Решена задача оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного дважды стохастического потока событий (обобщенного MMPP-потока) на основе наблюдений за моментами наступления событий. Получен явный вид апостериорных вероятностей состояний потока для любого момента времени. Решение о состоянии потока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности. Приводится алгоритм расчета апостериорных вероятностей и алгоритм оценивания состояний потока в любой момент времени.
Optimal estimate of the states of a generalized asynchronous event flow with an arbitrary number of states.pdf Распространенными математическими моделями физических явлений и процессов являются потоки событий. В подавляющем большинстве работ по исследованию систем массового обслуживания (СМО) в качестве входящих потоков событий рассматривались пуассоновские потоки событий. Однако в связи с бурным развитием вычислительной техники, спутниковых, компьютерных, беспроводных и мобильных сетей связи модель простейшего потока перестала быть адекватной реальным информационным потокам событий. При этом теория построения математических моделей функционирования информационно-телекоммуникационных систем, существовавшая до середины 1980-х гг., во многом становится непригодной для анализа информационных процессов, протекающих в современных телекоммуникационных системах. Поэтому в это же время была предпринята успешная попытка создания адекватных математических моделей информационных потоков в телекоммуникационных системах так называемых дважды стохастических потоков. Дважды стохастические потоки событий можно разделить на два класса: первый класс составляют потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс [1]; второй - потоки, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным (произвольным) числом состояний. Впервые результаты исследований потоков второго класса опубликованы практически в одно и того же время, в 1979 г., в работах [2, 3]. В [2] указанные потоки получили название MC (Markov chai^-roTOm; в [3] - MVP (Markov versatile processes)-™™^. В статьях [4, 5] описанные выше потоки называют также MAP (Markov Arrival Process)-потоками событий. С использованием моделей дважды стохастических потоков событий возможно исследование финансово-экономических процессов [6], биофизических процессов [7], процессов управления запасами [8] и др. Отметим, что MC-потоки событий (MAP-потоки) являются наиболее характерной и подходящей моделью потоков в реальных телекоммуникационных сетях, в частности в широкополосных сетях беспроводной связи вдоль протяженных транспортных магистралей [9-18]. Зарубежными и отечественными исследователями при описании подобных входящих потоков событий в СМО используются термины «дважды стохастические потоки событий», MAP-потоки, MC-потоки. В статье [19] предложена классификация MAP-потоков на MAP-потоки первого порядка и MAP-потоки второго порядка в зависимости от возможных вариантов смены состояний интенсивности потока. Класс MAP-потоков первого порядка составляют потоки, у которых смену состояний интенсивности определяет одна случайная величина; вследствие этого смена состояний происходит в случайные моменты времени, в которые событие потока может наступить или не наступить: 1) синхронные потоки (потоки, у которых состояние интенсивности меняется в случайные моменты времени, являющиеся моментами наступления событий) [20]; 2) собственно MAP-потоки как обобщение синхронных