Optimal estimate of the states of a generalized synchronous flow of second-order events under conditions of incomplete o.pdf На современном этапе развития компьютерной техники и информационных технологий происходит усложнение структуры телекоммуникационных систем связи, глобальных компьютерных сетей и спутниковых сетей связи, для которых характерны наиболее сложные и актуальные исследования в сфере систем массового обслуживания (СМО) [1, 2]. Исследованию входящих случайных потоков событий, математической моделью которых, в частности, являются дважды стохастические потоки событий, посвящены работы [3-8]. При изучении последних выделяют два основных класса задач - оценивание состояний потока [9-11] и оценивание его параметров [12-15] по наблюдаемым моментам наступления событий. В работах [16, 17] решена задача оптимального оценивания состояний обобщенного синхронного потока событий второго порядка при его полной наблюдаемости. Однако наблюдаемое событие может вызвать период мертвого времени, т.е. повлечь за собой недоступность наблюдению в этот период последующих событий потока [18, 19]. Таким образом, в настоящей статье, являющейся непосредственным развитием работ [16, 17], решается задача об оптимальной оценке состояний потока в условиях его частичной наблюдаемости, т.е. при наличии непродлевающегося мертвого времени, по методу максимума апостериорной вероятности, которая представляет наиболее полную информацию о потоке событий, содержащуюся в наблюдаемой выборке, и обеспечивает минимум полной (безусловной) вероятности вынесения ошибочного решения о его состоянии [20, 21]. 1. Постановка задачи Рассматривается обобщенный синхронный дважды стохастический поток событий второго порядка (далее - поток), сопровождающий случайный процесс которого X(t) является кусочно-постоянным с двумя состояниями S1 и S2 . Далее под i-м состоянием X(t) понимается состояние S., i = 1,2 . Длительность интервала между событиями потока в i-м состоянии определяется случайной величиной ц. = min(^(1), (2)), где случайная величина ^ распределена по закону Fi(1)(t) = 1 - e_X,t, случайная величина ^/2) - по закону Ft(2)(t) = 1 - , i = 1,2; ^.(1) и ^;(2) - независимые случайные величины. В момент наступления события потока в зависимости от того, какое значение приняла случайная величина ц., i = 1,2, процесс X(t) переходит из i-го состояния в j-е, i ф j , или остается в 7-м состоянии, t = j , с вероятностью P1(1)(A. | At) либо P1(2)(A. | At), t, j = 1,2 . При этом P1(1)(A. | At) + P1(1)(At | At) = 1, P1(2)(A. | At) + P1(2)(At | At) = 1, t, j = 1,2, t * j. Таким образом, длительность интервала между событиями потока в 7-м состоянии процесса A(t) является случайной величиной с функцией распределения Ft (t) = 1 - +а)t, t = 1,2 . В дальнейшем принимается, что имеет место состояние St, если A(t) = At-, t = 1,2 (A1 > A 2 > 0). Подчеркнем, что A(t) - принципиально ненаблюдаемый случайный процесс (скрытый марковский процесс), матрицы инфинитезимальных характеристик которого имеют вид: - (A 1 +а1) 0 0 - (A 2 +а 2) D = А1РЛА1 | A1) + а1^1(2)(А1 | A1) А^^А2 | A1) + а^(2)(А2 | Ax) А2Р1(1)(А1 | А2) + а2Р1(2)(А1 | А2) А2Р1(1)(А2 | А2) + а2Р1(2)(А2 | А2) Диагональные элементы матрицы D0 имеют смысл интенсивностей выхода процесса A(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком, недиагональные элементы - интенсивностей переходов из состояния в состояние без наступления события. Элементами матрицы Dj выступают интенсивности переходов процесса A(t) из состояния в состояние с наступлением события потока. Имеет место ситуация недоступности наблюдению всех событий потока - каждое зарегистрированное в момент времени ^ событие порождает время фиксированной длительности T (мертвое время), в течение которого другие события исходного потока теряются. Наступившие в течение мертвого времени события не вызывают продления его периода, т.