Robust control of discrete-time queuing system.pdf Управляемые системы массового обслуживания являются объектом исследования в течение нескольких десятилетий [1-4]. В последние годы появились новые задачи управления системами с очередями, связанные с предотвращением перегрузок в компьютерных сетях. При решении этих задач нашли применение методы теории автоматического управления. Например, в системах с активным управлением очередью TCP-пакетов применяется управление в виде ПИ и ПИД регуляторов [5-8], управление, оптимальное по критерию Hт [9].Управление в этих системах осуществляется отклонением поступающих пакетов. Пакеты отклоняются с некоторой вероятностью, значение которой определяется системой управления. Данная работа является продолжением работы [10], в которой было предложено решение задачи управления состоянием непрерывной системы массового обслуживания с применением пропорционально-интегральной обратной связи. Описанный в ней подход распространяется на случай дискретных по времени марковских систем обслуживания. Под состоянием системы понимается число заявок в системе в текущий момент времени. Задача управления заключается в поддержании заданного среднего значения числа заявок в системе. Управление, как и в компьютерных сетях с активным управлением очередью TCP-пакетов, осуществляется отклонением поступающих заявок. Вероятность отклонения заявок рассчитывается в процессе функционирования системы. Предполагается, что вероятность поступления заявки, вероятность завершения обработки заявки неизвестны и могут меняться в процессе функционирования системы. Предполагается также, что система функционирует в условиях перегрузки, когда вероятность поступления заявки больше вероятности завершения обработки заявки. В работе проведен анализ асимптотической устойчивости и робастности системы с управлением в виде обратной связи. Приведены результаты моделирования системы с управлением. 1. Математическая модель объекта управления Введем обозначения: v - вероятность поступления заявки; w - вероятность завершения обработки заявки; u(k)- вероятность отклонения заявки; n - допустимое число заявок в системе; pi(k) -вероятность нахождения системы в состоянии i = 0,1,...,n в момент времени k = 0,1,2,.... Будем считать, что значения v и w неизвестны и могут меняться в процессе функционирования системы. Будем также считать, что система функционирует в условиях перегрузки: v > w . Среднее значение числа заявок в системе в момент времени k равно y(k) = £ip, (k). i=1 Задача управления заключается в обеспечении заданного среднего значения числа заявок y(k) = y , 0 < y < n . Объект управления является конечной цепью Маркова и может быть описан системой уравнений Колмогорова [11]: p(k +1) = Ap(k) + Bp(k )u(k), y(k) = cp(k), ep(k) = 1, (1) где p(k) = 1 - v a1 0 . . 0 0 0 p0(k) v a0 ax . . 0 0 0 ft(k) , a = 0 a2 a0 • . 0 0 0 pn-1(k ) 0 0 0 . • a0 a1 0 . pn (k) 0 0 0 . a2 a0 w 0 0 0 . . 0 a2 1 - w a0 = (1 - v)(1 - w) + vw , a1 = (1 - v)w , a2 = v(1 - w) v b1 0 .. 0 0 0 -v b0 b .. 0 0 0 0 b2 b „ 0 0 0 B = , 0 0 0 „ b0 b 0 0 0 0 - b2 b0 0 0 0 0 .. 0 b2 0 b0 = v(1 - w ) - vw , b = vw, b2 = - v(1 - w) , c = [0 1 2 ... n], e = [1 1 .. 1]. Задача синтеза управления в виде обратной связи по выходу для системы (1) является сложной математической задачей, поскольку это билинейная система высокого порядка с неизвестными пара метрами. Покажем, что можно перейти к более простому описанию объекта управления в виде разностного уравнения первого порядка с неопределенным параметром и возмущением. Справедливы равенства cA = [v 1 + v - w 2+v -w . n-1+ v - w n - w], oB = [-v -v . -v 0]. Следовательно, y(k + 1) = cAp(k) + c(Bp(k ))u(k) = = y(k) - v(1 - pn(k))u(k) + v(1 - pn(k)) - w(1 - p0(k)). Таким образом, динамика среднего числа заявок в системе описывается уравнением y(k +1) = y(k) + au(k) + b, (2) где a = -v(1 - pn (k)), b = v(1 - pn (k)) - w (1 - p0(k)). Уравнение (2) будем рассматривать как уравнение системы с неопределенным параметром a и неконтролируемым внешним возмущением b. 2. Алгоритм управления Управление для системы (2) будем строить в виде пропорционально-интегральной обратной связи u(k) = kp y(k) + k,s(k), s(k +1) = s(k) + y(k), (3) y(k) - У где y(k) =-=--относительное отклонение среднего значения числа заявок в системе от задан- У ного значения y , kp, kt - коэффициенты обратной связи. Замкнутая обратной связью система описывается уравнениями y(k +1) = a , 1 + -kp У У У Характеристический полином замкнутой системы равен Д(z) = z2 + d1z + d2 , d1 =-akp -2, d2 = a(kp -k,) + 1. (5) У У Система (4) является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда корни характеристического полинома (5) лежат внутри круга единичного радиуса |z| < 1. Заметим, что из асимптотической устойчивости системы (4) следует lim y(k) = 0 , lim y(k) = y, k-У^О k- что и требуется для решения задачи управления состоянием системы (1). Запишем условия асимптотической устойчивости в параметрическом виде. Известно [12], что корни полинома второго порядка лежат внутри круга единичного радиуса тогда и только тогда, когда 1 + d1 + d2 > 0, 1-d2 > 0, 1-d1 + d2 > 0. (6) Из неравенств (6) получим условия, накладываемые на коэффициенты обратной связи: a a a a -" k, > 0, -" (kp - k,) > 0, 4 + 2=kp ~ k, > 0. (7) У У У У Для параметра a справедливо неравенство -1 < a < 0 . Следовательно, неравенства (7) выполняются тогда и только тогда, когда kp > k, > 0. (8) Условие (8) есть необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости системы (4). Заметим, что условие (8) не зависит от параметров объекта управления v, w, n. Следовательно, система с обратной связью обладает свойством робастности. 3. Пример Расчеты и имитационное моделирование проводились для систем с параметрами v = 0,5; w = 0,3; n = 400, v = 0,7;w = 0,5 ;n = 300 . Пусть желаемое среднее значение числа заявок в системе y = 200 . Зададим коэффициенты обратной связи равными kp = 30 , kt = 0,1 . Сначала решим систему уравнений расширенной замкнутой системы. Эта система уравнений состоит из системы уравнений Колмогорова (1) и уравнений обратной связи (3). На рис. 1, 2 показаны график среднего значения числа заявок в системе и график управления. Расчеты проводились при начальных условиях: pi(0) = 0, i = 0,1,2,...,n , i ^ 221, p22i(0) = 1, s(0) = 0 . Затем выполним имитационное моделирование. На рис. 3, 4 показаны результаты моделирования, полученные при начальном числе заявок в системе, равном 221. У(k) + ak,S(k) + b , s(k +1) = s(k) + y(k). (4) О 20 40 60 80 100 120 140 160 180 к 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 к Рис. 1. Среднее значение числа заявок в системе (1), (3) Рис. 2. Управление в системе (1), (3) Fig. 1. Average value of the number of requests in the system (1), (3) Fig. 2. Control in the system (1), (3) Рис. 3. Число заявок в системе: a - v = 0,5;w = 0,3;n = 400; b - v = 0,7;w = 0,5;n = 300 Fig. 3a. The quantity of requests in the system: a - v = 0,5; w = 0,3;n = 400; b - v = 0,7; w = 0,5;n = 300 b Рис. 4. Вероятность отклонения заявки в системе: a - v = 0,5; w = 0,3;n = 400; b - v = 0,7; w = 0,5;n = 300 Fig. 4. Probability of rejection of the request in the system: a - v = 0,5; w = 0,3;n = 400; b - v = 0,7; w = 0,5;n = 300 a При моделировании для оценки среднего числа заявок в системе применялся экспоненциальный фильтр первого порядка y(k +1) = ax(k) + (1 - a)y(k), где x(k)- наблюдаемое число заявок в системе в момент времени k, y(k) - оценка среднего значения числа заявок в системе в момент времени k , a - параметр фильтра. Значение параметра фильтра было выбрано равным 0,7. Результаты расчетов и моделирования подтверждают свойство робастности системы с обратной связью. Заключение В работе решена задача синтеза системы управления в виде пропорционально-интегральной обратной связи для дискретной марковской системы массового обслуживания. Проведен анализ асимптотической устойчивости и робастности системы с обратной связью. Представлены результаты расчетов и моделирования, которые подтверждают возможность применения предложенной системы управления в системах массового обслуживания, функционирующих в условиях перегрузки. Предложенная в работе система управления может быть использована в системах передачи и обработки данных. Например, в компьютерных сетях с активным управлением очередью пакетов.

Скачать электронную версию публикации