Queueing system H2|GI|<» with an infinite mean of service time.pdf Системы массового обслуживания все чаще используются для описания широкого круга практических задач. Некоторые из них могут быть сформулированы таким образом, что количество обслуживающих приборов становится настолько большим, что его можно считать бесконечным. Это могут быть такие модели страховых компаний, в которых договоры страхования жизни или имущества с физическими или юридическими лицами выступают в качестве обслуживающих приборов. Разумеется, ограничивать число таких договоров в подобных системах совершенно нелогично [1]. Результаты для системы обслуживания с бесконечным числом каналов и идентичным временем обслуживания, полученные в [2], применяются к анализу процесса образования очередей на неуправляемых перекрестках автомобильных дорог. Также системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов используются для моделирования систем распределенной обработки данных [3] или, как показано в [4], - для анализа изменения числа клиентов торговой компании. Исследованием систем с неограниченным числом приборов занимаются со второй половины XX в. В [5] была рассмотрена система массового обслуживания типа M|G|® - телефонная станция, в которой ни один звонок не задерживался и не терялся. В 1960-1980-е гг. публикуется ряд статей [6-10], посвященных системам GI|G|w и G\M\CX- В [9, 11] изучаются системы GI|GI|w, интенсивность входящего потока в которых стремится к бесконечности, но распределение времени обслуживания фиксировано. В [12] доказывается ряд предельных теорем для системы, в которой среднее время обслуживания бесконечно. В работе Е. Баштовой и Е. Чернавской [13] показано, что в предельном условии растущего времени число заявок в системе имеет гауссовское распределение. Как показано в [14-16], модели с неограниченным числом приборов можно применять и в случаях, когда вероятность достижения загрузки всех каналов достаточно мала. Поэтому модели массового обслуживания с неограниченным числом приборов последние десятилетия изучаются довольно подробно [17-22]. В этих работах исследованы распределения вероятностей числа занятых приборов как в стационарном [21], так и в нестационарном случае [19]. И нестационарное распределение вероятностей найдено лишь для пуассоновского входящего потока. Результаты исследования однофазных, многофазных систем и сетей массового обслуживания с неограниченным числом приборов и рекуррентным обслуживанием представлены в работах [17, 23-25]. Однако все работы объединены общей идеей конечного математического ожидания времени обслуживания заявки. Но при рассмотрении моделей, для которых математическое ожидание времени обслуживания заявки бесконечно, все результаты перестают иметь хоть какое-то логическое обоснование. Поэтому возникает необходимость рассмотреть бесконечнолинейную систему массового обслуживания с бесконечным математическим ожиданием времени обслуживания заявки. Такая система с входящим рекуррентным потоком, в котором интервалы между моментами наступления событий имеют гиперэкспоненциальное распределение, рассматривается в настоящей работе. 1. Описание модели и постановка задачи Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов (рис. 1). Рис. 1. Система массового обслуживания с неограниченным числом приборов, произвольной функцией распределения времени обслуживания заявок В(х) и гиперэкспоненциальным рекуррентным потоком A(x) длин интервалов между моментами наступления событий На вход этой системы поступает гиперэкспоненциальный рекуррентный поток, длины интервалов между моментами наступления событий в котором имеют двухфазную гиперэкспоненциальную функцию распределения A(x) = q(1 - e~X1 + (1 - q)(1 - e"^x) , (1) с параметрами 0 < q < 1, X > 0 и X2 > 0. Продолжительности обслуживания заявок являются независимыми случайными величинами с функцией распределения B(x) и бесконечным первым моментом, т. е. выполняется равенство J (1 - B(x))dx = ю. (2) 0 Обозначим i(t) - число заявок (число занятых приборов) в системе в момент времени t. Для рассматриваемой системы, в силу условия (2), не существует стационарного распределения вероятностей значений процесса i(t), поэтому его нестационарное распределение обозначим P(i, t) = P{i(t) = i}, (3) полагая, что при t = 0 система свободна и в ней нет обслуживаемых заявок. Задачей исследований в данной работе является нахождение нестационарного дискретного распределения P(i, t) числа занятых приборов в момент времени t. Для решения поставленной задачи применим метод динамического просеивания [17] (метод просеянного потока). 