е. рассматривается непродлевающееся мертвое время, по окончании которого первое наступившее событие вновь вызывает период ненаблюдаемости длительности T и т.д. Вариант возникающей ситуации приведен на рис. 1, где S1, S2 - состояния процесса A(t), t , t ,... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке, штриховкой обозначены периоды мертвого времени; белыми кружками обозначены наблюдаемые события, черными - ненаблюдаемые. P1(1)(hjh) P1(1)(hjh) iV2)№) 51 52 г-е £ 500; как следствие, для дальнейших экспериментов значение времени моделирования выбрано равным Tm = 1000 ед. времени; 3) для всех вариантов расчета при Tm > 100 ед. времени оценка Бош достаточно мала. Так как согласно D0 переход X(t) из состояния i в состояние j, i, j = 1,2, в соответствии с [1, 8] невозможен без наступления события, то во втором статистическом эксперименте исследуется зависимость Рош и Бош от AjA2 и ах/а2 . При T = 1, Tm = 1000, N = J 00 и исходных данных табл. 4 получены результаты, приведенные в табл. 5, 6. Исходные данные для эксперимента Результаты первого статистического эксперимента (T = 0) 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Таблица 4 Исходные данные для эксперимента Исходные данные для эксперимента Ах = 6 , А/А2 = 3;...; 192 Р6(А1| А1) = 0,6 Ра)(А2 | А2 ) = 0,5 Р(2)(А1| А1) = 0,3 Р(2)(А2 | А2) = 0,8 а1 =6, а^а2 = 3;...; 192 Р(1)(А2|А1) = 0,4 Р(1)(А11 А2) = 0,5 Р(2)(А2| А1) = 0,7 p(2)(A | А) = 0,2 Таблица 5 Результаты второго статистического эксперимента (для Xх/X2 , а2 =2 ) А J А 2 3 6 12 24 48 96 192 Р ош 0,2038 0,1439 0,1104 0,0914 0,0821 0,0765 0,0745 Dош '103 0,0045 0,0032 0,0033 0,0022 0,0022 0,0027 0,0022 Таблица 6 Результаты второго статистического эксперимента (для а j/ а 2 , X 2 =2 ) а1/ а 2 3 6 12 24 48 96 192 Р ош 0,2030 0,1855 0,1737 0,1689 0,1658 0,1641 0,1629 Dош -103 0,0044 0,0039 0,0042 0,0038 0,0041 0,0039 0,0040 Результаты эксперимента свидетельствуют о лучшем оценивании состояний потока событий при больших значениях отношений Aj/A2 и а1/а2 . Такая тенденция связана с тем фактом, что состояния А(^) становятся лучше различимы, за счет чего частота принятия ошибочных решений значительно сокращается. Отметим, что данные табл. 5 определяют лучшее в смысле малости оценки полной вероятности ошибки качество оценивания рассматриваемого потока событий, нежели данные табл. 6; другими словами, увеличение значения отношения А[/А2 обеспечивает меньшее значение оценки вероятности принятия ошибочного решения, чем увеличение значения отношения ах/а2 . Последнее связано с заданным набором параметров, определяющим поток (см. табл. 4). Обратим внимание, что сравнение приведенных в табл. 5-6 результатов статистического эксперимента с результатами аналогичного эксперимента, проведенного для тех же исходных данных в условиях отсутствия мертвого времени, T = 0 [16, 17], позволяет отметить увеличение значения Рош при T Ф 0 для каждого варианта расчета, что естественно в силу потери полезной информации для вынесения решения о состоянии потока за счет наличия мертвого времени. Предметом рассмотрения в третьем статистическом эксперименте является зависимость Рош от значения длительности T , при этом рассматриваются ситуации увеличения значений А и а, определяющих интенсивность наступления событий в первом состоянии. В табл. 8-9 приведены результаты, полученные при Tm = 1000, N = 100 и значениях параметров, представленных в табл. 7. Таблица 7 Aj = 4;6 , А2 = 0,5 Р(1)(А1| А1) = 0,2 Р(1)(А2 | А2) = 0,1 Р(2)(А1| А1) = 0,1 Р1(2)(А2 | А2) = 0,2 а1 = 4; 6 , а2 = 0,5 Р0)(А2 | А ) = 0,8 Р1(1)(А1 | А2) = 0,9 Р(2)(А2 | А1) = 0,9 Р(2)(А | А2) = 0,8 Таблица 8 T 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 