Stationary distributions in the simplest RQ-queueing system.pdf В монографии [1] приведен подробный обзор результатов по расчету RQ-систем массового обслуживания. Исследование стабильности случайных процессов, описывающих RQ-системы, проведено в [2, 3]. В [4] и последующих работах исследование RQ-систем продолжено в направлении их асимптотического анализа. Однако остаются не вполне исследованными возможности точного вычисления стационарного распределения в различных RQ-системах, особенно если их характеристики зависят от числа заявок на орбите. Настоящая работа посвящена поиску точных решений этой задачи в символьном виде для отдельных моделей RQ-систем. В ее основе лежат стационарные уравнения Колмогорова-Чепмена для марковских процессов, описывающих RQ-системы. Для поиска этих решений используются известные стационарные распределения процессов гибели и рождения [5]. С помощью полученных формул удается получить необходимые условия существования стационарных распределений в RQ-системах и построить аналоги коэффициентов загрузки в них. 1. Основные результаты Следуя [4], рассмотрим RQ-систему, описываемую марковским процессом (k(t),i(t)), где i(t) -число заявок на орбите RQ-системы, k(t) характеризует состояние обслуживающего устройства: k (t) = 1, если устройство обслуживает очередную заявку, k (t) = 0, если оно по каким-либо причинам простаивает. Если прибор свободен, то интенсивность ухода заявки с орбиты равна а и зависит от числа заявок i на орбите, a = 0. Если прибор занят, то интенсивность ухода заявки с орбиты равна нулю (заявка мгновенно уходит с орбиты и возвращается на нее). Интенсивность обслуживания заявки на приборе равна , а интенсивность входного пуассоновского потока равна , где i > 0 - число заявок на орбите. В работе рассматриваются две модели ухода заявок с орбиты: стг = а, аг = ia, i >0. Первая модель предполагает, что на орбите формируется очередь заявок, ждущих перехода на прибор, а уйти на прибор может только первая заявка очереди. Вторая модель предполагает, что все заявки на орбите независимо друг от друга могут перейти на прибор. Для таких моделей выводятся явные формулы вычисления стационарных вероятностей и необходимые условия существования этих вероятностей. Обозначим а h (h + и,) .. + и, , а = ■> У, , i> 0, Ро=1, р, = П-, i>0 ц, ц, i=1 Пусть p(k,i), к, i = 0,1,..., предельное распределение процесса (к(t),i(t)), t > 0. Теорема 1. Предельное распределение p(k, i) удовлетворяет равенствам -1 p(0, i) = p(0,0) р,, p(1,i) = p(0, i)y,, i > 0, p(0,0) = (1) Ер, (1 + y) i=0 Если марковский процесс (k(t), i(t)), t > 0, является эргодическим, то да (2) Ер ,■(1+У ,■ )< да. \ ц2 i=0 Доказательство. Переходные интенсивности RQ-системы с одним обслуживающим устройством определяются рис. 1. ▲ 4 „ i r 4 „ t r \1 V \ я1 1*1 \ Я2 1 r \ > r \ u ООО Рис. 1. Граф переходных интенсивностей RQ-системы Fig. 1. Transient RQ-system intensity graph Выпишем систему уравнений Колмогорова-Чепмена для данной системы обслуживания используя рис. 1: p (0,0)h 0= p (1,0)ц 0, p(0,i)(h, +at) = p(1,г)ц, i >0, p(1,0)(h> + Ц0) = p(0,0)h0 + p(0,1)CT1, p(1, i)(h + ц,) = p(0, i)h + p(0, i + 1)a,+1 + p(1, i -1)h,_i > 0. Из формулы (3) находим: (3) (4) (5) (6) h (7) (8) p (1,0) = p (0,0) h0 Ц0 Из формулы (4) получаем: p(1,i) = p(0,i)h +G', i >0. Ц, Из формул (5), (7) следует, что p(0,0) h0( h0 +Ц0) = p(0,0)h0 + p(0,1)a1, Ц0 и значит h0( h0 +CT0) Ц0 (9) p (0,1)a1= p (0,0) Из формул (6), (8) следует, что p(0, i) rh (h ) h-1(h_1 +g,_1) ц,_1 ' = p(0, i + 1)c;+1 + p(0, i -1) (10) i >0. Перепишем формулы (7) - (10) в виде: ^(0,0)«0 = ,р(0,1)а1, p(0,0(аг + a,) = p(0,i + 1)аг+1 + p(0,i-1)аг_1, i>0, (11) p(1, i) = p(0, i)yi, i > 0. (12) Тогда из формул (11), (12) (см.: [5. Гл. 7, § 4]) следуют равенства (1). Таким образом, если марковский процесс (k(t), i(t)), t > 0, эргодический, то выполняется неравенство (2). Следствие. Если марковский процесс (k(t),i(t)), t > 0, является эргодическим, то, используя результаты статьи [6], можно доказать, что стационарные пуассоновские потоки заявок, уходящих из RQ-системы, поступающих с орбиты на свободный прибор, поступающих на орбиту, имеют следующие интенсивности: да да да Л1 = хp(1,i)|, Л2 = хp(0,i)X,, Лз = хp(1, i)X,. i=0 i=0 i=0 2. Примеры Модель 1. Рассмотрим введенную в [7] модель RQ - системы: X, = X, цг = ц, i > 0, a, = a, i > 0, а0 = 0. Из теоремы 1 следует, что ап (13) (14) p(0,0) = 1 + y0+ (1 + y)- -1

Скачать электронную версию публикации