Adaptive efficient estimation for a function in heteroscedastic regression.pdf Рассматривается задача адаптивного асимптотически эффективного оценивания в непараметрической гетероскедастичной регрессионной модели yj = S (, 1 ^ J ^ n , (1) где Xj = j / n - точки разбиения сегмента [0, 1], S - неизвестная 1-периодическая функция, которую требуется оценить, - последовательность центрированных независимых одинаково распределенных случайных величин с единичной дисперсией, - неизвестные коэффициенты вола тильности, зависящие от точек X. и функции S, n - число наблюдений. Гетероскедастичные регрессионные модели широко применяются в эконометрических исследованиях, в частности при анализе инвестиционного поведения фирм, для задачи потребления и др. [1, 2]. Также регрессионная модель типа (1) используется в стохастических дифференциальных уравнениях для аппроксимации диффузионных процессов с непрерывным временем путем применения последовательных ядерных оценок [3, 4]. Важной является задача качественной статистической идентификации таких моделей [5]. Цель данной работы - доказать свойство асимптотической (при n ) эффективности улучшенной процедуры выбора модели, предложенной авторами в [6], для оценивания функции S в модели (1). Рассматривается адаптивная постановка задачи, т.е. в условиях отсутствия информации о гладкости неизвестной функции S. Понятие асимптотической эффективности связано с оптимальной скоростью сходимости минимаксного риска, т.е. важным вопросом в результатах оптимальности является изучение точной асимптотики минимаксного риска [7]. Проблема асимптотического непараметрического оценивания в модели гетероскедастичной регрессии изучались в работах [8-10]. Для доказательства асимптотической эффективности процедуры необходимо показать, что ее асимптотический квадратичный риск совпадает с нижней границей, определяемой константой Пинскера [11]. В данной работе поставленная задача решается с использованием подхода, основанного на методах выбора модели и точных оракульных неравенств, разработанных в статьях [10, 12]. В отличие от указанных работ, в статье применяется метод улучшенного адаптивного непараметрического оценивания, предложенный в [6, 13]. 73 Е.А. Пчелинцев, С.С. Перелевский Статья состоит из четырех разделов. В разд. 1 описывается построение адаптивной улучшенной процедуры выбора модели и формулируется точное оракульное неравенство для среднеквадратического риска процедуры оценивания. В разд. 2 доказывается теорема об асимптотической эффективности процедуры выбора модели в минимаксном смысле. В разд. 3 изучается задача оценивания непериодической функции в модели (1). В разд. 4 приводятся результаты численного моделирования. 1. Адаптивная процедура выбора модели. Оракульное неравенство Для оценивания неизвестной функции S в модели (1) предлагается использовать семейство (Sx)^_A улучшенных взвешенных оценок наименьших квадратов, определенное в [6], т.е. n s:^(x) = (x), (2) J =1 где вектор весовых коэффициентов X = (Х^,...,Х^) принадлежит некоторому конечному множеству Л с [0,1]n c n > 3 , (фj )1 1 и 0 < е < 1 - функции от п, т.е. к = к^ и е = е^ такие, что 1 к lim к = +да, lim -- = 0, n “ 1 “ n nIn n lim е = 0, lim n®е =+да n ^ n n n^TO для любого 5 > 0 . Например, можно взять для n > 3 е =-^, к = к +J In n, In n где к - некоторая неотрицательная постоянная. Для любого а = (Р, t) е А положим, что весовой вектор ^ = (^j,...,^„) с компонентами 'Xa,J = l{1S^ 0 - неизвестные параметры. Обозначим через ^ множество всех оценок ^>n, измеримых относительно наблюдений Предположим, что коэффициенты волатильности удовлетворяют следующим условиям. Ci) оJ (S) = g(Xj, S) для некоторой неизвестной функции g : [0, 1] х [0, 1] ^ R, которая квадратично интегрируема по х и такая, что -X g ^( Xj, S) - ^(S) = 0 llm sup 1 n j=1 n^“ Wk где Q(S) = f g2 (x, S~)dx. Кроме того, g = inf inf gx, S) > 0 и q(S) r(S)},m), r(S) = r I g{S) и выберем a = (A:,f ) g A, где ^ > 1 - неизвестный параметр множества и С = /^e . Определим ~s = s[, І=К- Ясно, что эта оценка принадлежит семейству (2) и зависит от неизвестных параметров k, r и r (S), следовательно, не может быть явно вычислена и применяться для решения задачи оценивания в адаптивной постановке. Однако для риска этой оценки, принимая во внимание неравенство (7) и Теорему 5.1 из [10], имеем lim sup п2kk Se Wr Ykkk k 0 . Умножая уравнение (1) на функцию х(') и моделируя последовательность (^ )^

Скачать электронную версию публикации