потоков [21]. Класс MAP-потоков второго порядка составляют потоки, у которых смена состояний интенсивности определяется двумя независимыми случайными величинами так, что смена состояний происходит в случайные моменты времени, в которые событие потока может наступить или не наступить: 1) модулированные MAP-потоки [22]; 2) обобщенные асинхронные потоки [23], являющиеся обобщением асинхронных потоков, или, что то же самое, MMPP-потоков (потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени и не зависит от моментов наступления событий) [24]; 3) обобщенные полусинхронные потоки [25] как обобщение полусинхронных потоков (потоки, у которых одна часть состояний интенсивности меняется в моменты наступления событий потока (свойство синхронных потоков), другая часть состояний интенсивности меняется в произвольные моменты времени, не связанные с моментами наступления событий потока (свойство асинхронных потоков)). В настоящей статье рассматривается MAP-поток событий второго порядка с произвольным числом состояний, являющийся обобщением асинхронного потока событий с произвольным числом состояний [26]. Решается задача об оптимальной оценке состояний обобщенного асинхронного потока событий (далее - обобщенный асинхронный поток либо просто поток). Находятся явные выражения для апостериорных вероятностей состояний потока. Решение о состоянии потока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, представляющей наиболее полную характеристику состояний потока, которую можно получить, располагая только выборкой наблюдений; этот критерий обеспечивает минимум полной (безусловной) вероятности ошибки вынесения решения [27]. 1. Постановка задачи Рассматривается обобщенный асинхронный поток, сопровождающий процесс (интенсивность) A(t) которого есть кусочно-постоянный случайный процесс с n состояниями: A(t) принимает значения из дискретного множества значений {Aj,...,An}, А >А2 >... >An > 0. Будем говорить, что имеет место i-е состояние процесса A(t), если A(t) = At, i = 1,n , n = 2,3,.... Если имеет место i-е состояние процесса A(t), то в течение временного интервала, когда A(t) = А,-, имеет место пуассоновский поток событий с параметром (интенсивностью) , i = 1, n . Длительность пребывания процесса A(t) (потока) в i-м состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром аг: F{ (т) = 1 - e ~ai%, т> 0, i = 1, n . Процесс A(t) является принципиально ненаблюдаемым (A(t) - скрытый случайный процесс); наблюдаемыми являются моменты времени t1,t2,...,tk,... наступления событий потока. Рассматривается стационарный режим функционирования потока, поэтому переходными процессами на полуинтервале наблюдения [t0, t), где 10 - начало наблюдения, t - окончание наблюдения, пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить t0 = 0 . В этих предпосылках A(t) - сопровождающий стационарный кусочно-постоянный скрытый транзитивный марковский процесс с произвольным числом состояний n (n = 2,3,...). ОбобщШный асинхронный поток является обобщением асинхронного потока. Обобщение состоит в следующем: в момент перехода процесса A(t) из i-го состояния в j-е инициируется с вероятностью pij дополнительное событие, i, j = 1,n, j ф i; переход происходит в произвольный момент времени, не связанный с моментом наступления события пуассоновского потока с параметром , при этом инициирование дополнительного события осуществляется в j-м состоянии (сначала осуществляется переход из /-го состояния в j-е (переход