Statistical properties of price sensitivity meter results.pdf Вопрос установления рыночной цены, по которой предприятие будет продавать свою продукцию, особенно если это абсолютно новый для фирмы товар, является не просто ключевым, а жизненно важным для организации любой формы собственности [1]. Затратный подход не всегда позволяет найти такую цену, которую покупатели смогли бы воспринимать как приемлемую и справедливую. Методы ценообразования, ориентированные на спрос [2], решают данную проблему и помогают найти ориентировочные диапазоны справедливых цен еще до начала этапа внедрения товара на рынок. Одним из таких методов является метод измерения ценовой чувствительности - Price Sensitivity Meter (PSM), предложенный датским экономистом Питером Ван Вестендорпом [3]. Его описание приведено ниже. Данная методика широко применяется за рубежом, однако достаточно редко используется в отечественной маркетинговой практике. Статистические свойства метода изучены весьма слабо, притом этот факт признается также и зарубежными исследователями [4-7]. В работах [8-12] метод PSM рекомендуется к применению за простоту как расчетов, так и интерпретации результатов, а также за относительную дешевизну стоимости маркетинговых исследований. В то же время в [8-10] метод подвергается критике, поскольку его результаты базируются на потребительских ощущениях, которые, с одной стороны, не имеют непосредственной связи с ожидаемой целевой прибылью компании-производителя, а с другой - не могут рассматриваться как четко осознаваемые потребителем данные [10], с чем стоит поспорить, так как после использования товара в течение некоторого временного периода, что предусматривается методом, представители целевой аудитории успевают получить емкое и детальное представление о товаре, а значит, смогут адекватно оценить его потребительскую ценность и указать справедливые, по их мнению, значения цен в процессе опроса. В [4] предлагается модификация метода PSM, основанная на системе линейных (Чапмана-Колмогорова) и нелинейных дифференциальных уравнений, найдено ее аналитическое решение, представляющее собой комбинацию логистических регрессий. В [13] свойства метода изучены с помощью имитационного моделирования, показано влияние количества опрашиваемых на точность метода. В [13-20] предлагаются модификации на случай как наличия цензурированных данных, так и знания различной дополнительной информации; с помощью имитационного моделирования и метода бутстреп изучено влияние модификаций на свойства метода PSM; показано, что цензурирование негативно сказывается на точности оценивания ценовых предпочтений, в то время как привлечение дополнительной информации может улучшить его качество, в том числе и при наличии любого вида цензурирования. В данной работе аналитически показана асимптотическая нормальность оценок ценовых значений, полученных с помощью метода PSM. Это позволяет находить доверительные интервалы для каждого из искомых уровней цен. 1. Метод измерения ценовой чувствительности PSM Рассмотрим последовательность проведения маркетингового исследования согласно методу PSM. На начальном этапе N представителям целевой аудитории предлагается попользоваться товаром на протяжении некоторого периода времени для того, чтобы они смогли объективно воспринять его потребительскую ценность. Далее каждому участнику задаются следующие вопросы: 1. Ниже какого уровня цены x товар кажется Вам настолько дешевым, что начинают возникать подозрения о том, что он некачественный или поддельный? 