Optimization of the parameters of the stochastic model of inventory control.pdf Модели управления запасами описывают изменение уровня запасов некоторого продукта. Этот продукт расходуется на удовлетворение спроса, т.е. на выполнение заявок потребителей. Для восполнения запасов продукта производятся поставки. Таким образом, модель управления запасами - это модель резервуара [1]. Существует обширная литература, посвященная детерминированным и стохастическим моделям управления запасами [1-10]. Вместе с тем имеется ряд сложностей при построении стохастических моделей управления запасами. Например, однопериодная модель [11] не является моделью резервуара и, соответственно, далека от классической модели Уилсона [3]. Модели управления запасами в виде системы массового обслуживания [12] или управляемой стохастической динамической системы [13-15] слишком сложны для исследования и тоже далеки от модели Уилсона. Здесь рассматривается стохастическая модель управления запасами, не имеющая этих недостатков. 1. Описание модели Рассмотрим следующую модель управления запасами [16]: 1. Уровень запасов в начальный момент времени t = 0 равен J 2. Изменение уровня запасов происходит мгновенно. 3. Заявки потребителей образуют простейший поток событий интенсивности Я. 4. Величины заявок независимы и имеют одинаковое распределение с плотностью распределения f(x) и математическим ожиданием a. 5. Пополнение запасов происходит через равные промежутки времени длиной T до уровня J0. Пусть J(t) - уровень запасов продукта в момент времени t (рис. 1). Если J(t) < 0, то имеется дефицит продукта. Накопленный дефицит ликвидируется в момент очередного пополнения запасов. п J L t T T T Рис. 1. Уровень запасов в зависимости от времени Fig. 1. Stock levels based on time Эффективность управления запасами продукта определяется затратами на его хранение, поставку и штрафами за его отсутствие (дефицит). Предположим, что затраты на хранение единицы продукта в единицу времени равны с, штраф за дефицит единицы продукта в единицу времени равен c2, затраты на поставку x единиц продукта составляют c3x + c4. Так как поток заявок стационарный и в начале каждого из промежутков (0, T), (T, 2T), (2T, 3T), ... уровень запасов равен J0, то затраты достаточно исследовать на промежутке времени (0, T). Пусть C(t) - затраты на хранение продукта и штрафы за его дефицит на промежутке времени (0, t), 0 < t < T. Тогда полные затраты на промежутке времени (0, T) с учетом расходов на пополнение запасов равны Сполн = C(T) + C3(Jo - J(T)) + C4 . Возьмем в качестве функции затрат математическое ожидание величины Cm™: M(СПОлН ) = M(C(T)) + Сз(Jo - M(J(T)))+C4 . (1) Функция затрат (1) зависит от J0 и T. Величину T будем считать фиксированным параметром, величину J0 будем считать переменной. Поставим задачу найти значение J0, при котором функция затрат M(Cполн) принимает наименьшее значение. 2. Математическое ожидание затрат Теорема 1. Математическое ожидание уровня запасов M(J(t)) удовлетворяет уравнению dM(J(t)) = -Xa . (2) dt Доказательство. Пусть 0 < t < t + At < T, AJ = J(t + At) - J(t). Тогда M(J(t + At)) = M(J(t))+M(AJ) . На отрезке времени (t, t + At) может произойти три события: «не поступило ни одной заявки», «поступила одна заявка» и «поступило более одной заявки». Так как поток заявок простейший, то вероятность первого события равна 1 - XAt + o(At), вероятность второго равна XAt + o(At), вероятность третьего равна o(At) при At - 0. Если на отрезке времени (t, t + At) не поступило ни одной заявки, то AJ = 0 , поэтому условное математическое ожидание AJ при условии, что не поступило ни одной заявки, равно 0. Если поступила одна заявка величины X, то AJ = -X, поэтому условное математическое ожидание AJ при условии, что поступила одна заявка, равно (-a). Условное математическое ожидание величины AJ при условии, что поступило более одной заявки, существует и является конечным. Применяя формулу полной вероятности для математического ожидания, получаем M (J (t + At)) = M (J (t)) - XaAt + o(At), или M(J(t + At)) -M(J(t)) = -XaAt + o(At). Делим полученное уравнение на At и делаем предельный переход при At - 0, получаем уравнение (2). Теорема 1 доказана. Теорема 2. В полосе 0 < t < T, -да < x < да функция распределения уровня запасов P(J(t) < x) удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению C -P(J(t) < x) = -XP(J(t) < x) + X JP(J(t) < v + x) f (v)dV. (3) Ct o Доказательство. Рассматривая на отрезке времени (t, t + At) возможные события (см. выше) и применяя формулу полной вероятности, получаем P(J(t + At) < x) = (1 - XAt)P(J(t) < x) + XAtP(J(t) - X < x) + o(At), где X - величина заявки, отсюда д - P( J(t) < x) = -kP( J(t) < x) + k P( J(t) - X < x) . (4) dt Величины J(t) и X