P ош 0,0871 0,1091 0,1146 0,1178 0,1204 0,1216 0,1223 0,1243 Яош '103 0,0026 0,0022 0,0022 0,0023 0,0021 0,0025 0,0021 0,0031 Таблица 9 Результаты третьего статистического эксперимента (Xj = 6 , a = 6) T 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 P ош 0,0610 0,0817 0,0856 0,0886 0,0898 0,0910 0,0925 0,0935 Яош '103 0,0009 0,0014 0,0012 0,0017 0,0017 0,0012 0,0014 0,0016 Построенный согласно данным табл. 8-9 график зависимости оценки вероятности Рош от значений длительности мертвого времени T приведен на рис. 3. Результаты третьего статистического эксперимента ( Xj =4 , ах =4 ) 0,13 0,12 0,11 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 • • • • _|_I_I_I_I_I_I_ Рис. 3. График зависимости Р0Ш от T при X1 = a1 = 4 - темным маркером, при X1 = a1 = 6 - светлым маркером Численные результаты, отраженные в табл. 8-9, и их графическое представление (см. рис. 3) демонстрируют, что при одном и том же значении T отмечается тенденция к уменьшению оценки P в случае увеличения X и a, так как условия различимости состояний улучшаются, что также полностью согласуется с результатами предыдущего эксперимента. Рассмотрение значений Рош в обоих случаях задания интенсивностей (X1 + a1 = 8, X1 + a1 = 12) в зависимости от T = 0;0,5;...;3,5 приводит к обнаружению роста P с увеличением T , так как увеличение продолжительности мертвого времени всегда означает уменьшение количества полезной информации, что отрицательно сказывается на качестве оценивания (это также можно видеть на рис. 2). При этом заметим, что поведение оценок Рсш(X1 +a1 = 8) (темный маркер на рис. 3) и Рсш(X1 +a1 = 12) (светлый маркер на рис. 3) в целом аналогично. Ввиду вероятностного механизма смены состояний потока в каждый момент наступления события особый интерес (четвертый статистический эксперимент) представляет рассмотрение частного случая задания вероятностей P1(/)(Xj | Xi), i, j = 1,2, l = 1,2, определяющих переходы процесса X(t) из состояния S в состояние S j, i, j = 1,2 : P1(/)(Xj | Xt) = 0, i = j , P1(l-*(Xj | Xi) = 1, i Ф j ; при значениях параметров T = 1, Tm = 1000, N = 100, X1 = 4, X2 = 0,75 , a1 = 1, a2 = 0,45 . На рис. 4 в качестве иллюстрации приведено поведение оценки A (t) для отдельной реализации исследуемого потока; здесь А, А - значения оценки A(t). Штриховкой отмечены участки ошибочных решений о состоянии процесса A(t) (потока событий), At = 0,001 . A (t) м t Рис. 4. Поведение оценки A (t) В четвертом эксперименте выборочное среднее полной вероятности ошибки - Рош = 0,1821 , выборочная дисперсия - Dom = 0,0049 • 10 3 . Существенное ухудшение качества оценивания (в смысле малости оценки полной вероятности ошибки) по сравнению с результатами, приведенными в [17] в случае T = 0 при том же наборе параметров, объясняется наличием мертвого времени. Заключение В настоящей статье предложен основанный на критерии максимума апостериорной вероятности алгоритм оптимального оценивания состояний обобщенного синхронного потока событий второго порядка, функционирующего в условиях непродлевающегося мертвого времени. Сформулированы алгоритм расчета апостериорной вероятности w(Ax 11) и алгоритм принятия решения о состоянии процесса A(t) в произвольный момент времени t на основании выборки моментов наступления событий tj, t2 ,---,tm в наблюдаемом потоке. Проведен ряд статистических экспериментов для установления частоты ошибочных решений о состоянии случайного процесса A(t) . Численные результаты проведенных на имитационной модели потока экспериментов не противоречат физической интерпретации и иллюстрируют приемлемую оценку полной вероятности ошибки оценивания и достаточно малую выборочную дисперсию, которые обеспечиваются предложенным алгоритмом оптимального оценивания.

Скачать электронную версию публикации