первичен), затем - инициирование дополнительного события в j-м состоянии), i, j = 1, n, j ф i; переход и инициирование дополнительного события происходят мгновенно. Матрицы инфинитезимальных характеристик [28] процесса X(t) примут вид: -(X1 +«l) (1 " Л2)а12 ••• (1 - An)a1n (1 - p 21 )a21 -(X 2 +a2) ••• (1 - p 2n )a2n (1 - pn1)an1 (1 - pn2)an2 ••• -(X n +an ) X1 p 21a21 p12a12 Xo An a1n p 2n a2n X„ (1) Da D, pn1an1 pn2an2 где ai = -a;i, aii = - 2 ai/., i = 1, n ; a ij- > 0 , 0 < pj < 1, i, j = 1, n, j ф i . j =1, J *i Элементами матрицы Dj являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. Положив в (1) pzy = 0, i, J = 1, n, j ф i, получаем матрицы инфинитезимальных характеристик процесса X(t) для асинхронного потока событий с произвольным числом состояний [26]. Наблюдения за потоком производятся на полуинтервале времени [t0, t) . Требуется на основании моментов наступления событий, наблюденных от момента t до момента t , оценить состояние процесса X(t) (потока) в момент времени t. Обозначим X (t) оценку состояния процесса X(t) в момент времени t. Для вынесения решения о состоянии процесса X(t) в момент времени t необходимо определить апостериорные вероятности w(Xi 11) = w(Xi 111,...,tm,t) = P(X(t) =Xi|t1,..., tm,t) , i = 1,n , того, что в момент времени t значение процесса X(t) = X,- (m - количество событий, наступивших в n моменты t1,...,tm на полуинтервале наблюдения [t0, t)), при этом 2w(X 11) = 1. Решение о состояi=1 нии процесса X(t) (потока) выносится по критерию максимума апостериорной вероятности [27], согласно которому X(t) = Xt, если w(X; 11) > w(Xj 11) , j = 1, n. 2. Рекуррентное соотношение для апостериорных вероятностей состояний потока Согласно методике [29], рассмотрим дискретные наблюдения за потоком через достаточно малые промежутки времени длительности At. Пусть наблюдения за потоком начинаются в момент времени t = 0, и время t изменяется дискретно с шагом At: t(k^ = kAt, k = 0,1,.... Введем двумерный случайный процесс (X(k), rk), где X(k) = X(kAt) - значение процесса X(t) в момент времени t(k) = kAt (X(k) =Xt, i = 1 , n ); rk = rk (At) = r(kAt) - r((k -1)At) - число событий потока, наступивших на полуинтервале времени [(k- 1)At, kAt) длительности At, r^ = 0,1,..., k = 0,m . Поскольку на полуинтервале [-At, 0) наблюдение за потоком не производится, то r0 можем положить произвольным, например r0 = 0 . Обозначим X(m) = (X(0), X(1),..., X(m)) - последовательность неизвестных (ненаблюдаемых) значений процесса X(kAt) в момент времени kAt, k = 0, m (X(0) = X(0) = X , i = 1,n ). Обозначим rm = (r0, r1,...,rm) - последовательность чисел наблюденных событий за время от 0 до mAt на полуинтервалах [(к -1)At, kAt) длительности At, к = 0, m . Нетрудно показать, что компоненты двумерного случайного процесса (X(lc), Гк), к = 0, m, являются взаимно независимыми марковскими компонентами. Тогда для марковского процесса (к(к), Гк), к = 0, m +1, имеет место рекуррентная формула для апостериорных вероятностей [26]: n Inn - W (X | t + At) = 2 w (X, | t)P (X , rm+i Xi , rm ) Ц W (X, | t)p (Xк , W X,, rm ), j = 1, n , (2) i=1 / г=1к=1 где p (кj, rm+1 Xi, rm) - вероятность перехода процесса (к(к), rk) на полуинтервале [mAt, (m + 1)At) = [t, t + At) из состояния (X(m) = Xi, rm), i = 1,n , rm = 0,1,..., в состояние (X(m+1) =к; , rm+1) , j = n , rm+1 = 0,1,.... Исследуем переходную вероятность в (2) для рассматриваемого случая обобщенного асинхронного потока. Имеем