Estimation of present value of n-year life annuity for endowment insurance.pdf Суть смешанного страхования жизни, или и-летнего страхования на дожитие, заключается в следующем. Человек заключает договор страхования на и лет. Выплата по договору производится либо в момент смерти застрахованного бенефициарию, если застрахованный умер в течение и лет, либо в момент окончания срока действия договора, если застрахованный дожил до конца этого срока. Этот вид договора выполняет функции как страхования, так и накопления средств, тем самым являясь наиболее привлекательным для клиента. В страховую компанию обращаются люди, достигшие определенного возраста х лет, поэтому все случайные события (страховые случаи), связанные с этим человеком, имеют условный характер. Для человека в возрасте х лет целесообразнее использовать не продолжительность жизни X, а остаточное время жизни Т(х) = X - х. Согласно [1-3] остаточное время жизни Т(х) имеет функцию распределения f, ()=р(г (х) n, (1) z = ■ -Sn где 5 обозначает банковскую процентную ставку. В данном случае величина z, определяемая выражением (1), показывает настоящую долю будущей страховой выплаты, принимаемой за условную единицу. Чем больше срок страхования, тем меньше выплаты застрахованного за счет использования банковской процентной ставки. В качестве и-летней пожизненной ренты для смешанного страхования по аналогии с [3] и формулами (1) и (2) из статьи [4] получаем e SnS(х + n) S (x) 1 n 1--J e b f (х +1)dt - S (х) о (2) a - = x:n I S С помощью замены переменных преобразуем интеграл в (2): n „ x+n j e~uf (x +1)dt = eSx J e~5tdF(t) = Ф (x, 5), x 0 J e udF(t) = Jn (x, 5). x Тогда формула (2) принимает вид f 5х 1 -£-7Y5tdF (t) - --~S (x + n)' 1 (3) (4) а -| = - x:n | e О S (x) S (x) V или X\\ Фп (x, S) e S (x + n) 1 а = x:n I S (x) S(x) J J Далее будут использоваться как формула (3), так и формула (4). 1. Синтез оценки Пусть имеется случайная выборка X,..., XN продолжительности жизни X, по которой необходимо оценить ренту (3). Воспользуемся вместо неизвестных F(x) и 5”(x) их непараметрическими оценками: эмпириче- 1 N 1 N скими функциями распределения FN (x) = - 21(X - x) и выживания SN (x) = - 21(Xi > x), где N i=1 N i=1 I(A) - индикатор события А. Подставив X (x) и X (x) в выражения для смешанной ренты (3) или (4), получим следующую оценку подстановки: n e SnX (x + n)^ 2 exp(-§X )I(x < X - (x + n)) + ( ( Sx -N _ ^ ax:n| = 2 О 1 - SN (x) • Nl=1 Sn snN x) NJ ( ^ Ф n, n (x, S) e-&nSN (x + n) ++ V V SN (5) Г fe&xJ„N n (x, S) e-SnSN (x + п)ЛЛ -:-+--- 1- 1- SN (x) J у Sn (x) Sn (x) Sn (x) V N V JJ V Отметим, что в оценке (5) вместо эмпирических функций X (x) и X (x) можно воспользоваться их гладкими модификациями [5-19]. 2. Свойства оценки я-летней ренты Найдем сначала главную часть асимптотической среднеквадратической ошибки (СКО) и порядок смещения оценки (5). Для этого нам понадобится теорема 1 из [20], которую ниже сформулируем в виде леммы. Введем следующие обозначения согласно [20]: X = (х, X,..., X ) - 5-мерная векторная ста тистика с компонентами X = X(x) = X(x;X,...,Xv), j = 1,s, x e Ra, Ra - a-мерное евклидово пространство. Пусть |Х} - последовательность положительных чисел, таких что lim X = ; функция H(t):Rs ^R1, где t = t(x) = (tj(x),...,ts(x))T является 5-мерной ограниченной вектор-функцией; Х(ц; о) есть 5-мерная нормально распределенная случайная величина c вектором средних р = ц(х) = dH (z) dz,. = (р,...