Robust control of queueing system.pdf Исследования по управляемым системам массового обслуживания проводятся в течение нескольких десятилетий. Как правило, под управлением в системе массового обслуживания понимается оптимизация структуры, параметров и режимов работы системы [1, 2] или построение оптимального стохастического управления системой обслуживания как марковским процессом с конечным множеством состояний [3]. С развитием компьютерных сетей возникли новые задачи управления, связанные с устранением перегрузок в компьютерных сетях [4]. При решении этих задач нашли применение методы теории автоматического управления. Например, в системах с активным управлением очередью TCP-пакетов предлагается использовать классические законы управления в виде обратной связи [5-8]. Управление в таких системах осуществляется маркировкой (отклонением) поступающих в буфер узла компьютерной сети TCP-пакетов. При этом отклонение пакетов выполняется с некоторой заданной вероятностью. В данной работе рассматривается возможность применения пропорционально-интегральной обратной связи для решения задачи управления состоянием одной из наиболее простых систем массового обслуживания - одноканальной марковской системы с пуассоновским законом поступления заявок, экспоненциальным законом обработки заявок и ограниченным числом заявок в системе. Предполагается, что система функционирует в условиях перегрузки, когда интенсивность поступления заявок выше интенсивности обработки заявок. При этом интенсивность поступления заявок и интенсивность обработки заявок неизвестны и могут меняться в процессе функционирования системы. Под состоянием системы x(t) будем понимать число заявок в системе в момент времени t. Управление осуществляется отклонением поступающих заявок с некоторой вероятностью. Система управления должна обеспечить желаемое среднее число заявок в системе и тем самым исключить возможность перегрузки системы. Выбор управления в виде пропорционально-интегральной обратной связи обусловлен свойством робастности и простотой реализации системы управления. В отличие от адаптивных систем управления в данном случае не требуется оценивать интенсивности поступления и обработки заявок и настраивать систему управления в процессе ее функционирования. В работе дано обоснование асимптотической устойчивости и робастности системы с обратной связью. Описан алгоритм синтеза обратной связи. Приведены результаты моделирования системы с управлением. 23 Е.А. Перепелкин 1. Объект управления Введем обозначения: λ - интенсивность поступления заявок; μ - интенсивность обработки заявок; u - вероятность отклонения поступившей заявки; n - допустимое число заявок в системе, pi(t) -вероятность нахождения системы в состоянии i = 0, 1, .^, n в момент времени t. Значения λ и μ неизвестны и могут меняться в процессе функционирования системы. Среднее число заявок в системе в момент времени t равно у(t) = p1 (t) + 2p2(t} + 3p3(t) + + npn(t). Задача управления заключается в обеспечении заданного среднего числа заявок в системе y(t) = у, 0 < у < n . Рассмотрим объект управления как конечную цепь Маркова. Динамика цепи Маркова описывается системой уравнений Колмогорова [9]: p = Ap + (Bp)U , (1) где ep =1 , у = cp , ■- λ μ 0 0 0 0 " p0 Lλ -λ-μ μ _ 0 0 0 p1 L0 λ - λ - μ 0 0 0 , A = pn-1 L0 0 0 _ -λ-μ μ 0 L pn _ LL 0 0 0 _ λ -λ-μ μ LL 0 0 0 0 λ - μ _ p= B= " λ 0 0 0 0 0" L-λ λ 0 _ 0 0 0 L0 -λ λ _ 0 0 0 L0 0 0 _ λ 0 0 LL 0 0 0 -λ λ 0 LL 0 0 0 _ 0 -λ 0 c = [0 n], e=[1 1 1]. Система (1) относится к классу билинейных систем [10] с ограничениями на переменные состояния и управления. Синтез управления в виде обратной связи по выходу для такого рода систем является достаточно сложной математической задачей [11]. 