Predictive control strategies for investment portfolio in the financial market with hidden regime switching.pdf Задача управления инвестиционным портфелем (ИП) является одной из ключевых в финансовой инженерии. Финансовые временные ряды представляют собой нестационарные динамические стохастические системы с высокой волатильностью и скачкообразными изменениями. В связи с этим для описания динамики ИП широко используются модели с марковскими скачками. Задаче управления ИП на финансовом рынке с марковским переключением режимов посвящены работы [1-7]. В этих работах предполагается, что цепь Маркова является наблюдаемой. Однако на практике при управлении реальным ИП состояние цепи, как правило, не доступно прямому наблюдению. В работах [8, 9] рассматривается задача управления ИП на скачкообразном рынке со скрытой сменой режимов цепи. В частности, работа [8] посвящена задаче управления по критерию «mean-variance». Оценки параметров модели скрытой цепи Маркова получены с использованием EM-алгоритма. Оптимизационная задача сводится к решению уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана. В работе [9] исследуется задача оптимизации ИП по критерию «mean-variance» с учетом квадратичных транзакционных издержек и ограничений. Для решения задачи используется метод управления с прогнозирующей моделью (Model Predictive Control). В данной работе рассматривается динамическая задача управления ИП на финансовом рынке с переключением режимов с учетом явных ограничений на объемы вложений и займов и транзакционных издержек. Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения со скользящим горизонтом инвестирования за эталонным портфелем, имеющим заданную доходность. Предполагается, что параметры финансовых активов изменяются в соответствии с эволюцией дискретной скрытой марковской цепи. Для оценки параметров используется адаптивный EM-алгоритм, предложенный в работе [10]. Представлены результаты численного моделирования с использованием реальных данных российского фондового рынка. 1. Описание модели ИП и определение оптимальной стратегии управления Рассмотрим ИП, состоящий из n рисковых вложений и безрискового финансового актива (например, банковский счет или надежные облигации). Допускаются также возможность займа по безрисковой ставке и участие в операциях «продажи без покрытия». Управление портфелем осуществляется путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций посредством банковского счета [11]. Пусть Xi(k) (i = 1,n) - объем вложений в i-й рисковый актив в момент времени k; Xn+i(k) > 0 -объем вложений в безрисковый актив; u+ (к) > 0 - объем капитала, переведенного с банковского счета в i-й рисковый актив в k-м периоде; u- (k) > 0 - объем капитала, переведенного с i-го рискового актива на банковский счет. Если Xi(k) < 0 (i = 1,n), то это означает участие в операции «продажа без покрытия» на сумму |xi(k)|. Допускается также возможность займа по безрисковой ставке. Объем займа безрискового актива равен хп+2 (к) > 0 ; v(k) - объем заемного капитала, перераспределяемого между банковским и кредитным счетами в k-м периоде: v(k) > 0 означает заем в размере v(k), v(k) < 0 означает возврат кредита в размере |v(k)|; r\\(k +1) - ставка доходности безрискового актива за период (k,k + 1], Г2 (k + 1) - ставка займа безрискового актива за