независимы, поэтому +да v+x +да P(J(t) - X < x) = jj fjt) (u)fX (v)dudv =| /x (v)dv j fjt) (u)du =| /x (v)P(J(t) < v + x)dv. u-v Ja , P(J(0) < x) = f ' 0' (5) [ 0, если x< J0. Теорема 3. Математическое ожидание затрат на хранение и штрафы M(C(t)) удовлетворяет уравнению d 0 -M(C(t)) = c1M(J(t)) - (cj + c2) jxu(x, t)dx, (6) dt -да где u(x, t) - плотность распределения уровня запасов. Доказательство. Рассматривая на отрезке времени (t, t + At) возможные события (см. выше), и применяя формулу полной вероятности для математического ожидания, получаем M(C(t + At)) = M(C(t)) + cP(J(t) > 0)M(J(t) | J(t) > 0)At - c2P(J(t) < 0)M(J(t) | J(t) < 0)At + o(At), отсюда dM(C(t)) = cP(J(t) > 0)M(J(t) | J(t) > 0) - c2P(J(t) < 0)M(J(t) | J(t) < 0). dt По формуле полной вероятности для математического ожидания M(J(t)) = P(J(t) > 0)M(J(t) | J(t) > 0) + P(J(t) < 0)M(J(t) | J(t) < 0), поэтому полученное уравнение можно представить в виде: dM(C(t)) = C1M(J(t)) - (C1 + c2)P(J(t) < 0)M(J(t) | J(t) < 0). dt Далее, M (J (t) | J (t) < 0) = j xdP(J (t) < x | J (t) < 0) . -да Имеем P(J(t) , t), где +да й(ю, t) = J u(x, t)e~ioxdx, р(ю) = J f (v)eiovdv . -да 0 Пусть F(x, t) - прообраз (обратное преобразование Фурье) функции F (ю, t) = e(p(o)-1)Xt, то есть 1 +да F(x, t) = - J e(p(o)-1)Voxdo. -да Тогда решение задачи (11)-(12) имеет вид: u( x, t) = S( x - J0) • F (x, t), то есть u(x,t) = F(x- J0,t) . Если величина заявки имеет экспоненциальное распределение (9), то +да р(ю) = -1- , F(ю, t) = e Xt exp 1 - iao Xt 1 - iao Раскладывая экспоненту в ряд, имеем rs, , » (Xt)k+1 11 ( xIk x , ^ 5(x) + У ^---1--I ea^(-x) W k=0 (k +1)! ak! 1 a J " ' -Xt F (x, t) = e отсюда получаем (10). Теорема 4 доказана. Подставляя (10) в (8), получаем средние затраты на хранение и штрафы в случае экспоненциального распределения величины заявок: (13) Л Л , да f к I f XT к+1 ^ M(C(T)) = с. I J0T--T2 - У f (J0 - aw)-e-wdw | f --e~vdv )) 110 2 J X ^ jJ ' 0 ) k! I J (k + 1)! В общем случае, при любом распределении заявок, найти оценку средних затрат можно методом имитационного моделирования. На рис. 2 представлен график выборочных средних затрат, полученных в результате имитационного моделирования (линия с маркерами), если распределение заявок экспоненциальное со средним a = 1, остальные параметры: X = 2, T = 10, ci = 1, С2 = 2. Линия без маркеров -график теоретических средних затрат, заданных формулой (13). Видим, что выборочные средние затраты оценивают теоретические очень хорошо, относительная погрешность составляет менее 5%. M(C(T)) 250 -р- 200 0 20 J Рис. 2. Средние затраты в зависимости от начального уровня запасов Fig. 2. Average costs depending on the initial inventory level Имея оценку средних затрат, можно оценить минимум затрат и оптимальное значение начального уровня запасов. 4. Оптимальный начальный уровень запасов в случае экспоненциального распределения величины заявок Исследуем монотонность M(C(T)) на промежутке 0 < J < +да. Имеем d M(C(T)) = ClT - c + С2 " E k=0 X dJ, f wk f - e ~wdw f VJof/ak! | 0 (k + 1)! Y XT vk+l л e v dv (14) Обозначим O(Jd) правую часть (14). Можно показать, что: 1. Ф( J0) возрастает на [0, + 0 ; 1 - e -XT - C2T. 3. Ф(0) = (ci + C2) X Введем обозначение -XT c1 + c2 1 - e Р = XT 2 Если p < 1, то Ф(0) < 0, поэтому Ф(^э) имеет единственный нуль на промежутке 0 < J0 < который можно найти численно. Этот нуль является точкой минимумаM(C(T)) на данном промежутке. Если p > 1, то Ф(0) > 0, поэтому Ф^0) > 0 на всем промежутке 0 < J0 < +, следовательно, минимум M(C(T)) на этом промежутке достигается в точке J0 = 0. Таким образом, оптимальный начальный уровень запасов в случае экспоненциального распределения величины заявок равен c J0, если p < 1, (J0 ) opt = 0, если p > 1, где J 0 - нуль функции Ф^0). Например, если a = 1, X = 2, T = 10, c = 1, c2 = 2 (см. выше), то оптимальное значение начального уровня запасов равно 12,7, минимальные затраты равны 84,88. Заключение В работе исследуется модель управления запасами с простейшим потоком заявок потребителей, случайным размером заявки, пополнением запасов до заданного начального уровня через равные промежутки времени. Выводится интегро-дифференциальное уравнение для функции распределения уровня запасов. В случае экспоненциального распределения величины заявок получено его решение, вычислены средние затраты и оптимальный начальный уровень запасов. В общем случае, при любом распределении заявок, провести оптимизацию модели управления запасами можно только приближенными методами, например методом стохастического (имитационного) моделирования. Точные результаты, полученные аналитическими методами, бывают очень полезны при отладке алгоритмов, реализующих эти приближенные методы.

Скачать электронную версию публикации