Управление с прогнозированием распределенными стохастическими гибридными системами с мультипликативными шумами при ограничениях | Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 45. DOI: 10.17223/19988605/45/1

Управление с прогнозированием распределенными стохастическими гибридными системами с мультипликативными шумами при ограничениях

В работе рассматривается задача синтеза оптимальных стратегий управления с прогнозирующей моделью для класса распределенных гибридных систем с мультипликативными шумами, состоящих из подсистем, с учетом ограничений на управляющие переменные. Параметры каждой из подсистем изменяются в соответствии с эволюцией марковских цепей, состояния которых взаимосвязаны между собой.

Model predictive control of distributed stochastic hybrid systems with multiplicative noises under constraints.pdf Современные системы управления, как правило, представляют собой сложные иерархические системы, состоящие из взаимодействующих подсистем неоднородной непрерывно-дискретной природы. В частности, инвестиционный портфель представляет собой сложную стохастическую нестационарную динамическую систему и может содержать рисковые финансовые активы разных классов, динамика доходностей которых меняется скачкообразно в соответствии с эволюцией состояний взаимосвязанных марковских цепей, характеризующих, например, состояние различных секторов экономики или различных финансовых рынков [1]. Такие системы относятся к классу распределенных гибридных систем [2, 3]. Гибридные системы с марковскими скачкообразными параметрами нашли широкое признание и применение в практике управления многими реальными процессами [2, 4]. Эффективным подходом к управлению гибридными системами в присутствии ограничений является метод управления с прогнозирующей моделью [3]. В работах [5-9] рассматриваются задачи управления с прогнозированием для гибридных систем, параметры которых изменяются в соответствии с эволюцией одномерной марковской цепи, с учетом ограничений на управления. В работе [10] предложен метод синтеза стратегий управления с прогнозированием для взаимосвязанных гибридных систем с марковскими скачками при условии, что от состояния марковской цепи зависит только матрица управления каждой из подсистем. В настоящей работе рассматриваются распределенные гибридные системы с мультипликативными шумами. Параметры каждой из подсистем изменяются в соответствии с эволюцией марковских цепей, состояния которых взаимосвязаны между собой. Получены уравнения синтеза оптимальных стратегий управления с прогнозирующей моделью с учетом явных ограничений на управляющие переменные. 1. Постановка задачи Пусть система состоит из совокупности подсистем, состояния которых описываются уравнениями x(q) (к +1) = A(q) [a(q) (к +1), к + 1]x(q) (к) + Bq) [a(q) (к +1), к + 1]u(q) (к) + +У B(q)[a(q)(к +1),к + 1]w(q)(к + 1)u(q)(к), q = 1,2,...s, где x(q)(k) - nf' -мерный вектор состояния q-й подсистемой, u(q)(k) - ' -мерный вектор управления q-й подсистемой; ^(q)[a(q)(k),k], B/q)[a(q)(k),k], j = 0, ..., n - матрицы соответствующих размерностей; w/q)(k) - последовательность белых шумов с нулевым средним и единичной дисперсией; a(q)(k) - скалярная однородная цепь Маркова с конечным множеством состояний {1,2,...,Vq}; a(q)(k) и w/q)(k) независимы. Таким образом, каждая из подсистем может находиться в Vq состояниях, определяемых скалярным случайным процессом с дискретным множеством значений (состояний). Между подсистемами существует взаимосвязь: состояние цепи a(q)(k) q-й подсистемы (q = 1, 2, ..., 5) в k-й момент времени зависит от состояний цепей a(r)(k-1) (r = 1, 2, ..., 5) в момент времени k-1. Таким образом, динамика системы в целом зависит от дискретного векторного случайного процесса a(k) = [a(1)(k), a(2)(k), ..., a(5)(k)]T с конечным множеством состояний {q,jq} (q = 1, 2, ..., 5; jq =1, 2, ..., Vq) и дискретным временем. Случайный процесс a(k) представляет собой векторную одно-связную цепь Маркова. Для векторной цепи вероятности перехода за один шаг определяются в виде: Ph,...,is ;Л,..,Л = P {a1 (к + 1 = «1Л ,...,as (к + 1) = a.yJa 1(к) = a1h ,...,as (к) = ass }, Z Ph,...,is ;h,..,js = 1 J\,...,Js с начальным распределением Pjx,..,Js = P{ai(0)=Ji,...,as(0) = jЬ01=1,vi;. .;j = 1,ysX Z Pjl1s =1 J1,.., Js Предполагается, что состояние векторной марковской цепи в момент времени k доступно наблюдению. На управляющие воздействия каждой из подсистем накладываются ограничения: итЛк) < ^(к)и^(к) < и«Х(к),q = 1S, (2) где Sq)(k) - матрицы соответствующих размерностей. Необходимо определить закон управления системой, состоящей из подсистем вида (1), при ограничениях (2) из условия минимума критерия со скользящим горизонтом управления J (к + m / к) = M {Z Z (q) (к + i))T R (q ) (к + i) x(q) (к + i) - R (q) (к + i) x(q) (к + i) + q=1 i=1 (3) +(и{я)(к + i -1 / к))T R(ф(к + i - 1)и{я)(к + i -1 / к)/xiq) (к), a^)}, где и(q)(к +1 / к), l = 0, m -1 - последовательность прогнозирующих управлений q-й подсистемой, u(q)(k)=u(q)(k/k),M{a/b} - оператор условного математического ожидания, Rj(^(к + i) >0, R(^(к + i) >0, (к + i) > 0 - весовые матрицы соответствующих размерностей, m - горизонт прогноза, k - текущий момент времени. 