Проведено исследование системы разностно-дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют ожидаемые доходы открытых марковских сетей массового обслуживания с различными особенностями. Число состояний сети в этом случае и число уравнений в данной системе бесконечны. Потоки поступающих в сеть заявок являются простейшими и независимыми, времена обслуживания заявок распределены по экспоненциальным законам. Доходы от переходов между состояниями сети являются детерминированными функциями, зависящими от ее состояния и времени, а доходы систем в единицу времени, когда они не меняют своих состояний, зависят только от этих состояний. Для нахождения ожидаемых доходов систем сети предложен модифицированный метод последовательных приближений, совмещенный с методом рядов.
Analysis of expected revenues in open Markov networks with various features.pdf Сети массового обслуживания (СеМО) с доходами в нестационарном режиме изучались в работе [1]. Заявка при переходе из одной СМО в другую приносит последней некоторый доход, а доход первой СМО уменьшается на эту величину. При этом доходы от переходов между состояниями сетей зависели от их состояний и времени или являлись случайными величинами (СВ) с заданными моментами первого и второго порядков. В статьях [1-3] приведены результаты по анализу, оптимизации и выбору оптимальных стратегий управления в марковских сетях с доходами, описаны различные применения их в качестве стохастических моделей прогнозирования ожидаемых доходов в информационно-телекоммуникационных системах и сетях (ИТСС), в страховых компаниях, логистических транспортных системах, производственных системах и других объектах. Как известно, функционирование любой марковской СеМО можно описать при помощи цепей Маркова с непрерывным временем и, как правило, с большим или счетным числом состояний. В простейшем случае марковские цепи с небольшим числом состояний и доходами от переходов между состояниями, являющимися константами, были рассмотрены в монографии [4]. Следует отметить, что марковские сети с положительными и отрицательными заявками были исследованы E. Gelenbe в статьях [5-9] как модели поведения компьютерных вирусов в ИТСС и называются ныне G-сетями. Нахождение нестационарных вероятностей состояний марковской G-сети с сигналами и групповым удалением заявок модифицированным методом последовательных приближений, совмещенным с методом рядов, изложено в [10]. В последние годы большое внимание было уделено исследованию марковских сетей с доходами и различными особенностями: c ограниченным временем ожидания заявок и ненадежными СМО [11]. В [12] рассматривалась марковская G-сеть с доходами в случае, когда доходы от переходов между состояниями могут зависеть от ее состояний и времени. Для сети, допускающей мультипликативное представление для совместного стационарного распределения вероятностей состояний, для ожидаемых доходов систем сети выведена система разностно-дифференциальных уравнений (РДУ), для решения которой также предложено использовать метод последовательных приближений, совмещенный с методом рядов. В данной статье эти результаты обобщены на случай других марковских сетей с заявками многих классов. Марковские СеМО являются математическими моделями различных реальных объектов, которые обычно функционируют на каком-то конечном промежутке времени, например [0; T]. Требуется найти ожидаемые (средние) доходы систем сети, полученные модифицированным методом последовательных приближений, совмещенным с методом рядов, для марковских сетей с различными особенностями. 