Optimal control of one-sector economy under random variation of fixed capital and labor resources.pdf Проблема управления односекторной экономикой восходит к [1, 2]. Ей посвящено большое количество работ. В них рассматриваются и решаются разные варианты задач, в том числе и задачи оптимального управления такой экономикой (см., напр.: [3-7]). Естественным продолжением этих исследований является решение задач с учетом каких-либо случайных возмущений, действующих в процессе производства. Состояние односекторной экономики определяется двумя величинами: основным капиталом и трудовыми ресурсами. Вообще говоря, изменение основного капитала во времени происходит случайным образом из-за таких факторов, как случайный износ основных производственных фондов, приобретение новых фондов, цена на которые зависит от курсов валют, производственная неопределенность, экономическая конъюнктура и т.п. Трудовые ресурсы также могут изменяться случайным образом за счет экономических факторов, а также по демографическим причинам, из-за миграции населения и т.п. В [8] на основании изучения статистических данных приводится определенное обоснование того, что влияние экзогенных случайных факторов на экономическую динамику можно моделировать процессом броуновского движения. В настоящей работе задача оптимального управления односекторной экономикой при случайном изменении основного капитала и трудовых ресурсов решена в программной форме, получены формулы для моментов переключения управления и получена оценка максимального среднего значения непроизводственного потребления. 1. Постановка задачи Состояние экономики определяется следующими величинами: K(t) - основной капитал, L(t) - трудовые ресурсы, C(t) - непроизводственное потребление, а также производственной функцией Y(K, L). Значение Y(K, L) есть валовый продукт, произведенный в единицу времени, т.е. Y(K, L)At - валовый продукт, произведенный за время At. Часть этого продукта IAt = uYAt идет на увеличение основного капитала, а часть SAt = (1 - u)YAt - на увеличение непроизводственного потребления C(t). Таким образом, управляющим параметром здесь является коэффициент u, определяющий долю валового продукта, которая идет на увеличение основного капитала. При этом 0 < u < 1. (1) В результате в детерминированном случае изменение экономики во времени описывается уравнениями [6] К = uY(K,L) - lK(t), К(0) = К0 > 0, C = pC + (l-u)Y(K,L), С(0) = 0, (2) L = vL,L(0)=L0, где Х (> 0) - коэффициент амортизации, р (> 0) - норма дисконтирования, v - темп изменения трудовых ресурсов. Для дальнейшего исследования вводятся переменные: k(t) = K(t)/L(t) - фондовооруженность труда, c(t) = C(t)/L(t) - непроизводственное потребление, приходящиеся на одного работника, и функция F(k) = Y/L - производительность труда. Для этих переменных на основании (2) можно получить уравнения k = -yk + uF(k),k(0) = k0 с = 5с + (1 - u)F(k), с(0) = 0, где ц = Х + v, 5 = р - v. Далее будем считать, что ц = Х + v > 0 и 5 = р - v > 0. Это означает, что если трудовые ресурсы возрастают (v > 0), то темп их роста не может превышать норму дисконтирования р. Если трудовые ресурсы убывают (v < 0), то темп их убывания не может превышать коэффициент амортизации Х. Иначе возникают «экзотические» варианты. Детерминированная задача: в течение заданного конечного планируемого периода производства [0, Т] найти такое управление u(t) с учетом (1) для уравнений (3), при котором величина с(Т) максимальна. В стохастическом случае односекторная экономика описывается уравнениями К = uY(K,L) - XKit) + окК^к (t), К(0) = К0> 0, С = рС + (1 - u)Y(K,L), С(0) = 0, (4) L = vL + oLL^L(t),L(0) = L0 >0. Здесь ^к(0 и ^l(0 - стандартные независимые между собой белые гауссовские шумы, ск и ctl- соответствующие коэффициенты волатильности. Такое включение в модель случайных воздействий достаточно традиционно в экономико-математических задачах [8-11]. Из (4) с помощью формулы Ито можно получить уравнения для фондовооруженности k = K/L и непроизводственного потребления с = C/L: k = -nk + uF(k)+oKk^K(t)-oLk^L(tl k(0) = k0, с = 5с + (1 - u)F(k) -oLcyqL (t), с(0) = 0. Здесь ц = Х + v + ckCl - cl2, 5 = р - v + cl2, ko = K0/L0, F(k) = Y/L - производительность труда (валовый продукт на одного работника). Далее предполагается, что ц > 0 и 5 > 0. Стохастическая задача: в течение заданного интервала времени [0, Т] найти такое управление u(t) с учетом (1) для уравнений (5), при котором среднее значение величины с(Т) максимально. Далее будет использоваться производственная функция Кобба-Дугласа Y(K, L) = AKaLe, где А -масштаб темпа производства (А > 0), а - коэффициент эластичности по основным фондам, в = 1 - а -коэффициент эластичности по трудовым ресурсам (а, в > 0, а + в = 1). Тогда F(k) = Y/L = AKa. Предполагается, что переменные K, L, C и, следовательно, k и c доступны измерению в каждый момент времени. 2. Решение стохастической задачи Для решения задачи используем метод динамического программирования. Введем функцию Беллмана s(k, c; t, T) - среднее значение величины с(Т) при условии, что процесс продолжается на интервале времени [t, Т] с начальными условиями k(t) = k и с(0 = с, и на этом интервале применяется оптимальное управление. Для этой функции можно записать уравнение Беллмана [12]: ds(k,c;t,T) = max [as(k,c;t,T)(uF(k)-Mk) +as(k,c;t,T)(5c + (1 -u)F(k)) + q(k,c)], at o

Скачать электронную версию публикации