2. Синтез стратегий управления с прогнозированием Стратегии управления с прогнозированием определяются по следующему правилу. На каждом шаге k минимизируем функционал (3) по последовательности прогнозирующих управлений u(q)(k/k), ..., u(q)(k + m - 1/k), q = 1, 2, ..., 5, зависящих от состояния подсистемы в момент времени k, при ограничениях (2). В качестве управления в момент времени k берем u(q)(k) = u(q)(k/k). Тем самым получаем управление q-й подсистемой u(q)(k) как функцию состояний x(q)(k) и a(k), т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление u(q)(k + 1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента k + 1 и т.д. Если цепи Маркова a(q)(k) (q = 1, ..., 5) независимы между собой (состояния подсистем не зависят от состояний других подсистем), т.е. представляют собой однородные скалярные цепи Маркова, то каждая из них допускает следующее представление в пространстве состояний [11]: e(q) (к+1)=P(q)e(q) (к)+ u(q) (к + 1), (4) где e(q)(k) = [5(a(q)(k),1), ..., 5(a(q)(k),Vq)]T, 5(a(q)(k)j) - функция Кронекера (/ = 1, ... Vq); P(q) - матрица переходных вероятностей для q-й цепи; u(q)(k) - мартингал разность. Обобщим соотношение (4) для скалярных цепей на случай векторных однородных цепей Маркова. Введем мультииндексы i = (1, /2, ..., is), j = (/1, /2, ..., js). Тогда матрицу вероятностей перехода за один шаг векторной цепи Маркова можно представить в виде P = (P/), где P = ; h,.., ]s ;(ii = 1 vi;...; is = 1, v; j\ = l, v1;...; js = l, v). Матрица P обладает свойством: I Pj = 1, Vi. Введем вектор e(k) = [5(a(k),1), ..., 5(a(k),v)]T, V = V1 x V2 x ... x vx. Значение вектора e(k) соответствует комбинации состояний одномерных цепей Маркова. Тогда для многомерной цепи можно записать представление в пространстве состояний, аналогичное (4): 0(k + 1) = P0(k) + u(k + 1). (5) С учетом (5) уравнения для подсистем (1) можно представить в следующем виде: x(q) (k +1) = A(q) [9(q) (k +1), k + 1]x(q) (k) + B(0q) [9(q) (k +1), k + 1]u(q) (k) + (6) (7) +1 B(q)[9(q) (k +1), k + 1]w(q) (k + 1)u(q) (k), q = 1, s, j=1 где v A(q)[0(k), k ] = 10; (k) A(i)(q) (k), i=1 Bjq)[0(k),k] = £0,.(k)Bj(i)(q)(k), j = 0П, i=1 (8) здесь e(k) (i = 1, 2, ..., v) - компоненты вектора e(k); {Л®®}, {Bj(/)(q)} (i = 1, ..., v) - множества значений матриц A(q)[a(k),k] и B/q)[a(k),k]. Критерий (3) примет вид: J (k + m / k) = M {II( x(q) (k + i))T Rx(q) (k + i) x(q) (k + i) - Л (q) (k + i) x(q) (k + i) + q=1 i=1 +(u(q) (k + i -1 / k))TR(q) (k + i - 1)u(q) (k + i -1 / k)/x(q) (k), 0(k)}. Теорема. Векторы прогнозирующих управлений (u (q)(k / k) )T, (u(q )(k +1/ k) )T,..., (u (q)(k + m -1/ k) )T T U (q)(k) = = 1, s, минимизирующие критерий (3) при ограничениях вида (2), на каждом шаге k определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида Y(k + m / k) = 2xT (k)G(k) - F(k) U(k) + UT (k)Я(k)U(k) при ограничениях umin(k) < s (qwq )(k) < umax(k). Оптимальное управление для q-й подсистемы равно (9) (10) Inu(q) °nu(q) u(q )(k) = U(q )(k ), 0„ где In - единичная матрица размерности n (q) , 0n - квадратная нулевая матрица размерности u( q) 1' n ,/ q) T U (k) = (U (1)(k) )T, (U (2)(k) )T,..., (U (s)(k) f S(q) (k) = diag(S(q) (k),..., S(q) (k + m -1)), Uqn(k) = H&ik))T,...,(umn(k + m-1))T]T, USSaL(k) = [(um>x(k))T,...,(um)c(k + m-1))T]T H(k), G(k), F(k) - блочные матрицы вида H (k) = diag (H(1) (k), H (2)(k),..., H(s) (k)), G(k) = \G{l\k) G(2) (k) ■■■ G{s\k)\F(k) = \F{l\k) F{2\k) ■■■ F{s\k) ~H{q\k) tf(q)(£) ••• H(q\k) 11 12 lm tf(q)(£) tf(q)(£) ••• tf(q)(£) , q = \s, H(q )(k) = Hiq\k) Hiq\k) ■■■ Hiq\k) _ ml ml mm G{q\k) = \G[q\k) G{q\k) ••• G{q\k)~\,F{q\k) = \F^q\k) F$q\k) ■■■ F{mq\k) блоки которых равны H(tq)(k) = I I (B(i')(q)(k + 0)TQ(i')(q)(k)B(i')(q)(k +') + R(q)(k +'-1), ,,=1 j=ov J ! j H(q)(k) = I I ... I (B^')(q)(k + t))T(A(i'+1)(q)(k +' + 1))T...(A0/)(q)(k + /))T x it =1i'+1=1 i/=1 xQ(',...,'/)(q)(k)B('/)(q)(k + /), / > ', h/ )(k)=(h/ )(k ))T, /