период (k,k + 1], ri(k + 1) < ri(k + 1). Динамика вложений в рисковый актив i-го вида Xi(k) (i = 1, n) удовлетворяет уравнению Xi (к +1) = [1 + ц (к +1)] [ xi (к) + u+ (к) - u- (к)], (1) где ц (к +1) - ставка доходности i-го рисково актива за период времени [k, k + 1], определяемая по формуле ц (к +1) = (Z, (к +1) - Zi (к)) / Zi (к), Zi(k) - рыночная цена i-го рискового актива в момент времени k (наблюдаемая величина). Предполагается, что транзакционные издержки при покупке и продаже рисковых активов удерживаются из банковского счета (безрискового вложения), динамика которого имеет вид: хп+1 (к +1) = [1 + r (к +1)] [ хп+1 (к) + v(h) - (1 + Х+) Z u+(к) + (1 - Х~) £ u-(к)], (2) ;=1 ;=1 где Х+ - доля капитала u+ (к), идущая на уплату транзакционных издержек при покупке рискового актива i-го вида, а ^- - доля капитала u- (к), идущая на уплату издержек при продаже рискового актива i-го вида. Динамика кредитного счета описывается уравнением хп+2(к +1) = [1 + + (к +1)]++) + ++)]. (3) Поскольку x„+1(k+1) > 0, хп+2(к +1) > 0, то справедливы неравенства Xn+1 (к) + v^) - (1 + Х+ ) £ u+(к) + (1 - АТ ) £ u- (к) > 0, (4) i ;=1 Хп+2(к) + v(h) > 0. (5) Будем полагать, что объем операций «продажа без покрытия» по активу i-го вида ограничен величиной di(k) > 0, следовательно, справедливо неравенство: х, (к) + u+ (к) - u-(к) > -di (к), (i = 1, п), (6) если «продажи без покрытия» запрещены, то d(k) = 0. Объем заемных средств также ограничен величиной d0(k) > 0, следовательно, хп+2(к) + v2) < d0(k). (7) Величины di(k) (i = 0, . _, n) часто зависят от величины общего капитала ИП V(k), что можно учесть, положив d; (к) = уV(к), где уt > 0 - постоянный коэффициент. Капитал инвестиционного портфеля V(k) описывается уравнением п+1 V(к) = £ х, (к) - хп+2 (к). (8) i=1 Будем полагать, что эволюция доходностей рисковых активов n(k) (i = 1, ..., n) описывается разностной аппроксимацией уравнений геометрического (экономического) броуновского движения с параметрами, зависящими от состояния цепи Маркова [1, 7]: П Ц, [0(k),k] = ц, [0(k),k] + S v,j [0(k), k fa (k), (9) j=i где jXi[9(k), k] - ожидаемая доходность i-го рискового вложения; o[9(k), k] = {ay[9(k),k]}y=1, ,n - матрица волатильностей; {wj(k); k = 0, 1, ...; j = 1, ..., n} - независимые между собой дискретные белые шумы с нулевым средним и единичной дисперсией; 0(k) = [5(a(k), 1), ., 5(a(k),v)]T, 5(a(k)j) - функция Кронекера (j = 1, 2, ..., v); a(k) - однородная дискретная цепь Маркова, принимающая значения из конечного множества {1, 2, ., v}, с матрицей переходных вероятностей P = [Pj],(,, j’e{1,2,...,v}) ,Pj, = P{a(k+1)=j\\a(k)=,}, S P, = 1, j=1 и начальным распределением p, = P{a(Q)=i},i = 1, v, S p, = 1. i=1 Последовательности wj(k) и a(k) независимы. Марковская цепь a(k) определяет состояние (режим) рынка, например рынок в состоянии высокой или низкой волатильности. Ожидаемые доходности и волатильности принимают одно из возможных значений из заданного набора в зависимости от состояния цепи Маркова: Ц[0(k),k] е{ц,(1),...,^(v}},a[0(k),k] e{a(1),...,c(v}},a(l) = {а„(l}}, (i, j = 1,n), (l = 1,v). С учетом (9), уравнение (1) примет вид: П (k +1) = [1 + ц, [0(k +1), k +1]+ S a, [0(k +1),k + 1]w;. (k +1)][(k) + u+ (k) - u- (k)]. (10) j=1 Введем обозначения: x(k) = [ x1(k), x2(k),..., xn+2(k)]T - вектор, определяющий