2. Метод динамического просеивания Рассмотрим две оси времени t (рис. 2). На первой оси отметим моменты наступления событий входящего потока, а также моменты времени t = 0 и t = T > 0. Обозначим S(t) = 1 - B(T -1), 0 < t < T (4) вероятность того, что заявка входящего потока, поступившая в момент времени 0 < t < T, будет находиться в системе в момент времени t = T, занимая один из ее приборов. Каждое событие входящего потока, наступившее в момент времени t с вероятностью S(t) просеивается на вторую ось (реализуется динамическое по t просеивание), а с вероятностью 1 - S(t) не рассматривается. По построению на второй оси генерируется нестационарный просеянный поток. Рис. 2. Метод динамического просеивания заявок, поступающих в систему на обслуживание Обозначим n(t) - число событий просеянного потока, наступивших за время t на интервале [0, t]. Доказано [17], что выполняется равенство P{i(T) = m} = P{n(T) = m} = P(m,T), m = , (5) поэтому для нахождения распределения вероятностей P(i, T) из (3) числа i занятых приборов в системе в момент времени t = T достаточно найти распределение вероятностей числа n(t) событий просеянного потока, наступивших за время t, и положить t = T. Обозначим k(t) - состояние входящего рекуррентного двухфазного гиперэкспоненциального потока в момент времени t, положив k(t) = k, если в момент времени t поток находится на k-й фазе (k = 1, 2) двухфазного гиперэкспоненциального распределения A(x) из (1). Рассмотрим двумерный случайный процесс {k(t), n(t)}, а его распределение вероятностей обозначим P{k(t) = k,n(t) = n} = P^ (n,t), k = 1,2, n = 0^ . (6) Нетрудно показать, что это распределение Pk(n, t) является решением системы уравнений cP (n, t) = [q(1 - S(t)) -1]^ (n, t) + ^qS(t)^ (n -1, t) + + %2 q(1 - S (t)) P2 (n, t) + X2 qS (t) P2 (n -1, t), (7) cP2 (n, t) ^ = ^ (1 - q)(1 - S (t)) P (n, t) + ^ (1 - q)S (t) P (n -1, t) + + X2 [(1 - q)(1 - S (t)) - 1]P2 (n, t) + X2 (1 - q)S (t) ^ (n -1, t). Для распределения вероятностей Pk(n, t) обозначим частичные по k характеристические функции числа n(t) событий, наступивших в просеянном потоке за время t, да k( (8) Hk (u, t) = X eJunR (n, t) n = 0 для которых, в силу (7), запишем систему двух дифференциальных уравнений Xj{q -1 + (e]u -1)qS(t)}Hj(u,t) + ^{q + (eJU - 1)qS(t)}#2 (u,t) H (u, t) ]u ]u -2-= X {1 - q + (e]u -1)(1 - q)S(t)}H (u,t) + X {-q + (e]u -1)(1 - q)S(t)}H (u,t). dt 1 12 2 Нетрудно показать, что Hk (u,0) = Hk (0, t) = Pk, тогда, положив в (9) u = 0, получим для Rk систему двух эквивалентных уравнений -X (1 - q)^ +X2 q^ = 0, X (1 - q)^ qR2 = 0. 5Я1 (u, t) dt (9) Решение {R1, R2} этой системы, удовлетворяющее условию нормировки Ri + R2 = 1, имеет вид: Xr,q q (1 - q)X R =-2-, R =-1-. (11) 1 X2 q + (1 - q 2 X2 q + (1 - q 3. Среднее значение числа заявок в системе ая^ (м, t) du Обозначим = jmk (t), м = 0 где mk(t) - частичные первые моменты числа событий, наступивших в просеянном потоке за время t, а их сумма m(t) = mi(t) + m2(t) является средним значением числа событий, наступивших в просеянном потоке за время t на интервале [0, t]. Докажем следующее утверждение. Лемма 1. Пусть да a = J (1 - A(x))dx -0 средняя длина интервалов входящего двухфазного гиперэкспоненциального рекуррентного потока, тогда среднее значение m(t) = M{«(t)} числа событий, наступивших в просеянном потоке за время t на интервале [0, t], имеет вид: 1t m(t) = - J S(x)dx. (12) a 0 Доказательство. Дифференцируя по u равенства (9) и полагая u = 0, для mk(t) получим систему двух дифференциальных уравнений г m (t)=-(1 - q)Xj m (t)+Xj q^2 (t)+(X R+Xj R> )qs (t), t m2 (t) = (1 - q)Xjm (t) - Xjqm2 (t) + (^R + XjR )(1 - q)S(t). Складывая уравнения этой системы, получим равенство m(t) = (X R + X2 R )S (t). Из этого равенства при начальном условии m(0) = 0 получим t m(t) = (X R +X2r2 ) J S (x)dx, (13) 0 где для X1R1 + X2R2 получаем: X0 q (1 - q )X, X R + X„ R, =X-2-+ X 1 - 11 22 1 X2q + (1 - q)Xj 2 X2q + (1 - q)Xj X1X2 1 1 1 X~q + (1 - q)X q , 1 - q да a' 2 1 J (1 - A(x)dx 1 2 0 1 поэтому m(t) из (13) имеет вид m(t) = - J S (x)dx, который совпадает с (12). Лемма 1 доказана. 1t a0 Из этой леммы следует утверждение. Теорема 1. Пусть B(x) - функция распределения времени обслуживания заявок, тогда математическое ожидание M{/(7)} числа i(T) заявок в системе H2|GI|

Скачать электронную версию публикации