Ключевые слова

управление с прогнозирующей моделью, распределенные гибридные системы, векторная односвязная цепь Маркова, мультипликативные шумы, ограничения, model predictive control, distributed hybrid systems, vector simple connected Markov chain, multiplicative noises, constraints

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Домбровский Владимир ВалентиновичТомский государственный университетпрофессор, доктор технических наук, заведующий кафедрой информационных технологий и бизнес аналитики Института экономики и менеджментаdombrovs@ef.tsu.ru
Пашинская Татьяна ЮрьевнаТомский государственный университеткандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационных технологий и бизнес аналитики Института экономики и менеджментаtatyana.obedko@mail.ru
Всего: 2

Ссылки

Billio M., Pelizzon L. Value-at-Risk: a multivariate switching regime approach // Journal of Empirical Finance. 2000. No. 7. P. 531-554.
Teel A.R., Subbaram A., Sferlazza A. Stability analysis for stochastic hybrid systems: a survey// Automatica. 2014. V. 50, No. 10. P. 2435-2456.
Mayne D.Q. Model predictive control: Recent developments and future promise // Automatica. 2014. V. 50, No. 12. P. 2967-2986.
Costa O.L.V., Fragoso M.D., Marques R.P. Discrete-time Markov jump linear systems. New York : Springer, 2005. 286 p.
Tonne J., Jilg M., Stursberg O. Constrained Model Predictive Control of High Dimensional Jump Markov Linear Systems // Proc. American Control Conference. Palmer House Hilton. July 1-3, Chicago, IL, USA, 2015. P. 2993-2998.
Dombrovskii V.V., Obyedko, T.Yu. Predictive control of systems with Markovian jumps under constraints and its application to the investment portfolio optimization // Automation and remote control. 2011. V. 72, No. 5. P. 989-1003.
Dombrovskii V.V., Obyedko T.Yu., Samorodova M. Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear stochastic systems and portfolio optimization under market frictions // Automatica. 2018. V. 87, No. 1. P. 61-68.
Patrinos P., Soparasakis P., Sarimveis H., Bemporad A. Stochastic model predictive control for constrained discrete-time Markovian switching systems // Automatica. 2014. V. 50, No. 10. P. 2504-2514.
Blackmore L., Bektassov A, Ono M., Williams B.C. Robust optimal predictive control of jump Markov linear systems using particles // Hybrid systems: Comput. and Control / A. Bemporad, A. Bicchi, G. Buttazzo, eds. New York : Springer Verlag, 2007. V. 4416: Lecture Notes in Computer Science. P. 104-117.
Домбровский В.В., Объедко Т.Ю. Управление с прогнозированием взаимосвязанными гибридными системами с марковскими скачками при ограничениях // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 3 (20). С. 5-12.
Elliott R.J., Aggoun L., Moore J.B. Hidden Markov models: Estimation and control. Berlin, Heidelberg, New York : Springer, 1995. 382 p.
 Управление с прогнозированием распределенными стохастическими гибридными системами с мультипликативными шумами при ограничениях | Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 45. DOI: 10.17223/19988605/45/1

Управление с прогнозированием распределенными стохастическими гибридными системами с мультипликативными шумами при ограничениях | Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 45. DOI: 10.17223/19988605/45/1