Stationary distribution in the system |M|M|1|? with the staying intensity of the input flow.pdf Моделям массового обслуживания в случайной среде посвящено большое количество работ, затрагивающих как теоретические, так и прикладные аспекты (см., напр.: [1-7]). В этих работах основное внимание уделяется вычислению и анализу стационарных распределений, не зависящих от начального состояния. Однако появляются и другие модели, в которых случайный процесс, определяющий состояние среды, развивается на отрезке с отражающими и поглощающими концами (см., напр.: [8]). Стационарное распределение таких процессов уже зависит от начального состояния. В настоящей работе рассматривается наиболее простой вариант подобной модели случайной среды с помещенной в нее системой массового обслуживания. Вычисляется стационарное распределение системы массового обслуживания в такой случайной среде и исследуется ее зависимость от начального состояния. Показывается, что подобная модель случайной среды идентична модели разорения игрока, а ее исследование сводится к решению дискретного аналога задачи Дирихле [9. Гл. II, § 2-7] и использованию известных формул для стационарных распределений числа заявок в системе обслуживания с постоянной интенсивностью входного потока. 1. Постановка задачи Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания M | M |1| да с бесконечным числом мест ожидания и интенсивностью обслуживания р. Случайный поцесс 'k(t), характеризующий интенсивность входного потока, задается марковской цепью zk, к = 0,1,..., с множеством состояний {0,...,М}. Марковская цепь zk, £ = 0,1,..., описывает игру на разорение игрока [10. Гл. I, § 9]) и определяет кусочно-постоянный случайный процесс z(t) = zk, к < t < к +1, к = 0,1,... Случайный процесс A,(t) = Л(z(t))>0, t > 0, с множеством состояний {Л(0),...,Л(N)} является марковским, Л(/) ф Л( j), i ф j. Система массового обслуживания M | M |1| да с так определенной интенсивностью входного потока X(t) будет обозначаться M. Рассмотрим марковский процесс (z(t), к(t)), t > 0, характеризующий случайную интенсивность входного потока и случайное число заявок в системе М в момент времени t. Далее предполагаем, что выполняются неравенства Л(0) < ц,...,Л(N) < ц. (1) Нашей задачей является вычисление стационарного распределения второй компоненты к(t) этого процесса. Очевидно, что стационарное распределение марковской цепи zk, к = 0,1,..., зависит от начального состояния z0. На первый взгляд, эта зависимость затрудняет решение поставленной задачи. Однако аналогия марковской цепи zk, к = 0,1,..., с процессом, описывающим игру на разорение игрока, позволяет, наоборот, существенно упростить вычисление стационарного распределения процесса в системе M. Решение данной задачи может быть сведено к решению дискретного аналога уравнения Дирихле и к использованию известных формул для стацинарного распределения процесса обслуживания в системе с постоянной интенсивностью входного потока. 2. Стационарное распределение марковской цепи zk Рассмотрим марковскую цепь z^, к = 0,1,..., с множеством состояний {0,1,..., N}, с ненулевыми элементами матрицы 0 =|| 6, j ||N =0 переходных вероятностей ем+1 =Р, 0M-1 =q, i = е0;0 =0^=1, 0

Скачать электронную версию публикации