1. Система РДУ для ожидаемых доходов На основании ранее полученных результатов [2, 10-12] было замечено, что в общем случае систему РДУ для ожидаемых доходов открытой марковской сети, в которой могут присутствовать положительные и отрицательные заявки и сигналы различных классов, системы обслуживания могут подвергаться поломкам, заявки могут быть «нетерпеливыми» и с иными различными особенностями, можно записать в общем случае в виде: dv{d,k,l dt ■ = -Л i 9j =0 a,p, Y,0,r|=O m=0 6=0 xf[d +/.-I*,k +Ia+mlp-bly,l +/e-V) + £(«W): (1) где Ia - вектор размерности Тг, состоящий из нулей, за исключением компоненты с номером а, которая равна 1, Тг - некоторое целое положительное число, r - число типов заявок, Iа - вектор размерности п, состоящий из нулей, за исключением компоненты с номером а, которая равна 1, Iic -вектор размерности nr, состоящий из нулей, за исключением компоненты с номером (i - 1)r + c, которая равна 1, d - вектор размерности п с компонентами di, где di - количество исправных линий обслуживания в i-й СМО, к - вектор размерности Тг с компонентами kc, где kic - количество положительных заявок типа с в /-той СМО, / - вектор размерности Тг с компонентами /гс, где /гс -количество сигналов типа с в /-й СМО, / = \\.п. с = \\,г. Здесь V1 (ti.k.l j'j = = {vl{d,kjd^,v2{d,kj,t'^,...,vn{d,k,l,t^, где v; (d, £,f) - ожидаемый (средний) доход, который получает /-я СМО за время /. если в начальный момент времени сеть находится в состоянии (d,k,l ). A{d,kJ^j, {ckk,fy li(d,kj) - некоторые функции, различные для каждой сети обслужи вания, Е , Ёт (d,kj) = [Е, (d,k,l),E2 (d,k,T),..., Еп (d,k,l)) . n Тг СО 1 / \\ Предположим, что ряд £ Z X Z®*- , \\d,k,l ) сходится. Ранее в работах [1, 10-12] ;*, / =1 a,p,y,0,r|=O m=0 b=0 1] wn\\ib'fd^\\ > это было доказано для конкретных марковских сетей. Из системы (1) следует: V (d, к, /, t) = e _Л^,к ,/ ^ f V (d, к, / ,о)+ J e^d ,к ,/ ^ х о П ПГ со 1 / П ~ 1 X Е ЕЕ ^/*у*сш?р6у0г| ') Е Е ЕЕ ^/*у*а/ир6у9г| ) ' \\д* ,j*=\\ ol,р,у,0,т|=О m-0 6=0 ,_/*=! аДуДг|=0 m-0 6=0 :с(йГ + /, -If,к +Ia + mlp -Ыу,1 +1в-1ц,х + E(dJ к, [) 1 - e-Ad,kl) + Л(d, к, / Обозначим через Vq (d, к, /, t) приближение v{d, к, 6, t) на g-й итерации, а Vq+i(d, к, /, t) - решение системы (1), полученное методом последовательных приближений. Тогда из (2) вытекает, что (- - - \\ { t /- - -\\ ( у> со 1 . . у Z Е ЕЕв^рДО* Vq+l{d,k, d.kj.0^ V о =1 а,[3,уДг|=0 ти=0 6=0 + xF?(^ + /, -I,,k+Ia+mI{.-bI.„7 +/е-/л,х E(d,k,l) г л(«Ш) (3) -е 2. Нахождение ожидаемых доходов методом последовательных приближений Аналогично [10] можно показать, что последовательность ^ (j, k, 1, с/ = 0,1,2,..., построен- (3), при любом ограниченном по t нулевом приближении V0{d,k,l,t^ сходится при q ^ да к единственному решению системы (1), а каждое последовательное приближение с течением времени сходится к стационарному решению системы (1), которое удовлетворяет соотношению ная по схеме п 4V да 1 \\{HJ)v(lw> х Z i J* = 1 a,p,y,6,r]=\\m=Q 6=0 хг(3 + 1г-1/,к+1а+т1/3-Ыг,1+1в-1^ + Ё(3,к,1). (4) Кроме того, справедливо следующее утверждение. Теорема. Любое приближение Vq (d, к, l ,.t) q > 1, представимо в виде сходящегося степенного ряда Vq (d, k, 1, t)= Z g +1 (d, k, kУ , (5) )=Z; l=0 коэффициенты которого