Model of inventory control of homogeneous products with relay control of production rate and MMP-flow of sales moments.pdf Одной из классических задач теории управления запасами является задача производства и сбыта однородной продукции. Систематическое исследование моделей управления запасами началось, по-видимому, еще в 1950-е гг. в работах [1, 2]. К настоящему времени опубликовано огромное количество работ, посвященных данной тематике, в которых либо используется чисто детерминистский подход к решению задачи, требующий полной информации о процессе реализации продукции [3-5], либо рассматриваются стохастические модели. Из работ последнего времени, в которых рассматриваются стохастические модели, отметим, например, работы [6-14]. Целью данной работы является определение асимптотических вероятностных характеристик модели управления запасами с релейным управлением темпом производства и ММР-потоком моментов продаж. 1. Математическая модель В настоящей работе задача производства и сбыта продукции рассматривается при следующих предположениях. Пусть S(t) - количество продукции в момент времени t. Считается, что продукция производится со скоростью C(S), так что за время At поступает C(S(t))At единиц продукции. Накопленная продукция непрерывно реализуется. Величины покупок являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с плотностью распределения ф( х) и моментами M {х} = a х2}=a. M {х2} и Моменты продаж образуют дважды стохастический пуассоновский поток с интенсивностью X(t) . Процесс X(t) является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и n состояниями X(t) = X. . Такое предположение представляется естественным, так как продажи происходят в принципе в случайные моменты времени, а интенсивность потока продаж с течением времени случайным образом может изменяться. Простейшим примером является изменение количества покупателей в течение дня в продуктовой торговой точке. Пусть переход из состояния в состояние задается матрицей инфинитезимальных характеристик Q = [ qij ] ранга n -1, где q > 0 при i ф j и n I qv = (1) j=1 Обозначим уг, i = 1,n - собственные значения матрицы Q , уп= 0 . В дальнейшем считается, что все собственные значения - простые. Если при i = 1, n -1 yt< 0, то существуют финальные вероятности состояний щ, являющиеся решением системы уравнений Zq« = о, (2) п1 +л2 +... + nn = 1. (3) Различные варианты выбора функции C(S) приводят к различным моделям производства и сбыта продукции. В простейших случаях, которые и будут в дальнейшем рассматриваться, управление C(S) является релейным с различными вариантами выбора точек переключения управления. Приведем несколько возможных вариантов. Пусть (cn, S < sn, с0 s , s", (4) n где S- пороговое значение желаемого запаса продукции, с Xоа и X0 = - средняя i =1 интенсивность потока покупок. Выбор управления вида (4) гарантирует в стационарном режиме стабилизацию уровня запаса продукции S(t) около желаемого значения S0. Отрицательные значения запаса S(t) интерпретируются как неудовлетворенный спрос (накопленные заказы подлежат немедленному исполнению при пополнении запаса) [15]. При выборе функции C (S) в виде [с, s < s, C (S) = 1 0 (5) ( ) 1 0, s > S" () величина S0 может интерпретироваться как максимально допустимый уровень запаса. Отметим, что при детерминированной постановке задачи управления производством и сбытом продукции релейное управление вида (5) является оптимальным [4]. Наконец, возможен вариант [ C,0 < S < S, C(S)=1 ' < < 0; (6) [0, S < 0 uS > S0. В этом случае неудовлетворенный спрос не учитывается, неудовлетворенные заказы теряются. 2. Функция распределения количества продукции в стационарном режиме Обозначим P(s,t)=P^(t) (*) + !>,+ (s + xMx)dx, sS0. (12) Отсюда при s < S0 п °° СРг (5) = -\Р (5) + £ Ч]гР3 (5) + X1IP(S + х)ф(x)dx + J ф(x)dx, s/г/(*) + 7ггФ) • (27) 0, I^ = 1, то матрица ш = [ш. ] > 0 . Поэтому все главные миj норы к -го порядка этой матрицы Ak (ш) > 0 . Миноры матрицы квадратичной формы W k-го порядка к 1 Ak = П-Aк (ш) . Так как ук < 0, то знаки миноров A чередуются. Поэтому квадратичная форма W J=' Y j отрицательно определена. Решение уравнения (28) будет иметь вид Al( z - 20) f (z) = B + B2 eA . Al( z - *0) f (z) = BeA , z < z0. (31) Так как p (-ад) = 0, то f (-ад) = 0, и окончательно Таким образом, при s < S0 Al 6 ( s - S0) p (s) = BkeA + O(6) . (32) Соотношение (31) и, соответственно, соотношения (32) были получены в предположении, что s ф S0 (z ф z0) . При s = S0 уравнения (13) дают п сад) = -хгр (S ) ■ 0?о) +W (зз) У=1 Подставляя в (33) выражения (32) и суммируя соотношения (33), получим B = -L_ + o(6). (34) 1 + 6aAL 4 n х, i=1 Таким образом, при 9

Скачать электронную версию публикации