About optimality quasi-singular controls in one boundary control problem of Rosser type discrete system.pdf Многие технические процессы описываются различными дискретными многопараметрическими системами, в частности дискретными двухпараметрическими системами типа Россера [1-7]. В работе [8] рассмотрена задача оптимального управления гибридной системой типа Россера (дискретно-непрерывная задача оптимального управления) и доказаны необходимые условия оптимальности первого порядка. Доказательству необходимых условий оптимальности особых в смысле принципа максимума Понтрягина управлений, а также квазиособых управлений в гибридных системах типа Россера посвящены работы [9, 10]. В [11] найдено представление решения краевой задачи для линейной неоднородной гибридной системы уравнений типа Россера. Достаточное условие оптимальности типа условий В.Ф. Кротова в задаче оптимального управления системами типа Россера доказано в работе [12]. Необходимое и достаточное условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина в линейном случае установлено в [13]. Исследованию особых в смысле принципа максимума Понтрягина управлений на оптимальность в дискретных системах Россера посвящена работа [14]. В настоящей работе рассматривается задача оптимального управления дискретными двухпараметрическими системами типа Россера, управляемыми посредством выбора граничного условия, при предположении, что граничное условие является решением аналога задачи Коши для нелинейного обыкновенного разностного уравнения с запаздыванием. Таким образом, рассматриваемая в работе задача отличается от задач, которым посвящены работы [8-11], и является более общей, чем задачи из [12-14]. При предположении выпуклости области управления доказано необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного условия максимума [15-19]. Далее, применяя модифицированный вариант метода приращений, развитый в работах [18, 19], выведены необходимые условия оптимальности квазиособых управлений [16, 19, 20]. 1. Постановка задачи Предположим, что управляемый дискретный процесс описывается системой двухмерных нелинейных разностных уравнений Об оптимальности квазиособых управлений в одной граничной задаче управления дискретными системами Z {t +1, x) = f [t, x, (t, x), 7 {t, x)), t = t0, ^0 +1,..., t1 -1, x = x0, x0 +1,..., x1, (1) 7{t,x +1) = g(t,x,ZZ{t,x),у{t,x)), t = t0,t0 +1,...,tι, x = X0,x0 +1,...,Xi -1, и краевыми условиями Z(t0, x) = a(x), x = x0, x0 + 1,..., x1 , (2) у(t,x0) = b(t), t = t0,t0 +1,...,t1. Здесь f (t,x,Z, у) (g(t,x,Z, у)) - заданная n(m) -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (Z, у) до второго порядка включительно, t , t , x , x заданы, причем разности t -t , x -x есть натуральные числа, b(t) - заданная m -мерная дискретная вектор-функция, а (x) - n -мерная вектор-функция, являющаяся решением обыкновенного нелинейного разностного уравнения с запаздыванием а(x +1) = F(x,а(x),а(x-N),и(x)), x = x0,x0 +1,...,x1 -1, (3) с начальными условиями a(x0- N) = ax0-N, ...., a(x0) =ax0, (4) где F(x,a,c,u) - заданная n -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (a,c,u) до второго порядка включительно, a ,...,a - заданные постоянные векторы, N - заданное натуральное число (запаздывание), и (х) - г-мерный дискретный вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и выпуклого множества U ⊂ Rr, т.е. и (x~)≡U Rr, X ∈ X = {x0, X0 +1,..., X1 -1}. (5) Такие управления назовем допустимыми управлениями, а соответствующие процессы (и (x), a (x), Z (t, x), у (t, x)) - допустимыми процессами. В дальнейшем предполагается, что при каждом заданном допустимом управлении и( x) система уравнений (1)-(4) имеет единственное решение (a ( x), z (t, x ), у (t, x)). На решениях задачи (1)-(4), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим функционал x-1t-1 S(и) = φ1 (а(xj))+ ∑ G1 (x,Z(tj,x))+ ∑ G2(t,у(t,xj)). x=x0t =t0 (6) Здесь ф1 (а) , G1 (x, z), G2 (t, у) - заданные скалярные функции, непрерывные по совокупности переs^'gI (x,z) ∂G2 (t,у) Sz2 , ду ' ) da a∙ " ∂-z " dφ1 ( а д 2φ1 ( а ) SG1 (x, z менных вместе с частными производными ----да 62^2 (t, у) dy2 ■ Изучим задачу о минимуме функционала (6) при ограничениях (1)-(5). Допустимое управление u(x) , доставляющее минимум функционалу (6), при ограничениях (1)-(5) назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и (х), a (x), Z (t, x), у (t, x)) -оптимальным процессом. С.Ш. Кадырова, К.Б. Мансимов 2. Формула приращения второго порядка критерия качества Пусть (W (x), a (x),z (t,x), у (,x)) - фиксированный допустимый процесс. Через и (х; ε) = = ε V (х ) + (l - ε) и (х) обозначим произвольное допустимое управление, такое что соответствующее ему решение a (х; ε) удовлетворяет соотношению a(х +1; ε) = F(х,a(х; ε),a(х - N; ε),и(х; ε)) = = F(х,a(х; ε),a(х-N; ε),εv(х) + (l-ε)и(х)) (7) с краевыми условиями a(хо -N; ε0 = a^-N,..., a0хо;ε) = aχ^ 0 (8) где ε∈ [о, 1] - произвольное число, а v (х) ∈ (х ∈ X) - произвольное допустимое управление, соот ветствующее и (х; ε). Это возможно в силу выпуклости множества U. Ясно, что при этом (z (tх; ε) у (t, х; ε)) будет решением задачи z (t +1, х; ε) = f (t, х, z (t, :х'; ε), у (t, :х\\ ε)), у (t, х +1; ε) = g(t, х, z ((t, х^ ε), у ((t, х^ ε)), z(tθ,х; ε) = a(х; ε), у(t,хо;ε) = b(t). (9) (10) Положим ∂z(t,х; ε) ; ε=0 t,х )= ∂ε Z (t, х ) = д 2 z 01, f;ε) ∂ε 2 5у(t,х; ε) m (t, х) = ------- ’ ∂ε . . ду(t,х; ε) ; ^

Скачать электронную версию публикации