Integral and multipoint necessary optimality conditions of quasi-singular controls in one optimal control problem.pdf В работе [1] А.И. Москаленко рассмотрел одну задачу оптимального управления, которая может быть интерпретирована как задача оптимального управления системами с распределенными параметрами. Он доказал ряд необходимых условий оптимальности типа принципа максимума Понтря-гина. В предлагаемой работе аналогичная задача рассматривается в случае выпуклости областей управления. Доказан аналог линеаризованного условия максимума с помощью одного варианта метода приращений, предложенный в [2] и развитый в работах [3-6] и др. Довольно подробно исследуется также случай вырождения линеаризованного принципа максимума. Заметим, что случай вырождения необходимых условий оптимальности первого порядка встречается во многих задачах оптимального управления (см. напр.: [7-11]). 1. Постановка задачи Рассмотрим задачу о минимуме функционала >1 S ( u, v) = ф( y ( x1)) +1G ( x, z (>1, x)) dx (1) при ограничениях u(>)eu сR, >eT = [>0,>1 ], / \\ Г 1 (2) v(x)ev с Rq, xe X = [x0,x1 ], - = f(t, x, z,u), (>, x) e D = T x X, (3) d> z(t0, x) = y(x), x e X , (4) y = g(x, y, v), x e X, (5) У (x0 ) = У0. (6) Здесь ф(y), (G (х, z)) - заданная непрерывная и дважды непрерывно дифференцируемая по у, (z) скалярная функция, U и V - заданные непустые ограниченные и выпуклые множества, f (t, х, z,u ) (g (х, y, v)) - заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (z, u ) ((y, v)) до второго порядка включительно, u (t) (v (х)) - кусочно-непрерывный (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор управляющих воздействий, y0 - заданный постоянный вектор. Пару (u (t),v(х)) с вышеперечисленными свойствами назовем допустимым управлением. Допустимое управление (u (t),v(х)) , доставляющее минимальное значение функционалу (1), назовем оптимальным управлением. 2. Формула для приращения функционала качества Пусть (u° (t), v°(х)) - фиксированное допустимое управление, а (u (t) = u° (t) + Au (t), v (х) = v°(х) + Av(х) ) - произвольное допустимое управление. Через (z°(t, х),y°(х)) (z (t,х) = = z° (t,х) + Az(t,х),y (х) = y° (х) + Ay (х)) обозначим соответствующие им решения задачи (3)-(6). Тогда ясно, что (Az (t, х), Ay ( х)) будет решением задачи Mz^х) = f (t,х,_(t,х),u(t))_ f (t,х,z(t,х),u(t)), (t,х)e D, (7) Az (t0, х) = Ay ( х), (8) Ay (х) = g (х,y (х), v (х)) _ g (х,y (х), v(х)), х e X, (9) Ay ( х0 ) = 0. (10) Введем аналоги функции Гамильтона-Понтрягина H (t, х, z, u, у0) = у0' f (t, х, z, u ), M ( х, y, v, p0) = p0'g ( х, y, v). Здесь у0 (t, х), p° (х) - произвольные n-мерные вектор функции. Учитывая (7), (9) получаем, что к х .0' _ J J у0' (t, х х) fadt = *0 J J у0' (t, х,)( f (t, х, z (t, х),u (t))_ f (t, х, z (t, х),u (t))) d^dt, t0 х0 хц ЛТц Jpх)Ay (х)dх = Jpх)(q(х,y (х),v (х))_ g(х,y (х),v(х)))dх. (12) х0 х0 Тогда соответствующие управлениям (u° (t), v° (х)) , (u (t),v (х)) приращение функционала (1), принимая во внимание (10)-(12) можно записать в виде (используя формулу Тейлора): AI(u0,v°) = фУ (у(х1))Ay(х1) + 2Ay'(х )фyy (y°(х ))Ay(х) + +J G^ (х, z0 (t1, х)) Az (t1, х) dх + 2 J Az' (t1, х) Gz (х, z° (t1, х)) Az (t1, х) dх + 2 ■ х0 (11) х1 +p'(х1 )Ay(х1)_ Jp'(х)Ay(х)dх + Jу0(t1,х)Az(t1,х)dх_ Jу0 (t0,х)Az(t0,х)dх :+ " T (4; 1,*. ^ J Y (> ^ 0, х0 - ■ II ■ X l/VI/l X ■ Ul ■+■ ■ \\lf I / X l/V/l / X I Ul - ■ tlf IS X l/V/l / X ЧАХ ti х (t х) х -J J V ' ' Az (t, х) dxdt - JM'y (x, y0 (х),v0 (x), p0 (x)) Ay (x) dx t0 Хо •о •1 1 x1 - J MV( x, y °( x ), v°( x ), p °( x )) Av ( x) dx - 2 J[Ay'( x ) Myy ( x, y °( x), v° ( x), p° ( x ))Ay ( x ) + •0 x0 +2Av'(x)Mvy (x,y° (x),v° (x),p° (x)) Ay(x) + Av'(x)Mw (x,y° (x),v° (x),p° (x)) Av(x)] ti Xi ti Xi -J J H;(t, x, z°( t, x), u°( t), y° (t, x)) Az (t, x) dxdt -J J H'u (t, x, z° (t, x ), u°( t), y°( t, x ))Au (t) dxdt to • t0 x0 i ^ xi -JJ[Az'(t,x)Hz (t,x,z° (t,x),u°(t),y°(t,x)) Az(t,x) + 2 Au'(t)Hz (t,x,z°(t,x),u°(t),y°(t,x))Az(t,x) + *0 •o ,°/„\\ „. „,.л.., „. , , „ ни».., x)|| + ||Av (x) +Au'(t)Huu (t,x,z° (t, x),u° (t),(t, x)) Au (t)]dxdt + oi (||Ay(x )|| ) + + J 02 (||Az (ti, x)||2) dx - J o5 ([||Ay ( x )|| +1| Av ( x)||]2) dx - J J o6 ([||Az (t, x)|| + ||Au (t)||J) dxdt. (i3) •0 •o to •o Здесь величины o5 (•), o6 (•) определяются соответственно из разложений M (x, y (x),v (x), p° (x))-M (x, y° (x), v° (x), p° (x)) = =M'y (x,y° (x), v° (x),p° (x)) Ay (x) + M'v (x,y° (x),v° (x),p° (x)) Av(x) + + 2[Ay'(x)My (x,y° (x),v° (x),p° (x)) Ay (x) + Av'(x)My (x,y° (x),v° (x),p° (x)) Ay (x) + +Av'(x)Mw (x, y° (x), v° (x), p° (x)) Av(x)] + o H (t, x, z (t, x),u (t), (t, x))- H (t, x, z°(t, x),u°(t), (t, x)) = = Hz(t, x, z° (t, x),u°(t), (t, x)) Az(t, x) + Hu(t, x, z° (t, x),u°(t), y°(t, x))Au (t) + +2[Az'(t,x)Hz (t,x,z° (t,x),u°(t),y°(t,x)) Az(t,x) + 2 Au'(t)Hz (t,x,z°(t,x),u°(t),y° (t,x))Az(t,x) + +Au'(t)Huu (t,x,z°(t,x),u°(t),V°(t,x))Au(t)] + Об([||Az(t,x)|| + ||Au(t)|J) . Если предполагать, что вектор-функция (у° (t,x),p° (x)) является решением сопряженной системы 5w°(tX) / ч 3( z °(t, x)) ' ^ ' = -Иг (t,х,z0 (t,x),u° (t),У (t,x)), У (ti,x) = - V '', p° (x) = -My (x, y° (x),v° (x), p° (x)), p° (Xi) = - MyM, то формула приращения функционала (i3) качества (i) примет вид: X М(u°,v°) = -JM'v (X,y° (X),v° (x),p° (x))Av (x) dx - J JH (t,x,z° (t, x),u° (t), (t,x)) Au (t)dxdt + - Ay'(Xi ^ (y° (Xi ))Ay (Xi) to •o 1 xi - - J[Ay'( x ) My ( x, y °( x), v°( x), p °( x )) Ay ( x) + 2Av'( x )x M (x, y0 (x), v0 (x), p° (x)) Ay (x) + Av'(x)MW (x,y0 (x), v° (x),p° (x)) Av(x)] + 1 x1 + - j Az'(t1, x) Gzz (x, z° (t1, x))Az (t1, x) dx -- j j [Az' (t, x) Hz (t, x, z0 (t, x), u0 (t), (t, x)) Az (t, x) + 11 2 t0 x +2 Au'(t)Hu2 (t,x, z° (t, x),u° (t), y° (t, x)) Az(t,x) + +Au'(t)Huu (t,x,z°(t,x),u°(t),У (t,x))Au(t)]dxdt + r (Au, Av) , (14) где по определению Г ( Au, Av) = o1 (|| Ay (x1 )||2) + o2 (|| Az(t1, x)||2) - j o5 ([|| Ay (x)|| +1| Av(x)||] ) dx - 5 | Л0 t1 5Az(^,x) = fz (t, x, z°(t, x),u°(t)) Az(t, x) + fu (t, x, z°(t, x),u°(t)) Au (t) + o7 (||Az(t, x)|| + ||Au (t)||), (15) - j j o6 ([II Az (t, x )|| +1| Au (t )||] ) dxdt. t0 x Далее из системы уравнений (7)-(10) следует, что (Az (t, x), Ay(x)) является решением линеаризованной задачи , x ) dt' Az (t0, x) = Ay ( x), (16) Ay (x) = gy (x, y° (x),v° (x)) Ay(x) + gv (x, y° (x),v° (x)) Av(x) + o8 (||Ay (x)|| + ||Av(x)||) , (17) Ay ( x0 ) = 0, (18) где величины o7 (•) , o8 (•) определяются из разложений соответственно f (t,x,z,u )- f (t,x,z°,u°) = fz (t,x,z°,u°) Az + fu (t,x,z°,u°) Au + o7 (||Az|| + ||Au||), g(x,y,v)-g(x,y°,v°) = gy (x,y°,v°)Ay + gv(x,y°,v0)Av + o8(||Ay|| + ||Av||) . 3. Оценка нормы приращения состояния Из системы уравнений переходя к соответствующим интегральным уравнениям, получаем t ||Az(t,x)|| 0 - некоторые постоянные. Применяя к неравенствам (19), (20) лемму Гронуолла-Беллмана, после некоторых преобразований будем иметь 4. Специальное приращение управления функционала качества По предположению множества U и V являются выпуклыми. Поэтому специальное приращение допустимого управления (u° (t),v° (x)) можно определить по формуле К(0=И> (О-uO(0], (23) Av„( x ) = 0, где „ e [0,1) - произвольное число, а u (t )eU, t eT - произвольная допустимая управляющая функция. Через (Az„ (t, x), Ay„ (x)) обозначим специальное приращение состояния (z° (t, x), y° (x)), отвечающее приращению (23) управления (u° (t),v° (x)) . Из оценок (21), (22) следует, что ||Az„(t,x)||< L5 ц, |Ay„(x)|| = 0, (24) где L5 = const > 0 - некоторая постоянная. Далее, используя (23), (24), при помощи (15)-(17) доказывается, что Az„(t,x) = „t(t,x) + о(ц; t,x), (25) где t (t, x) - n-мерная вектор-функция являющаяся решением задачи д£ (t x) У ' = f2 (t, x, z0 (t, x),u0 (t))I (t, x) + fu (t, x, z0 (t, x),u0 (t))(ы (t)-u0 (t)), (26) t(t0, x ) = 0. (27) С учетом (23), (26), (27) из формулы приращения следует справедливость разложения к x1 I u °+Au„, v 1 (u 0, v0) = -uff H'(t, x, z °(t, x ), u °(t), w° (t, x ))(u (t)- u I (u ° + Au„, v °)-1 (u 0, v°) = -„JJ H'u[t, x, z °(t, x ), u °(t), v° (t, x ))(u (t)- u ° (t)) dtdx + to x0 о2 Гд2ф2 (x,z°(t,x)) *V , ч +7 Г I x ) П dz 2 f (t1, x )-JJ[^'(t, x ) HzZ (t, x, z °(t, x ), u °(t), v°( t, x ))x [ x=x0 x0 f xt(t, x) + 2(u (t) - u° (t)) Hz (t,x, z° (t,x),u° (t), v° (t,x))t (t,x) + +(u(t)-u°(t)) Huu (t,x,z°(t,x),u°(t),y°(t,x))(u(t)-u°(t)) drdtj + o1 (ц2). (28) Теперь специальное приращение управления (u° (t),v° (x)) определим по формуле |Auv( t ) = 0, [Avv( x ) = v[v (x)- v°( x)]. (29) Здесь v e [0,1] - произвольное число, а v(x)eU , xeX - произвольная допустимая управляющая функция. Через (Azv (t, x), Ayv (x)) обозначим специальное приращение вектора состояния (z° (t, x),y° (x)) . Из оценок (21), (22) следует, что ||Azv (t,x)||< L6 v, (t, x) e D, ||Ayv(x)||< L7 v, x e X, (30) где L6,L7 = const > 0 - некоторые постоянные. Учитывая (15)-(18), с помощью (29), (30) доказывается, что Azv(t,x) = vq(t,x) + o(v; t,x), (31) ЛЛ(x) = v m (x) + o(v; x), (32) где вектор-функции q (t, x) и m (x) являются соответственно решениями задач = f2 (t,x, z0 (t,x),uo (t))q(t,x) , (33) q (t0, x) = m( x), (34) m(x) = gy (x,yo (x),v° (x))m(x) + gv (x,yo (x),v° (x))(v(x) - v° (x)), (35) m (x0 ) = 0. (36) v0 Поэтому из формулы приращения (28) будем иметь •ч I (u °, v° + Лvv) -1 (uo, vo) = -v J M'v (x, yo (x), v° (x), po (x))(v (x) - v° (x)) dx + v2 \\ 52ф, (y° (x)) % 52rn2 (x, zo (t, x)) Jm'( x) ф1 m ( x) + Jq'(t1, x q (t, x)f J m'(x)М^ (x, y° (x), v° (x),po (x))m (x) + 2(v(x) - v° (x)) My (x, y° (x), v° (x),p° (x))x f xm(x)+(v(x)- v°(x)) My (x,y°(x), v°(x),p°(x))(v(x)- v°(x)) dx + 4 x 1 +JJ q'( t, x) Hz (t, x, z°(t, x ), u °(t), y°( t, x )) q (t, x ) dxdt\\ + o (v2). (37) *0 x0 J Полученные разложения позволяют получить как линеаризованные, так и квадратичные необходимые условия оптимальности. Из разложений (28), (37) получаем, что вдоль процесса (u° (t),v° (x), z° (t, x),y° (x)) tj Д1 I(uo ,v°)-1(uo,v°) = -^JJHf(t,x,zo (t,x),u°(t),t,x))(u(t)-u°(t))dtdx + oj (ц)> 0, (38) t0 x0 IHU (е, X, z° (0, х),u° (0), (0, х)) (u - u° (0)) dx < 0, (42) x0 Ml (;,y° (;),v° (;),p° (;))(v - v° (;)) < 0, (43) Теорема 2. Для оптимальности допустимого управления (u° (t), v°(x)) в случае выпуклости множеств U и V в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы соотношения (42), (43) выполнялись для всех 0e[t0, t1), u eU и £e[x0, Xj), v eV соответственно. Пара соотношений (42), (43) является поточечным необходимым условием оптимальности в задаче (1)-(6). Следуя схеме работы [10], можно доказать, что необходимые условия оптимальности (40), (41) и (42), (43) эквивалентны. 5. Квадратичные многоточечные необходимые условия оптимальности В этом разделе изучается случай вырождения линеаризованного условия максимума (особый случай). Заметим, что особые случаи возникают во многих прикладных задачах из техники и экономики (см. напр.: [7, 8, 11]) Определение 1. Допустимое управление (u° (t),v°(х)) назовем квазиособым управлением в задаче (1)-(6), если для всех 0 e [t0,t1) , u e U и 2, e [x0,x1), v e V выполняются соответственно соотношения f x ) |H'u (0,x,z° (0,x),uo(0),y°(0,x))dx (u -u°(0)) = 0, (44) / M'v (;,y° (;),v° (;),p° (;))(v - v° (;)) - 0. (45) Из разложений (28), (37) следует, что для оптимальности квазиособого управления (u° (t), v° (x)) необходимо, чтобы выполнялись неравенства \\ 0 \\ 8 2G (x, z°(t„ x)) t1 x . . | l' (t1, x)-i-2V " l (t1, x) -111 