Synthesis method of modal regulator for control object with interval uncertainty of coefficients.pdf В результате идентификации технологических процессов модель объекта управления чаще всего восстанавливается в виде линейного дифференциального уравнения (заданного порядка), коэффициенты которого определены с точностью до принадлежности некоторым интервалам. Фактически такая интервальная неопределенность коэффициентов означает, что объект управления описывается целым семейством моделей. В большинстве классических схем синтеза регулятор рассчитывается для модели с точно заданными коэффициентами. В случае объекта управления с интервальной неопределенностью коэффициентов регулятор может быть рассчитан по классическим схемам для модели со средними значениями из заданных интервалов. При этом после замыкания объекта управления (описываемого семейством моделей) синтезированным регулятором в передаточной функции (ПФ) замкнутой системы появляется неопределенность. Поскольку свойства устойчивости и качества управления системы определяются расположением полюсов ее ПФ, возникает вопрос: при каких размерах интервальной неопределенности в объекте управления замкнутая система еще сохранит свойства устойчивости (робастная устойчивость) и качества управления (робастное качество управления)? В схеме модального управления [1. С. 8-21; 2. С. 9-12] качество управления задается в виде области S на комплексной плоскости, определяющей желаемое расположение полюсов ПФ. Следовательно, вопросы исследования (проверки) робастной устойчивости и робастного качества управления могут быть рассмотрены с единых позиций: требуется проверить, принадлежат ли корни заданного семейства полиномов области S. Проблема исследования робастной устойчивости и робастного качества управления широко представлена в литературе. Можно выделить три главных направления, в рамках которых решается данная задача: 1) принцип исключения нуля; 2) теория H∞; 3) метод LMI. Принцип исключения нуля впервые был сформулирован в работах [3-4]. Обобщениям принципа исключения нуля на различные случаи, а также разработке на их основе вычислительных методик проверки робастной устойчивости посвящено большое количество статей (см., напр.: [5-6]). В указанных работах основное внимание уделяется проверке робастной устойчивости (задача исследования робастного качества управления не рассматривается). Следует отметить, что в [7, 8] и некоторых других статьях были получены достаточные критерии робастного качества управления для случаев, когда область S имеет специальную форму - форму трапеции в [7] или сектора в [8]. Общая формулировка критерия робастного качества управления, не зависящая от формы области S, не получена [6. С. 227]. 14 Метод синтеза модального регулятора для объекта управления Методы теории H∞ (см., напр.: [9-11]) позволяют формулировать достаточное условие робастной устойчивости при наличии как параметрической (неопределенность коэффициентов в операторах), так и структурно-параметрической (неточность задания порядков операторов) неопределенностей в описании объекта. Однако существенным недостатком таких критериев является использование ^^-метрики операторов, что сильно ограничивает классы ПФ, для которых выполняются условия этих критериев. Кроме того, требования к качеству управления сложно выразить в терминах ^∞-норм операторов. Метод линейных матричных неравенств (LMI) можно рассматривать как дальнейшее развитие ^∞-теории. Основу LMI подхода составляет «частотная теорема» [12]. Данный метод позволяет решать ряд задач теории управления (например, задачи оптимально-квадратичного управления, робастного ^∞-управления, оптимального гашения внешних возмущений в рамках теории -управления и др.) путем сведения к линейным матричным неравенствам [13-16]. При этом все замечания, сделанные к теории H∞, остаются справедливыми и для данного метода. Таким образом, сформулированная выше задача исследования робастного качества управления остается нерешенной. В настоящей статье в развитие результатов, изложенных в [6], разрабатывается вычислительная технология исследования робастного качества управления. Далее приняты следующие обозначения: = - равно по определению; * - операция комплексного сопряжения; j - мнимая единица; Rn, Cn - пространства n-мерных векторов x = (х^ .χ^ ), коэффициенты которых соответственно вещественные или мнимые числа; z, s - комплексные переменные; S - область на C1; ∂S - граница области S; int S - внутренняя часть области S; t - непрерывное время; p - оператор i-й степени дифференцирования по времени: P^ = d^Idt'; i ∈ 0, п, p0 == 1. «Полиномиальным оператором» степени I будем называть дифференциальный оператор вида: l f (l, p)= Σ fi pi, i=0 (1) где fi - постоянные коэффициенты (i∈0,l ). В изображениях по Лапласу оператору (1) соответствует алгебраический полином l f (l,s) = Σ fisi, i=0 определенный на C1; здесь за s обозначена переменная преобразования Лапласа ( s ∈C1). «Множество корней (нулей)» полинома f(l, s) будем обозначать Λ(f): A(Z) = {λi: f (l,λi) = 0, i∈17l «Интервальным дифференциальным оператором» степени l будем называть семейство диффе ренциальных операторов вида: f (l, f, p ) = ∣f (l, f, p ) = ∑ fiP' : Vf = (f0, -∙∙, fl)∈ f ∣, (2) где F = jf ∈^l+1:^f, ∈[fiθ _^f,, f^ +^f,], f^^ ≠0, ∆fi∙ ≥0, i = 0,/} -область (многомерный параллелепипед) заданная в пространстве коэффициентов. Выполняя в (2) формальную замену p на s, получаем «интервальный полином» f (l,F,s) = ∣f (l, f,s) = ∑ fs': ∀f ∈ F|. Интервальный полином (3) можно представить в виде: f (l,F,s)= f 0(l,s)+ ∆f (l,∆F,s), (3) (4) 15 А.Н. Паршуков где l f θ (l, s ) = ∑ f.θs' i=0 «точечный» полином, а ∖f (l,^F,s) = ∣δf (1,δf,s) = ∑δf!si: Vδf = (δfo, -, δf,)∈^F|, ΔF = {δf: ^δf^, ∈[-Δfi, ∆fi], i = 0,l} интервальный полином с симметричными интервалами неопределенности коэффициентов. 1. Схема синтеза робастного модального регулятора и задача исследования робастного качества управления Пусть линейный объект управления задан дифференциальным уравнением n-го порядка с интервальной неопределенностью коэффициентов a(n, а, p}y(t} = b(m,b, р)и(ґ), n > m, a° = 1, ∖an = 0, (5) здесь u - входной (управляющий) сигнал, y - выходной (управляемый) сигнал, а a(n, a, p) и b(m, b, p) -дифференциальные операторы вида (4). Модель (6) aθ ( n, p) у (t) = b'^ ( m, p ) и (t), принадлежащую семейству моделей (5), назовем «номинальной». Качество управления будем назначать в виде области S, определяющей допустимое расположение полюсов ПФ на C1. Предполагаем, что область S удовлетворяет следующим условиям: расположена в ограниченной части C1 слева от мнимой оси; односвязна; для любой точки s∈ S также выполняется s*∈S. В технологии синтеза модального регулятора (см., напр.: [1. С. 8-21]) регулятор ищется в виде дифференциального уравнения (n - 1)-го порядка: β(n -1,p)и(t) = α(n -1,p)у (t) + χ(q,p}g(t), q ≤ n -1, βn-1 =1, (7") здесь g - заданный программный сигнал. Коэффициенты операторов β(n - 1, p) и α(n - 1, p) регулятора (7) рассчитываются из условия обращения в тождество уравнения aet (2n -1,s) = a0 (n,s)β(n -1,s) -b0 (m,s)α(n -1,s), a2etn-1 =1, (8) где aet(2n-1, s) - заданный характеристический полином эталонной системы управления (далее -«эталон»); выбор эталона ограничен условием Л(а)⊂ int S. (9) Очевидно, что