2. Робастное управление Перейдем к более простому описанию объекта управления. Заметим, что cA = [λ λ-μ λ-μ -μ], cB = [-λ -λ -λ 0]. Из системы уравнений (1) получим y = cp = cAp + (cBp)u = -λ(1 -pn')и + λ(1 -pn) - μ(I -po) . Следовательно, динамика среднего числа заявок в системе подчиняется уравнению у = -au + b, (2) где a=λ(1- pn), b=λ(1- pn)-μ(1- p0). Уравнение (2) будем рассматривать как уравнение системы с неконтролируемым внешним возмущением b и неопределенным параметром a. Управление будем строить в виде пропорциональноинтегральной обратной связи и = kp~ + k'Z, z. = ~ , 24 Робастное управление системой массового обслуживания где ~ = у - у отклонение среднего числа заявок в системе от заданного значения у, kp , к - коэффициенты обратной связи. Замкнутая система описывается уравнениями = -akp~ - ak∣z + b, z = у . Характеристический многочлен замкнутой системы равен ∆(s) = s2 +akps+aki . Замкнутая система будет асимптотически устойчивой при любом a > 0 тогда и только тогда, когда kp > 0, к > 0. Из асимптотической устойчивости замкнутой системы следует Iim у(t) = у . t →∞ Пусть известна оценка максимального значения интенсивности потока заявок λ . Следовательно, 0 ≤ a ≤ λmax . Коэффициенты обратной связи рассчитаем при a = λ . Зададим желаемые полюсы замкнутой системы равными s = s = -r, r >0. Тогда 1 2^ r kP = λ-, ki = λ-. λ max λ max При реализации системы управления следует учитывать ограничение, накладываемое на управление, 0 ≤ и ≤ 1. Также необходима оценка среднего числа заявок в системе. Эту оценку можно получить, применяя известные алгоритмы построения последовательной оценки средних значений. Например, можно применить экспоненциальный фильтр первого порядка у(t) = -^(у(t) - х(і)), где у(t) - оценка среднего числа заявок в системе в момент времени t, x(t) - наблюдаемое число заявок в системе в момент времени t, а> 0 - параметр фильтра. 3. Пример Рассмотрим систему обслуживания с параметрами: μ =200, 0≤λ≤1000, n =100. Пусть желаемое среднее число заявок в системе у = 40. Зададим полюсы замкнутой системы равными s1 = s2 = -10. Тогда kp = 0,02 , ki =0,1. Сначала решим уравнения Колмогорова, дополненные уравнениями обратной связи. На рис. 1, 2 показаны график среднего числа заявок в системе и график управления при трех значениях интенсивности поступления заявок. Расчеты проводились при начальных условиях p (0) =1, p (0) =0, i =1,2,..., n . Fig. 1. Average number of requests in the system Fig. 2. Probability of rejection of requests 25 Е.А. Перепелкин Затем выполним имитационное моделирование. Результаты моделирования, полученные при k p = 0,02 , ki = 0,1 , λ =1000 , показаны на рис. 3, 4. Рис. 4. Управление (вероятность отклонения поступающей заявки) Fig. 4. Control (probability of rejection of arriving requests request) Рис. 3. Число заявок в системе Fig. 3. Number of requests in the system Все расчеты и моделирование выполнялись в системе компьютерной математики Scilab. Результаты моделирования подтверждают свойство робастности системы с управлением. Заключение В статье решена задача синтеза системы управления в виде обратной связи для одноканальной марковской системы массового обслуживания с пуассоновским законом поступления заявок, экспоненциальным законом обработки заявок и ограниченным числом заявок в системе. Предполагается, что интенсивность поступления заявок и интенсивность обработки заявок неизвестны и могут меняться в процессе функционирования системы. В работе дано обоснование асимптотической устойчивости и робастности системы с обратной связью. Описан алгоритм синтеза обратной связи. Приведены результаты моделирования системы с управлением. Результаты численных экспериментов и имитационного моделирования подтверждают возможность применения предложенной системы управления в системах массового обслуживания с высокой интенсивностью поступления заявок. Предложенная система управления может быть использована в системах передачи и обработки данных. Например, в компьютерных сетях с активным управлением очередью пакетов.

Скачать электронную версию публикации