P (Xj, rm+1 Xi, rm) = P (Xj Xi, rm)P (rm+1 Xi, rm, Xj ) ; i, j = 1, n . (3) Количество наблюденных событий на полуинтервале [mAt, (m + 1)At) состоит из событий пуассоновского потока интенсивности X(mAt) = Xi, i = 1, n , и дополнительных событий, инициируемых в моменты перехода процесса X(t) из i-го состояния в j-е (i, j = 1,n, j ^ i). В силу этого инициирование дополнительных событий связано с переходной вероятностью p (к j кi, rm); наступление же событий пуассоновского потока связано с вероятностью p(rm+1 , rm, Xj), т.е. rm, rm+1 - число событий пуассоновского потока, наблюденных на полуинтервалах [(m - 1)At, mAt), [mAt, (m + 1)At) соответственно. Отметим, что в силу малости величины At число событий rm = 0;1 (rm = 2,3,...), имеет вероятность o(At)), аналогично для rm+1. Количество переходов процесса X(t) на полуинтервале [mAt, (m +1)At) более одного также имеет вероятность o(At). Замечание 1. Ситуация: одновременное наступление события пуассоновского потока и переход процесса X(t) на интервале длительности At из i-го состояния в j-е (с инициированием дополнительного события либо без его инициирования) имеет вероятность o(At), i, j = 1, n, j ^ i. Первый сомножитель в (3) запишется в виде p(Xj kt, rm) = p(kj kt) , так как на значение процесса X((m +1)At) = X j в момент времени (m + 1)At число наблюденных событий rm на полуинтервале [(m - 1)At, mAt) не влияет (процесс X(t) «живет своей жизнью»); значение же X(mAt) = Xi процесса X(t) в момент времени t = mAt не зависит от предыстории в силу марковости процесса X(t) . Наконец, подчеркнем, что дополнительное событие на полуинтервале [mAt, (m + 1)At) наступает (либо не наступает) в j-м состоянии при переходе процесса X(t) из i-го состояния в j-е (i, j = 1, n, j ^ i). Это обстоятельство нужно отразить в вероятности p (Xj Xi) : p (Xj Xi) = pd (Xj Xi), d = 0;1, i, j = 1, n, j ф i; p (X X ) = po (X X ), i = 1, n . Если d = 0, то дополнительное событие на полуинтервале [mAt, (m + 1)At) с вероятностью (1 - piJ-) не инициируется, i, j = 1, n; pu = 0 , i = 1, n . Если d = 1, то дополнительное событие на полуинтервале [mAt, (m +1)At) инициируется с вероятностью pij, i,j = 1, n, j ф i. Рассмотрим второй сомножитель в (3). Имеем, во-первых, p(rm+1 Xi, rm, Xj) = p(rm+1 Xi, Xj), так как число событий rm+1, наблюденных на полуинтервале [mAt, (m +1)At), не зависит от числа событий rm, наблюденных на полуинтервале [(m - 1)At, mAt), в силу того, что потоки событий во всех состояниях процесса X(t) пуассоновские. Во-вторых, , Л ч p (Ъ , Гш+1 , X j) p (X j | Xt , rm+ )p (Xi, rm+) P (rm+1 1 Xi, X j) =-n , , =-n n , (..-• (4) ' p (Xi, X j ) p (X j 1 Xi )p (Xi ) Так как на значение процесса X((m + 1)At) = Xj в момент времени (m +1)At число наблюденных событий rm+1 на полуинтервале [mAt, (m +1)At), так же как и число наблюденных событий rm на полуинтервале [(m - 1)At, mAt), не влияет, то p(Xj | Xi, rm+1) = p(Xj | Xt) . Тогда из равенства (4) вытекает p(rm+1 | X,, Xj ) = p(rm+1 | X,) . В силу этого (3) приобретает вид: p (Xj, rm+1 | Xi, rm ) = pd (Xj | Xi )p (rm+1 | Xi) ' i, j = 1 n . (5) Подставляя (5) в (2), находим рекуррентное соотношение для апостериорных вероятностей состояний в случае обобщённого асинхронного потока событий: n Inn w (X j^t + At) = 2 w (Xi 11) pd (X j ^) p (rm+1 V4) 2 2 w (X ^ t) pd (X ^X i) p (rm+11X i), (6) i=1 / i=1s=1 d = 0;1, rm+1 = 0;1, j = 1, n. 3. Система дифференциальных уравнений и формулы пересчета для апостериорных