(k) + U(k))}. (21) 3. Синтез стационарного экстраполятора Рассмотрим задачу синтеза стационарного экстраполятора. В этом случае матрица коэффициентов передачи К будет постоянной, а критерий примет вид: п со = (22) 1=1 \=к Двухточечная краевая задача преобразуется в следующую систему матричных уравнений: Мг =(Аг -KSXTPi,iNM ~KS>? +Q> +KV,K[- (23) J=1 L^M-KSf&p^M-KSJ + R,, (24) j=i = (25) t=i j=i t=i j=i где p. - установившиеся вероятности (предполагается, что марковская цепь у является эргодичес-кой). Таким образом, для синтеза стационарного экстраполятора необходимо решить систему матричных уравнений (23)-(25). Отметим, что если существуют положительно определенные решения Nt, L (i = 1, n) матричных уравнений (23)-(25), то из уравнения (24) и условия R > 0 следует справедливость теоремы 1.6 [17], а это означает выполнение условия стохастической устойчивости стационарного экстраполятора со скачкообразными параметрами. Для стационарного экстраполятора x(k +1) = A,x(k) + U(k) + f (k) + K(y(k) - Syx(k)), x(0) = Jo, (26) где K определяется из (25), оценка неизвестного входа может быть определена по формуле (21). 4. Экстраполяция при ошибках диагностики состояния параметра у Задачу экстраполяции при ошибках в диагностике параметра у рассмотрим для частного случая, когда матрицы Q, VY, SY не зависят от скачкообразно изменяющегося параметра у и в модели отсутствует неизвестный вход: x(k + 1) = Ax(k) + U (k) + q(k), x(0) = Xo. (27) Так как в модели (27) отсутствует неизвестный вход, то для оценки x(k +1) используем экстра-полятор: x(k + 1) = Ax(k) + UY(k) + K(k)(y(k)-Syx(k)), x(0) = xo, (28) При ошибках в диагностике, если система (27) находится в i-м состоянии (у = у.), а это состояние идентифицировано ошибочно какj-е (j ^ i), будем представлять модель (27) как модель с неизвестным входом: (29) x(k +1) = Ax(k) + U, (k) + f (k) + q(k), где f (k) = (A - A )x(k) + (U -Uj) является вектором неизвестного входа, так как i-е истинное состояние системы неизвестно. Для определения оценки в этом случае воспользуемся экстраполятором: X(k +1) = A}x(k) + Uj (k) + f (k) + K (k)(y(k) - SX(k)). (30) В (28) и (30) матрица K(k) вычисляется так же, как и в разделе 3. Здесь может быть использован также постоянный коэффициент передачи K в соответствии с уравнениями (23)-(25), оценка f (k) в (30) может быть вычислена по формуле (21). 5. Результаты моделирования Оценку экстраполяции при ошибке в диагностике параметра у рассмотрим для модели, в которой марковская цепь имеет два состояния. Моделирование выполнялось для случая, когда матрицы QY, V, SY не зависели от скачкообразно изменяющегося параметра у и коэффициент передачи экстраполятора определялся из решения системы матричных уравнений (23)-(25). Исходные данные, используемые при моделировании: (1,075 0,1 1 ( 1,15 0,75 1 4 = V-0,05 0,94j A = V-0,02 0,725j (1 0^ V0 1 j (0,8 0,2 1 ( 0,5 1 (1 01 P = , P = , W = v 0,2 0,8 j v 0,5 j v0 1 j 0,1 0 ^ (0,1 0 W - R1 - R2 - 0 0,1 0 0,15 (1 01 (1 01 , V = 0 1j, V0 1j S = Q = Вектор U (k) не зависит от у и определяется соотношением: , если k < 64, 0,275 v-0,0025j U (k) - -0,625 , если k > 64. 0,0015 у На рис. 1 приведены графики значений параметра у и его оценки. Рис. 1. Значения скачкообразного параметра у (сплошная линия - истинные значения параметра у, пунктирная линия - оценки параметра у) На рис. 2 приводятся результаты работы предложенных экстраполяторов, вычисляющих оценки прогноза с ошибками в диагностике параметра у (рис. 2, а - для первой компоненты вектора состояния, рис. 2, б - для второй). Рис. 2. Оценки прогноза с ошибками в диагностике параметра у (сплошная линия - значения состояния объекта, пунктирная линия - оценка прогноза на интервале k е [35;64], штрихпунктирная линия -оценка прогноза с использованием экстраполятора (26)) На рисунках видно, что на участке от 35 до 64 при ошибке идентификации алгоритм прогнозирования, не использующий оценки неизвестного входа, дает существенные ошибки. Значения среднеквадратических ошибок для соответствующих временных интервалов приведены в табл. 1 и 2. Результаты получены путем усреднения по 50 реализациям. Сравнения выполнены для алгоритмов А и Б: - алгоритм А - прогнозирование с ошибкой в определении параметра у без использования оценки неизвестного входа (экстраполятор (28)); - алгоритм Б - прогнозирование с ошибкой в определении параметра у с использованием оценки неизвестного входа (экстраполятор (30)). Таблица 1 Среднеквадратические ошибки экстраполяции для xi № Интервал Алгоритм А Алгоритм Б 1 1-15 0,862 0,983 2 15-35 0,332 0,261 3 35-64 15,603 1,526 4 64-83 6,981 3,706 5 83-100 0,352 0,243 Таблица 2 Среднеквадратические ошибки экстраполяции для хг № Интервал Алгоритм А Алгоритм Б 1 1-15 0,613 0,676 2 15-35 0,568 0,435 3 35-64 9,215 0,88 4 64-83 3,682 2,074 5 83-100 0,301 0,211 Как видно из графиков и таблиц, применение алгоритма оценивания неизвестного входа позволяет при ошибках в диагностике параметра у повысить точность оценок прогноза вектора состояния для дискретных моделей со скачкообразно изменяющимися параметрами. Заключение Получено решение задачи синтеза стационарного и нестационарного робастного экстраполятора для линейной дискретной модели с неизвестным входом и со случайными марковскими скачкообразными параметрами у. Результаты математического моделирования показали, что применение разработанного алгоритма к задаче прогнозирования при ошибках в диагностике параметра у позволяет повысить точность прогнозирования.

Скачать электронную версию публикации