р)Т и ковариационной матрицей о = о(х); VH(t) = (H(t),...,Hs(t))Т, где H.(t) = j = 1, s; ^ - символ сходимости по распределению; || x || - евклидова норма вектора х; ^ - множество натуральных чисел. Определение 1. Функция H (t): Rs ^ R1 и последовательность {И(tN)} принадлежат классу Nv, (t; y), если: 1) существует е-окрестность о = {z :| -tt \\< е, i = 1,s|, в которой функция И (z) и все ее частные производные вплоть до порядка v непрерывны и ограничены; 2) для всевозможных значений величин Хг,...,XN последовательность \\H(tN)} мажорируется числовой последовательностью C0dY, такой что dN t да при N ^да, 0 < у < да. Лемма. Пусть: 1) И(z), [H(tN)}e N^ (t; у); 2) E ||t^ -1\\ = O (d-12 ), i e% Тогда для любых к еЭД E [ И (tN) - И (t )f - E [VH (t) • (tN -1 )f | = о ( dNk+1)/2). При к = 1 получаем главную часть смещения оценки И (tn), а при к = 2 - ее СКО. Теорема 1. Если S(х) > 0, S(x + n) > 0, S(t) - непрерывна в точках х и х + п, то 1) для смещения оценки ренты (5) выполняется следующее соотношение: -ax:n|| = 0 (N-) ; 2) СКО оценки (5) задается выражением 2(-N\\ „(-N - \\2 а( ^«1) /лг-3/2\\ U ( ax:n|) = Е (ax:n|- ax:n|) = ~+ 0 (N ) , где ст(ах-|) определяется по формуле (8). Доказательство. Для оценки аNn в обозначениях леммы имеем: (6) Е\\ах.пГ а.,.^ | = . (7) И (t) = (t1N , t2 N , t3N ) = (Ф = N; II |_JH. H f tj + e“S% Л 1 1 1 V t2 J S ^ Ф„ (x, S) + e SnS(x + n) n,N 1 - T n JN V-V? N ' T n n 1 ■ 1--1-- =- S (x) Фn,N (X, S) + e S"SN (x + n) ^ SN ( x) -N = а -,. x:n| H (tN ) = T -Sn Л -Sn r 1 Фп (x, S) - e S (x + n) e VH (t) = ( H1(t), H2(t), H3(t) )T = SS 2( x) 8 S (x) 5 S (x) Последовательность {H(tN)} удовлетворяет условию 1 леммы с константами C0 = -(1 + e Sn ) Y = 0. Действительно, Функция H(t) удовлетворяет условию 1, так как t2 = S(x) > 0. Также эта функция удовлетворяет условию 2 согласно лемме 3.1 [21], так как для всех i еЭД выполняются следующие неравенства: E {ei5xe_i5XI1 (x < X < (x + n)jj < ei5xe~i5x [S(x) - S(x + n)] = S(x) - S(x + n) < 1, E{Ii (X > x)} = S(x) < 1, E {I (X > (x + n))} = S(x + n) < 1 Отметим, что X (x) является несмещенной оценкой S(x), а Jn N (x, 5) - несмещенной оценкой функционала Jn (x, 5). Известно, что отношение двух несмещенных оценок может иметь смещение. Нахождение смещения отношения, как правило, является сложной задачей и требует использования результатов работы [20]. Найдем порядок смещения оценки. Так как E(tN -1) = 0, то E (- N j - E N(t)(N -1)] = \\e («xNi - Xni j = о (N-1 j. Для оценки J (5) вычислим дисперсию: DJnN (x, 5) = D J -21 (x < X < (x + n))e 5 = = -=■ 2 d{i (x < Xi < (x + n))e ’ N i=1 I 1 1=11 1 = - (JI(x < X < (x + n))e-2SXi dF(X) - J2 (x, 5) j = - (Jn (x, 25) - J\\ (x, 5) j. N\\о ) Nv 7 5x Теперь, учитывая что ф (x, 5) = e Jn (x, 5), найдем компоненты ковариационной матрицы трехмерной статистики tN : стп = ND^n,n (x, S)} = Фп (x,2S)-Фп (x, S); Q22 = ND{Sn (x)} = S (x)(1 - S(x)); ct33 = ND{Sn (x + n)} = S (x + n)(1 - S (x + n)); c12 = ct21 = N cov (SN (x), Фп^ (x, S) j = = N ( E{Sn (x) • Фп n (x, S)} - E{Sn (x), (x, S)}j = (1 - S (x), (x, S); ct13 =ct31 = N cov (Sn (x + n), Фп,n (x, S) j = = N ( E{Sn (x + п)Фп, (x, S)} - E{Sn (x + п)}Е{Фп, (x, S)}j = (1 - S (x + n), (x, S); a23 = a32 = N cov (SN (x), SN (x + n)j = (1 - S(x))S (x + n). Используя предыдущий результат о смещении и найденную ковариационную матрицу, получаем СКО оценки: Л фп N (,,,) + e SnSN (x + N -Snc Ф„;N (x,S + e NN (n + n) S^(X) \\Н (tN )|= \\ 1 - <

Скачать электронную версию публикации