вероятностей Пусть временной полуинтервал [t, t + At) расположен на временной оси между моментами наступления соседних событий обобщенного асинхронного потока, скажем, между моментами tk и tk+^ (события в моменты времени tk и tk+^ могут быть событиями пуассоновского потока либо дополнительными событиями, либо и теми и другими). Тогда на полуинтервале [t, t + At) нет событий потока. Последнее означает, что в (6) d = 0, rm+1 = 0 . Тогда учитывая (1), имеем po(Xj |Xj) = p(Xj |Xj) = 1 + ^jjA + o(A), j = Tn; (7) p0 (Xj | Xi) = (1-py )ay At+o(At) , i, j = 1, n, i * j; (8) p (rm+1 = 0 | Xj) = 1 - Xi At + o(At) , i = 1n . (9) Лемма 1. На интервале времени (tk, tk+l) , k = 0,1,..., т.е. между моментами наступления соседних событий обобщенного асинхронного потока, апостериорные вероятности w(X j 11), j = 1,n, удовлетворяют следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений: dw(X, 11) n -j- = 2[(1 - p,j)%■ -ЩMh 11) + w(Xj 11)Z[X, + ZpIsaIS]w(Xi 11), (10) dt i=1 i=1 s=1 n n где j = 1, n, tk < t < tk+1, k = 0,1,...; pjj = pu = 0; 5 ij - символ Кронекера. Доказательство. Обозначим в (6) A^j) - числитель, B0 - знаменатель. Учитывая введенные обозначения, формулы (7)-(9) и проделывая необходимые преобразования, находим (11) Aj = Z w (X 11) p0 (Xj | X) p (rm+1 = 0X) = (1 - Xj At )w (Xj 11) + At 2(1 - pj )ajw (X 11) + o(At), i=1 i=1 pjj. = j =1,n; n n n n B0 =22 w(X,U ) p0(Xs^l) p(rm+1 = ) = 1 - At 2 w(Xl|t)[Xl + 2 p^ls ] + o(At), i=1 s=1 i=1 s=1 pn = 0, i = 1, n. Подставляя (11), (12) в (6) и принимая во внимание, что (1 - x) 1 = 1 + x + o(x), получаем w(kj 11 + At) = n n n _ = (1 - XJ At)w(XJ 11) + AtX(1 - Pj)avw(X{ 11) + Atw(X] | + Xpisais]w(Xi 11) + o(At), J = 1, n. i=1 i=1 s=1 Перенося w (X j 11) в левую часть последнего равенства, после чего деля левую и правую части равенства на At и устремляя At к нулю, приходим к (10). Лемма 1 доказана. Систему (10) необходимо дополнить начальными условиями: значениями апостериорных вероятностей в моменты наступления событий и в момент начала наблюдения за потоком. В силу замечания 1 рассмотрим ситуацию, когда на полуинтервале [t, t + At) наступает одно событие обобщенного асинхронного потока, скажем, в момент времени tk, k = 1,2,.... Рассмотрим два смежных промежутка времени [t, tk ), [tk, t + At) . Длительность первого промежутка есть At' = tk - t, длительность второго промежутка есть At" = t + At - tk . Тогда в (6) w(Xj 11 + At) = w(Xj | tk + At") , w(X11) = w(Xi I tk - At'), и рекуррентная формула (6) приобретает вид: X w(X,tk -At")pd (X j | X{)p(rm+r | X{) w (X jtk + At") = -:-, (13) X X w(X { I tk -At") pd (X s I X {) p (rm+! X {) i=ls=l J = 1n; (d = 0, rm+x = 1), (d = 1, rm+1 = 0); k = 1,2,... Начальные условия для системы (10) определяются в следующих леммах. Лемма 2. Апостериорные вероятности состояний обобщённого асинхронного потока w (X j 11), J = 1,n, в момент tk, k = 1,2,..., наступления события потока определяются формулой пересчета: n In n w(Xj Itk + 0) = Xjw(Xj Itk - 0) + X plj^ljw(Xl Itk - 0) Xw(X{ I tk - 0)[Xi + X pls*ls(14) i=1 / i=1 s=1 где J = 1,n; pjj = 0, pu = 0 ; k = 1,2,... Доказательство. Обозначим в (13) A1 t0 - 0 определяется системой дифференциальных уравнений (10), формулами пересчета вероятностей (14) и решением системы (20), в которых tk < t < tk+1, w(Xj | tk ) - w(Xj | tk + 0), w(Xj | tk+1) - w(Xj | tk+1 -0) (k - 0,1,...); для k - 0 имеет место равенство w (Xj 110) - - w(Xj 110 + 0) - n j (j - 1,n). Доказательство следует из (10), (14), (20) путем их синхронизации. Теорема 1 доказана. Замечание 3. Теорема 2 определяет, в частности, поведение апостериорных вероятностей на полуинтервале tk_, tk), т.