состояние портвектор управляющих феля в момент времени k; u(k) = ^v(k) u+ (k) ... u+ (k) u1 (k) ... un (k)] переменных. Тогда с учетом (2), (3), (10), эволюция капитала ИП может быть представлена в виде разностного уравнения [7]: (11) x(k +1) = [ ^[0(k +1), k +1] + S Aj [0(k +1), k + 1]w, (k +1)] x(k) - , =1 П ,=1 +[BQ [0(k +1),k +1] + S Bj [0(k +1),k +1]Wj (k +1)]u(k), где AQ[0(k), k] = diag {M0(k), k],1 + /1(k),1 + ^(k)}, A, [0(k), k] = diag^j [0(k), k],..., [0(k), k],0,0}, Bo[0(k), k ] = -t Qn bo[0(k), k ] -bo[0(k), k ] 1 + r1(k) -(1+ Я+ )b1(k) (1-Я- )b1(k) 1 + r2 (k) Qn Qn Qn bj [0(k), k] -bj [0(k), k] b, [0(k), k ] = Q Qn Qn Q Qn Qn bQ [0(k), k] = diag {1 + ц [0(k),k],...,1 + [0(k), k]}, b 1 (k) = [1 + n (k)]1n, bJ [0(k)k] = diag{°1j [0(k)k],...,°nj [0(k)^ j =1,П, °«= [Q,.. ,Q]n, 1n = [1, . ,1]n. Ограниченияu + (k) > 0, ut (k) > 0 и (4)-(7) могут быть записаны в матричном виде: (12) D(k) < S (k )u(k), где S (k) = -T 0 n In 0 n “ -T 0n -T 0n 0n In -T 0n - T 0n In - In , D(k) = X (k) 1 -(1 + ^+ )1n (1 -X" )1n - xn+1(k ) 1 0n 0n - xn+2(k ) -1 0n 0n _ _xn+2(k) - d0(k)_ X = - x (k) - d (k) - x„(k) - d„ (k) Будем определять стратегию управления ИП путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы капитал реального портфеля с минимально возможными отклонениями следовал капиталу некоторого определяемого инвестором эталонного портфеля с желаемой доходностью цо, эволюция которого описывается уравнением V0 (k +1) = [1 + Цо ]V0 (k), V0 (0) = V (0). (13) Критерий качества управления со скользящим горизонтом инвестирования имеет вид: J(k + m | k) = 2 E |p1 (k + i) V(k + i | k) - V0 (k + i) i=1 1 L -p2(k + i) V(k + i | k) - V°(k + i) + uT(k + i -1| k)R(k + i - 1)u(k + i -1| k) 12 (14) V (k ), 0(k )}, где m - горизонт прогноза, k - текущий момент времени; V(k + i | k) = cx(k + i | k), c = [1,...,1,- 1]n+2, -прогнозное значение капитала ИП согласно уравнению динамики (11); u(k + i\\k) = = [v(k + i\\k), ui+(k + i\\k), ._, Un+(k + i\\k), U1~(k + i\\k), ._, Un-(k + i\\k)]T - вектор прогнозирующих управлений; p1(k + i) > 0, p2(k + i) > 0 - весовые коэффициенты (скалярные величины); R(k + i) > 0 - положительно определенная симметричная матрица размерности (2n + 1) я (2n + 1). Критерий (14) может быть записан в виде: m J(k + m | k) = ^ E {xT (k + i) R (k + i)x(k + i) i=1 (15) R (k + i)x(k + i) + uT (k + i -11 k)R(k + i -1)u(k + i -11 k)| x(k), 0(k)| гдеR(k + i) = cTc и R(k + i) = [2p(k + i)V0(k + i) + p2(k + i)]c. Решение данной задачи управления ИП дается следующей теоремой. Теорема. Пусть капитал ИП описывается уравнением (11) при ограничениях (12). Стратегия прогнозирующего управления u(k + i\\k) (i = 0, 1, ..., m - 1) со скользящим горизонтом m, минимизирующая критерий (15), при ограничениях (12) на каждом шаге k определяется уравнением )(k+1+1))т...(4г-Чк+s-1))T h =1 it+1 =1 Zs-1=1 xi i (Aj)(k + s))TQ(i's)(k)Sj)(k + s),s >t, j=0 i.=1V j Hts (k) = (Hst(k))T, S < k Gt (k) =i i... i (A(i1)(k+1))...(Ait-1)(k+1-1)) i i(Ajt)(k+1)) q^...*)(k)B't)(k+1), i1 =1 t t ’ V ’ j=0 t ’ Ft(k) =i ф)(k)B0i')(k +1). i,=1 Последовательности матриц Qlt ’"',ls \\k),Q(t ’."’ls )(k), (s, t = 1,m) определяется уравнениями: Q(it^..^s)(k) = ©(it^..,is)(k)R(k + s) +i i (A(i(k + s +1)) Q1 *+1 (k)Ail)(k + s +1),t = 1,m - 2,t

Скачать электронную версию публикации