l' (t, x) Hzz (t, x, z° (t, x), u ° (t), (t, x)) l (t, x) + x t0 x0 t +2(u (t)-u° (t)) Hz (t, x, z° (t, x),u° (t), (t, x))l (t, x) + dxdt > 0, (46) t +(u(t)- u°(t)) Hu (t,x,z°(t,x),u°(t), Y°(t,x))(u(t)- u°(t)) 8 2ф( y°( x1)) x 8 2G ( x, z °(t1, x )) m'( x1)-8y2-m (x1)+1q'(^x)-8z~2-q (tl, x)dx - * x0 x0 h x1 || q'(t,x)Hz (t,x, z° (t,x),u° (t), (t,x))q(t, x)dxdt - *0 x0 x1 Г ' | m'(x)Mw (x, y° (x), v° (x),p° (x))m (x) + 2(v(x)- v° (x)) Mvy (x, y° (x), v° (x),p° (x))x x0 t xm(x) + (v(x)- v° (x)) Myy (x,y° (x),v° (x),p° (x))(v(x)- v° (x)) dx > 0. (47) Неравенства (46), (47) являются неявными необходимыми условиями оптимальности квазиособых управлений. Однако они позволяют получить ряд более легко проверяемых необходимых условий оптимальности квазиособых управлений. С этой целью напишем представления решений задач (26), (27), (33)-(36). Имеем t i(t,x) = JF(t,x,x) fu (x,x,z° (x,x),u° (x))(u(x) - u° (x))dx, (48) m(x) = Jo(x,m)gv (m,y° (m),v° (m))(v(m) - v° (m))dm, (49) x0 x q(t,x) = J F(t,t0,x)Ф(x,m)gv (m,y° (m),v° (m))(v(m) - v° (m))dm, (50) x0 где F (t, x, x) и Ф( x, s ) являются решениями задач Ft (t, x, x) = -F (t, x, x) fz (x, x, z° (x, x),u° (x, x)), F(t, t, x) = E, Ф^ (x,s) = -Ф(x,s)gy (m,y° (m),v° (m)), Ф(m,m) = E, соответствующими квазиособому процессу (u ° (t), v° ( x), z° (t, x), y° (x)) . Здесь E - единичная матрица. Введем обозначения: K (x, x, s) = -F' (tj, x, x) Gz (z0 (tj, x)) F (t1, x, s ) + tj + J F'(t,x, x)Hzz (t,x, z0 (t, x),u0 (t, x), у0 (t,x))F(t, x,s)dt, (51) max(x,s) N ( m, i ) = -Ф' ( x1, m ) 9yy ( y0 ( x )) Ф ( x^ i ) + + J [F'(t1,t0,x)Ф'(x,m)Gz (x,z0 (t1,x))ф(x,i)F(t1,t0,x)]dx + max m J F'(t,t0,x)Ф'(x,m)Hz (t,x,z0 (t,x),u0 (t),у0 (t,x))ф(x,i)F(t,t0,x) dx + + 0 x(m,i) + J Ф'(x,m)Myy (x,y0 (x),v0 (x),p0 (x))ф(x,i)dx. (52) max( Принимая во внимание представления (48)-(50) и обозначения (51), (52) в неравенствах (46), (47), после некоторых преобразований приходим к соотношениям JJJ(u(x)-u°(x))' fu'(x,x,z°(x,x),u°(x))F'(t„x,x)K(x,x,s) fu (s,x,z°(s,x),u°(s))x 000 xF (tj,s,x)(u (s) -u° (s))dsdxdx + 2J J J(u (x) - u° (x)) Huz (x,x,z° (x,x),u° (x), у° (x,x))x t0 x L t xF(x,t,x) fu (t,x,z° (t,x),u° (t))(u (t)-u° (t))dx]dxdt + t1 x1 f +J J (u (t) - u° (t)) Huu (t, x,z° (t, x),u° (t),у° (t, x))(u (t) - u° (t))dxdt < 0 (53) t0 для всех u (t)eU с Rr, t e[t0,t1 ], J J (v(m) - v° (m)) gv (m,y° (m),v° (m))N(m,i)gv (i,y° (i),v° (i))(v(i) - v° (i))didm + x0 x0 x x f 2J J(v(m)-v° (m)) My (m,y° (m),v° (m),p° (m))ф(m,x)gv (x,y° (x),v° (x))dm x0 х(v(х) - v° (х))dх + J (v(х) - v° (х)) Mv (х,y° (х),v0 (х),p° (х))(v(х) - v° (х))dх < 0 (54) для всех v(х)еК, хе[х0,х,]. Следовательно, имеет место Теорема 3. Для оптимальности квазиособого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы выполнялись соотношения (53) и (54). Неравенства (53), (54) являются интегральными