2. Какая цена x2 для Вас является приемлемой для покупки товара? 3. Какая цена Х3 кажется Вам высокой, однако Вы еще рассматриваете вопрос о покупке? 4. Начиная с какого уровня цены x4 товар кажется Вам настолько дорогим, что вопрос о покупке даже не ставится? Рассмотрим цены в пунктах 1-4 как случайные величины Xj, j = 1,4, с соответствующими функциями распределения Fj (x) = P (Xj < x). Тогда результаты опроса можно представить как четырехмерную выборку (хи,Xk2,Xkз,Xk4), k = 1,N, при этом выборочные элементы можно рассматривать как независимые между собой, так как в процессе исследования представители целевой аудитории не могут оказать влияние друг на друга (опрос проводится тайно, желательно опрашивать каждого респондента отдельно). F,M ; S3M : F4M ->- : s-iM f2W : : -•-SiM -*-s3M -F2W ' -*-F4M : -■- -Ц1-*-i-i- - пш1 *oni *безр - тях 3 Рис. 1. Кривые ценовой чувствительности метода PSM Fig. 1. Price sensitivity curves of PSM method По каждому выборочному вектору Xij,X2j-,...,XN ^ случайной величины Xj, j = 1,4 , построим эмпирическую функцию распределения Fj (x) по формуле 1 N t F (x)=J a) где - индикаторная функция. Для i = 1, 3 рассмотрим эмпирическую оценку функции выжи вания Si(x) = 1 -Fi(x). (2) Отобразим функции (1) и (2) на рис. 1. Эти функции называют кривыми ценовой чувствительности (Price Sensitivity Curves). Обычно на практике кривые предварительно кусочно-линейно сглаживают, а затем находят искомые цены (рис. 2). 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 .... *1ши *опт ^безр *шах * Рис. 2. Сглаженные кривые метода ценовой чувствительности PSM Fig. 2. Smoothed price sensitivity curves of PSM method В качестве рекомендуемого диапазона цен рассматривается отрезок, левый конец которого -абсцисса точки пересечения F4 (x) и Sj (x) - «оптимальная цена» хопт, правый - значение, соответствующее пересечению F2(x) и S?3(x) - «ожидаемая цена», или «точка безразличия» £безр. Назначать цену ниже минимально возможной xmin не рекомендуется, так как потребители будут воспринимать товар как некачественный. Если назначить цену выше максимально возможной x , то потребители будут воспринимать товар как необоснованно дорогой. 2. Расчет ценовых значений методом PSM Рассмотрим случай, когда метод PSM базируется на не сглаженных кривых, а на эмпирических функциях распределения, представляющих из себя ступенчатые функции. Заметим, что пересечением оценок кривых ценовой чувствительности могут являться отрезки, при этом в качестве искомой цены будем рассматривать их правые границы. Например, для точки безразличия £безр (см. рис. 1) формула для определения цены принимает вид: ^зр = max{ x:F2(x) = £з(x)} . Если несколько участников исследования назвали одинаковые цены, то возможна ситуация, когда пересечения не существует (см. xmin на рис. 1), в результате искомая цена определяется следующим образом: xmin = x: S (x + 0)4 • (Fi (x) + Fj (x) - (F (x) + Fj (x))2 + 2Fj (x, x)). Здесь Fj (y, z) - совместная функция распределения случайной величины Xj и Xj для i = 1,3 и j = 2, 4, Fj (y, z) Ф F (У) • Fj (z), так как случайные величины X, и Xj не являются независимыми. Кроме того, в силу центральной предельной теоремы 4/N •(Gj (x) - Gj (x))) = 1 NL (X,.) - F (x) + F ,(X,.) - F (x)' . . VN• 1 ]T[°,x)( ki) '() ) J() N^^^^^^(x)) . (7) N k=1 2 Таким образом, оценки ценовых значений x' могут быть получены путем подстановки оценки (6) в (5) с последующим вычислением по формуле: ^ = Gj1 (0,5) = sup j x :Gj (x) < 0,5}. (8) ^) = Это приводит к значению (N + 1)-й порядковой статистики в объединенной выборке объема (N+1) (iJ ) (N+1) . 