е. между моментами наступления соседних событий, причем на правом конце полуинтервала имеет место значение w(Xj | tk) - w(Xj | tk - 0), на основе которого по формуле (14) находится вероятность w(Xj | tk + 0) (j - 1,n), являющаяся начальной для следующего полуинтервала tk, tk+1), k -1,2,... Таким образом, апостериорные вероятности w(Xj 11) в моменты наступления событий t1,t2,... претерпевают разрывы первого рода. 4. Явный вид апостериорных вероятностей в зависимости от времени Рассмотрим tk, j) (k - 0,1,...) - полуинтервал времени между моментами наступления соседних k-го и k +1 -го событий, либо, если k - 0, между моментом начала наблюдения за потоком и моментом наступления 1-го события. Следующая теорема определяет решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (10) на временной оси в явном виде. Теорема 2. Апостериорные вероятности состояний обобщ1;нного асинхронного потока событий w(X j 11), j = 1,n, на полуинтервале времени [tk, tk+j), k = 0,1,..., определяются формулой n inn w(Xj 11) = X cs(k)уjs еш(t-tk7 XX X c ^)yls еш(t-tk) , j = 1,n, tk < t < tk+,, k = 0,1,...; (21) s=1 / l=1s=1 w(Xj 110) = w(Xj 110 + 0) = %j; w(Xj | tk) = w(Xj | tk + 0), k = 1,2,...; - корни (собственные числа) характеристического уравнения det D = 0, D = ||ds^|1n , dsl = asl (s,l = 1,n, s Ф l), dM = ass - ш (s = 1,n ), asi = [(1 - pis )als -Xl5ls ], 5ls - символ Кронекера, s, l = 1, n ; у js - компоненты собственного вектора Y(s) = (y1s,..., Уns)T, j,s = 1,n (либо уls; l,s = 1,n), определяемые из уравнения (A-rosE)y(s) = 0, s = 1, n, в котором yns = 1 (s = 1, n), A = ||asJ1" , E - единичная матрица; коэффициенты cs^k) являютn (]f ся решением системы линейных алгебраических уравнений: X cs у js = w(X j | tk + 0), j = 1, n, s=1 k = 0,1,...; вероятность w(Xj | tk + 0), k = 1,2,..., определяется формулой пересч1та (14), в которой w(X, | tk - 0), i = 1, n, вычисляется по формуле n ! n n _ w(X, | tk -0) = XXcJ(k-1)увеш'(tk-tk-^XXcke-(tk-tk- , i = 1,n , k = 1,2,... (22) s s=1 I l =1 s=1 Доказательство. Решим систему нелинейных дифференциальных уравнений (10) на полуинтервале [tk, tk+j), k = 0,1,..., с начальным условием w(Xj | tk) = w(Xj | tk + 0), j = 1,n, пут!м сведения е! к системе линейных дифференциальных уравнений. Преобразуем систему (10). Обозначим --n n zij =(1- Pij -5ij (иj =1, n), W) = X[X, + X Pi&i, ]w(X! 11). Тогда (10) примет вид: i=1 s=1 dw(X j 11) n dt =X Z,]'^iX,|t ' ' y"VX j = X zMXiU) + Y(t)w(X j|t), (23) i=1 j = 7n, tk < t < tk+1, w(Xj | tk) = w(Xj | tk + 0), k = 0,1,... Произведем замену искомых функций w(X j 11) в (23): w(X j|t) = y} (t)exp[ JT(x)dx], j = Ш, tk < t < tk+1, tk w(Xj | tk) = w(Xj | tk + 0) = yj(tk + 0) , k = 0,1,... (24) Подставляя (24) в (23), находим dyf (t) n - -j- = X zij-yi (t), j = 1, n, tk < t < tk+1, yj (tk ) = yj (tk + 0) = w(X j | tk + 0), k = 0,1,... (25) dt ,=1 Относительно yj (t), j = 1,n, получена система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение системы (25) выпишется в виде [32]: yj (t) = XC (%еш (t-tk), j = й, tk < t < tk+1, yj (tk ) = yj (tk + 0) = w(Xj | tk + 0), k = 0,1,... (26) s=1 n Так как X w(Xl 11) = 1, tk < t < tk+j, k = 0,1,..., то из (24), учитывая (26), получаем l=1 t /n t n n П exp[№)dx] = 1/ Xyl(t) = 1 XX XX