удовлетворяют рекуррентным соотношениям :+- (d,к,1 )= 1 )г \\f(d,к,k,о)+ Z (, G+-(d,к,1)[,l > 0, /! [ u=°A\\d,k,l Jr gq+1l g+o (d,k,l} = v[d,k,l,o), gh(d,k,l^ = v{d,k,l,QYi t(d,k,l) (6) n Tr да 1 G,r(d, k,1 )= Z Z ZZ®,■ ; ,y =1аДуДт|=0»7=0 6=0 -I,,k+L +mla -bL,J j amp6y0r| * £,/(,k + Ia +mlp - bly,f +/е-/л). Доказательство. Докажем, что коэффициенты степенного ряда (5) удовлетворяют рекуррентным соотношениям (6). Подставим последовательные приближения (6) в (3). Тогда, учитывая, что (V(d, k, Г,о) + 2 G+- (d, k, I) -ll+1 l=0 l=0 Поменяв местами индексы суммирования и разлагая e - A(d, k 2 g +-(d, k, l )tl = 2 A(d, k, l) l! 2 [-a(&, k,1) u =l+i u! -tu. a() + к„, +1 + Z Z I-1™/ РтнЛгса.^ {kdh ) ^ + 4/ + 4 “ 4р , ') + т,а=1! ,р=1 Zm к„/ + 1 Pmldh 4dhicU (kdh ) ГтЛ (k + И r к + 1 кт/ + 1 , t). Z Z I ml +Idh he + Z/=1 кт/ + 1 m,d =1 /,h=1 Заключение Проведено исследование в нестационарном режиме открытых марковских СеМО с различными особенностями. Рассмотрена обобщенная система РДУ для ожидаемых доходов в системах сети, состоящая из счетного числа таких уравнений. Когда доходы от переходов между состояниями сети зависят только от ее состояний, для решения системы предложено применить метод последовательных приближений, совмещенный с методом рядов. Исследованы свойства последовательных приближений.
Маталыцкий М.А., Науменко В.В. Стохастические сети с нестандартными перемещениями заявок. Гродно : Гродненский гос. ун-т, 2016. 347 с.
Статкевич С.Э. Анализ HM-сети с ненадёжными системами обслуживания и случайными доходами от переходов между её состояниями // Вестник Гродненского государственного университета. Сер. 2. 2010. № 3. С. 40-52.
Matalytski M. Finding non-stationary state probability of G-networks with signal and customers batch removal // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2017. V. 31, No. 4. P. 346-412.
Fourneaua J.M., Gelenbe E., Surosc R. G-networks with multiple classes of negative and positive customers // Theoretical Com puter Science. 1996. V. 155, is. 1. P. 141-156.
Gelenbe E. G-Networks: Multiple Classes of Positive Customers, Signals, and Product Form // Results Performance Evaluation of Complex Systems: Techniques and Tools. Springer, 2002. P. 1-16. (Lecture Notes in Computer Science. V. 2459)
Gelenbe E. G-networks with signals and batch removal // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 1993. V. 7. P. 335-342.
Gelenbe E., Labed A. G-networks with multiple classes of signals and positive customers // European J. of Operational Research. 1998. V. 108. P. 293-305.
Gelenbe E. Product form queueing networks with negative and positive customers // J. of Applied Probability. 1991. V. 28. P. 656-663.
Ховард Р. Динамическое программирование и марковские процессы. М. : Сов. радио, 1964. 109 с.
Gelenbe E. G-networks: a unifying model for neural and queueing networks // Annals of Operations Research. 1994. V. 48. P. 433-461.
Паньков А.В. Анализ стохастической модели расходов на содержание гибкого вычислительного кластера // Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей : материалы 20-й междунар. науч. конф., Минск, 26-29 янв. 2009 г. / ред. А.Н. Дудин [и др.]. Минск : РИВШ, 2009. Вып. 20. С. 184-188.
Маталыцкий М.А. О некоторых результатах анализа и оптимизации марковских сетей с доходами и их применении // Автоматика и телемеханика. 2009. № 10. P. 97-113.
Вы можете добавить статью