2N, составленной из выборок { Хь } и { Xj }, к = 1,N, т.е. x0'J5 = X((j) 3. Асимптотическая нормальность оценок PSM Для доказательства асимптотической (N ^да) нормальности оценок (8) воспользуемся методом, изложенным в [21]. Представим (8) в виде функционала от оценки функции распределения (6) x0j) = T [g. J, (9) в область определения которого входит теоретическая функции распределения G(x) и все функции вида Gj (x) = G(x) +1[Gjj (x) - G(x)) t e [0; 1]. Обозначим 4(t) = T[oj J, t e [0; 1]. Асимптотические свойства x(j определяются первой отличной от нуля производной функции ^(t) в точке t = 0. Найдем производную ^(t) . Для этого рассмотрим уравнение н (t, x 05 ) = 0j (x j)-0,5 = 0, которое при t = 1 переходит в (9). Пусть уравнение H (t, x0j) = 0 определяет неявным образом значение функционала T[Gj J для всех t e[0,1]. Дифференцируя функцию ^(t) по t как неявную, имеем в точке t = 0 G(x0j)-Gj(xj)_ g.(xj)-0,5 „ n4 8H / 8t n(t = 0) =-ft 8H / 8Xj gj (x0j5) gj (x0j5) ' где gy (x) = ( f. (x) + f. (x))l2 - плотность функции распределения Gj(x), при этом предполагается, что для m = 1,4 существуют fm (x) - плотности функции распределения Fm (x) и gm (xfl) ф 0. Отсюда и из (7) следует, что при N ^ да имеет место асимптотическая нормальность оценок (8): L [4N •( xj - xj ))--- N (0; V2.), (10) где v2 = F.. [xg,x j)/(2g2 (xj)). Выражение (10) позволяет строить приближенные доверительные интервалы для x с заданной доверительной вероятностью 0 < у < 1: Y(ij) Z(1+y)/2 • Vj ^ (j) < Y(ij) , Z(1+y)/2 • Vу ,пч X(j+1) x°,5 " X(j+1) + yfN ' ( ) где z(1+y)/2 - квантиль уровня (1 + у) / 2 стандартного нормального распределения, ■v -v 2-j, x05 x0j ]/[f [ x0j J+f (x0j JJ, a* f (x), fj (x) - состоятельные оценки плотностей в точке x = xj. 4. Состоятельность оценок Покажем состоятельность оценок (5) и (12). Очевидно, что для i = 1,3 и j = 2, 4 функции распределения F.x, y) непрерывны, так как плотности существуют только для непрерывных случайных V величин, следовательно, обратные к F.[x, y) функции также существуют и являются непрерывными. V Воспользуемся интегральными преобразованиями [22] X(ks) = F-(^(ks)), = Fs(X(fe)) Xks = F-'Uks), Uks = Fs{Xks), (13) где для s = 1,4 X(ks) - k-я порядковая статистика выборки {X^}, Uks - равномерная в [0, 1] с.в., U(ks) - k-я порядковая статистика выборки {U^}. Нетрудно убедиться, что смесь с.в. {Uki} и {jkj}, i = 1,3 и j = 2, 4, k = 1, N, распределена равномерно в [0, 1], следовательно, для медианы ^,5 = G (XN+1))=(F (XN+1))+F (XN+1) ))/2 объединенной выборки {Uk} объема 2N верно неравенство Чебышёва: - I ) DU0 5 p{|u/0,5 -EUoJI < s}> 1--Г1, Vs > 0, где [22] EU05 , 0,5 2 N +1 DU N • (2N - N+1) =_N_>0 0,5 ( 2N + 2)- (2N +1)2 2 • (2N +1)2 N Следовательно, U0 5 -1. ' N^M 2 Заметим, что в силу непрерывности функций распределения F- (x, y) и функции распределения j Gjj (x) = (F' (x)+Fj (x)) 2 являются непрерывными, следовательно, их обратные функции также непрерывны. Отсюда, согласно первой теореме непрерывности [23], верно следующее G-1 (U»,5)-- G А 1 Л 1 v 2 у из чего следует состоятельность оценки x^l = X((ij^) (5). Согласно [23] для любого фиксированного х Fj (x,x)-^Fij (x,x), следовательно, в силу первой теоремы непрерывности [23] F.. I x(j5), x^l)--F. I x(j5), x{j) для неij v , , у N^M lj v , , у прерывной функции F- (x, x). Аналогично в силу первой теоремы непрерывности верно, что у Kl2Ftj V x0H>, xj ^FjO ---^ Пусть для s = 1,4 плотности f (x) непрерывны и f (x) > 0. Рассмотрим ядерные оценки плот ностей fs (x) Розенблатта-Парзена [24, 25]: N ^x-X ^ V к у 1 f (x)=-2 к lN i=1 где K (x) - ядро оценки (обычно это некоторая плотность распределения вероятностей), при этом должны выполняться следующие условия: +м Ks (t) > 0, teR, J Ks (t)dt = 1, sup Ks (t) 0 имеет место состоятельность оценки (12). 5. Метод PSM в анализе цены нового программного продукта Рассматриваемый метод применялся в задаче определения цены нового программного продукта (ПП), выводимого на рынок товаров производственного назначения В2В. В анкетировании принимали участие представители 52 организаций, которым в тестовом режиме в течение двух месяцев предоставлялась возможность воспользоваться ПП. В целях сохранения коммерческой тайны результаты опроса масштабированы и приведены в табл. 1 в условных единицах (у.е./ед.). Итоги подсчетов цен - выборочных медиан - показаны в табл. 2. Предприятию целесообразно назначать цену продажи в диапазоне 205-379 у.е./ед. Таблица 1 Результаты опроса потребителей по методике PSM (у.е./ед.) № X1 X 2 X 3 X 4 № X1 X 2 X 3 X 4 № X! X 2 X 3 X 4 № X! X 2 X 3 X 4 1 53 145 204 257 14 109 251 302 360 27 159 277 359 428 40 196 307 403 591 2 58 172 239 287 15 116 253 308 363 28 162 280 362 432 41 198 308 408 611 3 60 173 253 290 16 125 255 310 365 29 163 284 364 436 42 200 311 408 620 4 66 175 254 301 17 126 256 313 374 30 165 286 367 439 43 205 313 424 643 5 73 186 256 302 18 129 257 315 379 31 165 288 367 454 44 206 313 427 660 6 78 186 257 305 19 130 262 333 382 32 167 291 368 462 45 209 314 430 685 7 82 186 260 309 20 138 262 335 384 33 173 293 373 467 46 225 320 438 690 8 85 199 274 318 21 144 264 339 390 34 181 294 374 472 47 238 322 439 773 9 95 201 277 322 22 148 266 341 398 35 183 295 377 489 48 259 323 474 838 10 103 202 279 324 23 151 266 350 418 36 184 300 381 522 49 270 327 474 869 11 104 220 283 327 24 152 271 350 419 37 186 301 391 526 50 288 336 508 1152 12 108 222 293 352 25 155 274 354 421 38 186 303 394 529 51 290 343 581 1309 13 108 236 294 359 26 157 276 355 422 39 193 306 399 560 52 301 361 655 1350 Знание асимптотической нормальности оценок позволило построить доверительные интервалы для каждой цены с вероятностью у = 0,9 (см. табл. 2), где значения v{j (12) рассчитывались с использованием ядерных оценок плотностей с гауссовым ядром. Доверительные интервалы для у = 0,9 были также смоделированы бутстреп-методом с объемом бутстреп-выборки M = 65 536. Результаты приведены в табл. 2. На рис. 3 показаны гистограмма, построенная по бутстреп-выборке медиан Х^13, и плотность нормального распределения с параметрами, оцененными по бутстреп-выборке (см. табл. 2). 0 -I---I---I---,---,-=-- 155 175 195 215 235 255 Рис. 3. Гистограмма бутстреп-выборки Х^ и плотность N(206,8; 11,0) Fig.3. Bootstrap histogram of X^-1 and corresponding density N(206,8; 11,0) Таблица 2 Результаты оценивания числовых характеристик и доверительных интервалов ^(15) _ x = xmm x(14) = xonl x(32) = x x = ■хбезр x

Скачать электронную версию публикации