Cs )yls еш'(t-tk), tk < t < tk+1, k = 0,1,... (27) ^ / l=1 / l=1s=1 Подставляя (26), (27) в (24), приходим к (21). Теорема 2 доказана. Формулы (14), (20)-(22) позволяют сформулировать алгоритм расчета апостериорных вероятностей w(kj 11), j = 1,n, в любой момент времени t (t > t0 = 0): 1) в момент времени t0 = 0 задаются вероятности w(kj 110 + 0) = пj , где пj - решение системы (20), j = 1П ; 2) по формуле (21) рассчитываются вероятности w (k j 11), j = 1, n, в любой момент времени t (0 < t < tx), где ^ - момент наблюдения первого события потока; 3) по формуле (22) рассчитываются вероятности w (k j 11), j = 1,n, в момент времени tj: w(kj 111) = w(kj 111 - 0); затем по формуле (14) производится пересчет апостериорных вероятностей в точке t = tj, при этом вероятности w (k j 111 + 0), j = 1, n, являются начальными условиями для w (k j 11) на следующем шаге алгоритма; 4) по формуле (21) рассчитываются апостериорные вероятности w (k j 11), j = 1, n, для любого t (tj < t < t2), где t2 - момент времени наступления второго события потока, и т.д. Параллельно по ходу вычисления апостериорных вероятностей w (k j 11), j = 1, n, в момент времени t выносится решение о состоянии процесса k(t) (потока) по критерию максимума апостериорной вероятности: k(t) = ki, если w(ki 11) = max w(kj 11), j = 1,n. Заключение Результаты, полученные в статье, дают возможность производить оценку состояний обобщенного асинхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний по результатам текущих наблюдений (в течение некоторого временного интервала) за потоком. Это позволяет системе массового обслуживания адаптироваться (оперативно варьировать дисциплину обслуживания, режимы обслуживания и свою структуру) к изменяющимся состояниям потока. Выражения (14), (20)-(22) для оценки состояний обобщенного асинхронного потока событий с произвольным числом состояний получены в явном виде, что позволяет производить вычисления без привлечения численных методов. Сам же алгоритм оценивания состояний потока обеспечивает минимум полной (безусловной) вероятности ошибки вынесения решения.
Cox D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes by the inclusion of supplementary variables // Proc. of the Cambridge Philosophical Society. 1955. V. 51, is. 3. P. 433-441.
Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчёта фрагментов сетей свя зи. Ч. 1 // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1979. № 6. С. 92-99.
Neuts M.F. A versatile Markovian point process // Journal of Applied Probability. 1979. V. 16. P. 764-779.
Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch markovian arrival process // Communications in Statistics Stochastic Models. 1991. V. 7. P. 1-46.
Diamond J.E., Alfa A.S. The MAP/PH/1 retrial queue // Communications in Statistics Stochastic Models. 1998. V. 14. P. 1151-1177.
Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю., Шифердекер И.Ю. Математическая модель деятельности некоммерческого фон да при дважды стохастическом потоке платежей // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2007. № 1. С. 36-43.
Card H.C. Doubly stochastic Poisson processes in artificial neural learning // Neural Networks, IEEE Transactions. 1998. V. 9, is. 1. P. 229-231.
Лившиц К.И., Ульянова Е.С. Модель управления запасами однородной продукции с релейным управлением темпом производства и MMP-потоком моментов продаж // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 44. С. 50-61.