необходимыми условиями оптимальности второго порядка. Из них можно получить ряд более конструктивно проверяемых необходимых условий оптимальности. В частности, имеет место Следствие 2. Для оптимальности квазиособого управления (и° (t),v° (х)) в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы неравенства JИии (0,х,zо(0,х),ио(0),(0,х))ёх г (и - и°(0)) (и - и°(0))< 0, (55) ■ ии х0 f (v - v° (S)) М^ (S,y0 (S), v° (S),p° (S))(v - v° (S)) < 0 (56) выполнялись для всех и е U , 0 е [t0, t1) , v e V, S e [ х0, х1) соответственно. Заметим, что условия оптимальности (53), (54) позволяют исследовать на оптимальность также те квазиособые управления, для которых необходимые условия оптимальности (55), (56) вырождаются. Определение 2. Квазиособое управление (u°(t), v°( х)) назовем квазиособым второго порядка управлением, если для всех 0e[t0, t1) , и е U и Se[ х0, х1), v е V выполняются соответственно соотношения J Иии (0, х, z ° (0, х), и °(0), у°(0, х)) ёх ии х0 f г (и - ио(0)) (и - и°(0)) = 0, (57) (v - v°(S)) Мт (S, y°(S), v°(S), P°(S))( v - v°(S)) = 0. (58) 6. Многоточечные необходимые условия оптимальности квазиособых второго порядка управлений Неравенства (53) и (54) позволяют получить многоточечные необходимые условия оптимальности квазиособых второго порядка управлений. Пусть (и° (t),v°(х)) - квазиособое второго порядка управление. Специальные приращения управляющих функций и ° (t) , v° (х) определим по формулам m «Е(t) = ^5и(t,в; 0,,t,иг), (59) i =1 m v^( х; ц) = ^ (х, ц; Si, t i ,v, ). (60) i=1 Здесь Ъи (t, в; 0j, t j, Uj ), 5v (х, ц; Sj, t j, ) - игольчатого типа вариации управлений и °(t), v°(х), определяемые формулами |и., t е [0., 0. +1. в), Ъи (t;в; 0,.,t,иг ) = 0, i = 1, m, - произвольные числа, ui e U, v.. eV, i = 1, m, - произвольные векторы, в > 0, ц > 0 -произвольные достаточно малые числа, 9.., Ъ - произвольные точки. Суммирование игольчатого типа вариаций понимается в смысле [12]. Учитывая определение квазиособого второго порядка управления, из (53), ((54)), а также (55), (56) после некоторых преобразований получим, что вдоль квазиособого второго порядка управления (u°(t), v°( x )) (62) j £ i I i j (u. - u (9.)) fu'(9i, x, z°(9i, x), u (9.)) K ( x, Ъ, Ъ, ) fu (9,, x, z°(9j, x), u (9, ))x x0 -1, j 1 m f x(u, -u° (9,)) + £ii (u. -u(9.)) Hf(9i,x,z° (9..,x),u° (9.),У (9.,x))x i=1 iI (u. -u (9i ))f fu (9i,x,z°(9i,x),u°(9i))(u, -u (9,)) + 2£iД (9,,x,z°(9,,x),u°(9,)) j=1 x(u, -u (9,)) dx +°(в2)< 0, I m f x x ц2[IiIij (v. -v(Ъ)) gv(Ъ.,у°(Ъ),v)N(ъ,Ъ,)gv(Ъ,y°(Ъj),v,)(v, -v(Ъ,))+ Li, j=1 +I iI (v - v (Ъ)) My (Ъ,уЧЪ),v (Ъ), р°(Ъ ))x i=1 i.gv(Ъ,у°(Ъ),v°(^i))(v.-v(Ъ))+2£ijgv(Ъj,y°(ъj),v(Ъj))(v,-v(Ъj)) | + °(ц2) j m f x(u, -u° (9j)) + £iI (u. -u(9.)) Hz (9i,x,z° (9..,x),u°(0, ut eU , 9( e[t0,t1) (ii > 0, vt e V , ^ e[x0,x1)) , i = 1,m (t0

Скачать электронную версию публикации