выбор полинома χ(q, s) не влияет на свойства робастной устойчивости и робастного качества управления, поэтому вопрос расчета полинома χ(q, s) в данной работе не рассматривается. В уравнении (8), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной s, получаем систему из 2n - 1 линейных алгебраических уравнений относительно 2n - 1 неизвестных коэффициентов полиномов β(n - 1, s) и α(n - 1, s) [Там же. С. 12-13]. Данная система однозначно разрешима, если корни полинома a0(n, s) не совпадают с корнями полинома b0(m, s) [2. С. 11]. После замыкания исходного объекта (5) регулятором, синтезированным по схеме (7)-(9), получим ПФ замкнутой системы (поскольку операция деления на множество полиномов не определена, запись носит условный характер): w"" (s) = b^ (m + q, B, sУ a"" (2n -1, A, B, s), здесь bc (m+q,B,s) =b(m,B,s)χ(q,s), α° (2n -1, A, B, s ) = a ( n, A, s )β( n -1, s )- b (m, B, s )α( -1, s ). 16 Метод синтеза модального регулятора для объекта управления Множество полиномов ac(2n - 1, A, B, s) назовем «семейством характеристических полиномов» замкнутой системы; это семейство может быть записано через свои элементы ac(2n - 1, a, b, s): a(2n -1, A,B,5) = ^ac (2n -1, a,b,s): Va ∈ A, b ∈ b} , (10) здесь (с учетом условия (8)) a^ (2n -1, а, b, s ) = a (n, а, s ) β (n -1, s ) - b (m, b, s ) а (n -1, s ) = = a""^ (2n -1,s) + δa(n - 1,δa,s)β(n -1,s)- δb(m,δb,s)а(n -1,s). Множество Λ(a≈) = {∖.: За∈ A, 3b∈C,a^^{2n-1,a,b,∖.) = 0, i = 1,2n-1} назовем «множеством корней» семейства характеристических полиномов (или «множеством полюсов» ПФ wc(s)). Будем считать, что замкнутая система с характеристическим полиномом (10) обладает робастным качеством управления, если множество Λ(ac) лежит внутри области S, т.е. выполнено условие (далее - условие робастного качества управления) Λ(a" )⊂ int 5. (11) При наличии интервальной неопределенности коэффициентов в объекте управления нельзя заранее гарантировать, что модальный регулятор, рассчитанный по формулам (7)-(9), будет обеспечивать выполнение условия (11). Таким образом, задача синтеза модального регулятора в условиях неопределенности в объекте управления состоит из следующих этапов: 1) синтез модального регулятора для номинального объекта (6) (по формулам (7)-(9)); 2) последующая проверка выполнения условия (11) для заданного семейства характеристических полиномов (10) (задача исследования робастного качества управления) . В следующем разделе разрабатывается вычислительная технология исследования робастного качества управления для семейства характеристических полиномов вида (10). 2. Вычислительная технология исследования робастного качества управления 2.1. Критерий робастного качества управления Выражение (10) представляет аффинное семейство полиномов (здесь и далее несущественные для рассуждений аргументы полиномов будем опускать) a" (^) = ∣z(⅞,^) = zO (^) + ∑ξ,z, (^) : ⅜ = (ξι, ∙∙∙, где (12) z0 (5) = a^' (2n -1,5), z^ (5) = < ∆^^si 1β (n -1, s), ∆b^ - ns'- n а ( n -1, s ), i∈1,n -1, i∈n,n + m, l =n +m , а Ξ(γ) - /-мерный куб в пространстве коэффициентов семейства (12): Ξ(γ) = {ξ ∈r :∣ξj ≤γ, Vi ∈1,/} (здесь γ = 1). Обозначим за Z(γ, s) множество значений («геометрический образ») семейства полиномов (12) для точки s∈∂5 : z (γ, s) = Iz0 (s) + ∑ ξ,z, (s): ∣ξ J ≤ γI ⊂ C’. (13) Доказано (см., напр.: [6. С. 174]), что геометрический образ аффинного семейства полиномов (12) представляет выпуклую линейную оболочку (многоугольник) на C1, вершины которой определяются 17 А.