Башарин Г.П., Самуйлов К.Е., Яркина Н.В., Гудкова И.А. Новый этап развития математической теории теле трафика // Автоматика и телемеханика. 2009. № 12. С. 16-28.
Basharin G.P., Gaidamaka Y.V., Samouylov K.E. Mathematical theory of teletraffic and its application to the analysis of multiservice communication of next generation networks // Automatic Control and Computer Science. 2013. V. 47, is. 2. P. 62-69.
Вишневский В.М., Ларионов А. А. Открытая сеть массового обслуживания с коррелированными входными потоками для оценки производительности широкополосных беспроводных сетей // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2016) : материалы XV Междунар. конф. Катунь, 12-16 сентября 2016. Томск : Изд-во Том. ун-та, 2016. Ч. 1. С. 36-50.
Vishnevsky V.M., Larionov A.A., Smolnikov R.V. Optimization of topological structure of broadband wireless networks along the long traffic routes // Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications : proc. of the eighteenth Int. Scientific Conf. (DCCN-2015) (Moscow, October 19-22, 2015). Moscow : ICS RAS, 2015. P. 27-35.
Вишневский В.М., Ляхов А.И. Оценка пропускной способности локальной беспроводной сети при высокой нагрузке и помехах // Автоматика и телемеханика. 2001. № 8. С. 81-96.
Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е. Модели обслуживания вызовов в сети сотовой подвижной связи. М. : Изд-во РУДН, 2008. 72 с.
Дудин А.Н., Клименок В.И. Расчет необходимого числа каналов в современных телекоммуникационных сетях // Информатизация образования. 2005. № 4. С. 56-68.
Наумов В.А., Самуйлов К.Е., Яркина Н.В. Теория телетрафика мультисервисных сетей. М. : Изд-во РУДН, 2007. 191 с.
Ниссенбаум О.В., Пахомов И.П. Аппроксимация сетевого трафика моделью альтернирующего потока событий // Прикладная дискретная математика. 2009. № 1. С. 78-79.
Самуйлов К.Е., Яркина Н.В., Гудкова И.А. Математическая модель управления доступом в сетях Triple play // IV Междунар. конф. по проблемам управления : сб. трудов. М. : Изд-во ИПУ, 2009. С. 1722-1730.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. О связи МС-потоков и МАР-потоков событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 1 (14). С. 13-21.
Bushlanov I.V., Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimation of the parameters of a synchronous doubly stochastic event stream // Automatika i telemekhanika. 2008. Is 9. P. 76-93.
Gortsev A.M., Solov'ev A.A. Joint probability density of interarrival interval of a flow of physical events with un-extendable dead time period // Russian Physics Journal. 2014. V. 57, is. 7. P. 973-983.
Bakholdina M., Gortsev A. Joint probability density of the intervals length of the modulated semi-synchronous integrated flow of events and its recurrence conditions // Communications in Computer and Information Science. 2014. V. 487. P. 18-25.
Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A. An asynchronous double stochastic flow with initiation of superfluous events // Discrete Mathematics and Applications. 2011. V. 21, is. 3. P. 283-290.
Vasil'eva L.A., Gortsev A.M. Estimation of parameters of a double-stochastic flow of events under conditions of its incomplete observability // Automation and Remote Control. 2002. V. 63, is. 3. P. 511-515.
Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени в обобщенном полусинхронном потоке // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2015. № 1 (30). С. 27-37.
Горцев А.М., Зуевич В.Л. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2 (11). С. 44-65.
Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М. : Сов. радио, 1968. Кн. 2. 504 с.
Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск : Изд-во НТЛ, 2006. 204 с.
Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М. : Сов. радио, 1968. 256 с.
Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М. : Физматгиз, 1963. 236 с.
Лившиц К.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Томск : Изд-во НТЛ, 2011. 252 с.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. : Наука, 1969. 424 с.