Н. Паршуков вершинными полиномами Zθ (s) ± γZ. (s), i ∈ 1,1; общее число вершин многоугольника не превышает 2l. Точки комплексной плоскости, соответствующие вершинным полиномам, называются «точками-кандидатами». Выпуклая линейная оболочка Z(γ, s) записывается через свои точки-кандидаты: Z(γ,s) = Conv{Z0 (s)±γZ^ (s), i ∈1,1}. Существует множество алгоритмов построения выпуклой линейной оболочки на плоскости по известным точкам-кандидатам (например, алгоритмы Грэхема, Джарвиса и др. [17. С. 106-112]). Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Пусть полином aet(2n - 1, s), принадлежащий семейству (10), удовлетворяет условию (9). Тогда для семейства полиномов (10) выполняется условие робастного качества управления (11) если и только если 0 Z (1, s), Vs ∈SS. (14) Доказательство. Рассмотрим произвольный полином, принадлежащий семейству (10). Изменение количества корней этого полинома, лежащих внутри области S, может происходить только в том случае, когда хотя бы один из них (при вариациях векторов параметров a ∈ A и b ∈ B ) пересечет границу области S и условие (14) будет нарушено. Что и требовалось доказать. Точка z0(s) является центром построения выпуклой линейной оболочки (13), таким образом, множество (13) может быть записано: z (γ, s ) = Z0 (s ) + ΔZ ( γ, s), где \\7. (γ,s) = Conv{±γz (s), i ∈1,l} - симметричная выпуклая линейная оболочка (симметрия ΔZ(γ, s) на C1 следует из симметрии куба Ξ(γ)). В результате условие (14) принимает вид: Z(s)∉∆7(1,s), Vs ∈SS. (15) Основная сложность проверки условия (15), как и в случае задачи робастной устойчивости, состоит в необходимости: 1) эффективно строить многоугольник ΔZ(γ, s) на комплексной плоскости для точки s ∈SS ; 2) эффективно проверять выполнение условия (15) для точки s ∈SS . Технология проверки условия (15) изложена ниже. 2.2. Методика проверки робастного качества управления Алгоритм Грэхема [Там же. С. 106-110] формирует множество точек-вершин оболочки ΔZ(1, s) в порядке их обхода против часовой стрелки (поскольку при построении оболочки ΔZ(1, s) точка s предполагается фиксированной, далее аргумент s будем опускать): θ^, к ∈1,2r (г ≤ 1). Вершины θk(γ) оболочки ΔZ(γ) (с произвольным значением γ) получают по формулам θk (γ)=γθk, k ∈1,2r. При проверке условия (15) будем выделять два случая: r = 1 и r > 1. В случае r = 1 многоугольник ΔZ(γ) вырождается в отрезок 7(γ,s) = γ[-θ!, θ1 ]. (16) В случае r > 1 при γ = 0 многоугольник ΔZ(γ) сжимается в точку (0, j0), при γ → ∞ многоугольник стремится ко всей комплексной плоскости. Поставим следующую вспомогательную задачу: для точки s ∈SS требуется найти значение γ(s) = min{γ: Z0 (s)∈S∆7(γ,s), γ≥ θ}, (17) если оно существует. 18 Метод синтеза модального регулятора для объекта управления Рассмотрим случай r = 1. Точка z0 может принадлежать отрезку (16) только в том случае, если она принадлежит линии aRe(z) +bIm(z) =0, a =-Im(θ), b = Re(θ), (18) на которой находится отрезок (16). Доопределяя γ(s) = ∞ в тех случаях, когда точка z0 не лежит на линии (18) получаем следующее выражение для γ(s): ∣z^∣θJ, a Re(z0 ) + b lm(z0 ) = 0, ∞, a Re (zθ) + b Im (zθ) ≠ 0. (19) Рассмотрим случай r > 1. Многоугольник ΔZ(γ) может быть задан системой линейных алгебраических неравенств a, Re(z)+bi Im(z) + Ci 0, k ∈1,2 ∙ r, (20) коэффициенты ak, bk, ck определяются по формулам (для простоты записи формул (21) принимается θ2r+1 ≡ θ1): ψk = Re (θk÷ι- θk)lm (θk)-lm (θk÷ι- θk)Re (θk), ck = γ∣ψ k ∣, / lm ( θk+1 - θk ), Ψk ≥0, .-Im(θk+1 - θk ), ψк < 0, Точка Z0 принадлежит границе ΔZ(γ) в следующих случаях: 1) точка Zq находится на к-й стороне многоугольника ΔZ(γ), при этом в данной точке к-е неравенство системы (20)-(21) обратится в равенство, откуда находим значение параметра γ (обозначим его за γk): ak =1 bk =1 ∕-Re (θ,+1 - θk ), ψk ≥ 0, Re (θk+1 - θk ), ψk < °. (21) 7 k = -(akRe (z0)+bklm (z0) V ∣ψk I; 2) точка Zq находится в k-й вершине многоугольника ΔZ(γ), при этом k-е и (к + 1)-е неравенства системы (20)-(21) обратятся в равенства. Сформируем множество Γ+(5 ) = {γk =-(ak Re (zo ) + bk lm (zθ )V∣ψJ : Yk ≥ 0, k ∈ I-2rI- Отметим, что по смыслу задачи сразу все значения γk, ( k∈1,2∙r) не могут быть отрицательны, следовательно, множество Γ+(s) не пусто. Очевидно, что искомое значение γ(s) находится по формуле γ(5) = maχ {γk ∈Γ+(5): at Re(Zq ) + b^ Im(zθ) + y, ∣ψ; | ≥ 0, ∈ 1,2rj. (22) Приведенные рассуждения можно рассматривать в качестве нестрогого доказательства следующей леммы. Лемма 1. Решение задачи (17) для точки s ∈∂S определяется формулами (19) в случае r = 1 и (22) в случае r > 1. Основываясь на данной лемме, теорему 1 можем переформулировать следующим образом. Теорема 2. Пусть полином aet(2n - 1, s), принадлежащий семейству (10), удовлетворяет условию (9). Тогда для семейства полиномов (10) выполняется условие робастного качества управления (11) если и только если γ = minγ (5 )> 1, 5sSS ' ' где γ(s) - решение задачи (17). Величина γ- определяет, во сколько раз следует увеличить (при γ- > 1) или уменьшить (при γ- < 1) одновременно все интервалы в модели (5), чтобы для характеристического полинома (10) впервые было нарушено условие робастного качества управления (11). Теорема 2 является основой для изложенного ниже алгоритма проверки робастного качества управления. Пусть на ∂S задано множество точек Ω( n^) = I 5, i ∈ 1, n' I, (n < ∞). (23) 19 А.Н. Паршуков Алгоритм исследования робастного качества управления 1. В каждой точке s ∈Ω(п'^ по формулам (19) и (22) вычислить γ(s,∙). 2. По формуле γ = min γ(s ) рассчитать γ-. I∈1. N ' 3. Проверить выполнение условия γ- > 1. (24) Если условие (24) выполнено, то для семейства полиномов (10) выполняется робастное качество управления, если нет - робастное качество не выполняется. Проверка робастного качества управления закончена. Замечание. Очевидно, что для того, чтобы по условию (24) можно было судить о робастном качестве управления, необходимо, чтобы множество точек (23) было как можно больше и располагалось достаточно равномерно на ∂S. 3. Пример исследования робастного качества управления Пусть задан объект управления с интервальной неопределенностью коэффициентов (a° (2, р) ÷ Δa (1, р)) у (t) = (&° (1, р) ÷ Δb (1, р)) и (t), где a0(2,р) = р'2 ÷ 4р ÷ 13, b0 (1,р) = 10,67р ÷ 138,67, Δa (1, р} = [-1,1] р ÷ [-4,4], Δb(1, p^) = [-1,1] р ÷ [-1,1]. Требования к качеству управления задаются областью s = {s: П2 ≤ - Re(s) ≤η1, ∣lm(ss)∖!|Re(s) ≤ μ1}, где η1 = 25, η2 = 2, μ = 1. Характеристический полином эталона выберем aet(3,s)=s3÷15s2 ÷ 75 s ÷125. Для номинальной модели a^ (2, р)у(і ) = (1, p)u(t) и эталона aet(3, s) рассчитан модальный регулятор: (р ÷ 9,062)u (t) = (-0,182p - 0,052) у (t) ÷ χo g (t). Семейство характеристических полиномов замкнутой системы (25) a° (3, s ')= a^ (3, s )÷Δa (1, s)β(1, s ') - Δb (1, s)α(1, s ). Требуется найти γ-. Решение. В результате расчётов функции γ(s) вдоль ∂S получено значение γ- = 1,19. Это означает, что семейство (25) сохраняет робастное качество управления. Заключение В данной работе обоснована схема синтеза робастного модального регулятора. Важной частью процедуры расчета регулятора является задача исследования робастного качества управления. В статье получено обобщение принципа исключения нуля (теорема 1), на основе которого разработана вычислительная технология проверки робастного качества управления. Предложенная схема синтеза проиллюстрирована примером.

Скачать электронную версию публикации