Modeling of vibration of a pipeline on the theory of Timoshenko.pdf В настоящее время нефть, газ и нефтепродукты являются основой топливно-энергетического комплекса, а трубопроводы имеют большое значение для его эффективного функционирования. Трубопроводы для транспортировки различных жидкостей - один из основных факторов экономического развития энергетических отраслей многих стран мира. Безопасная эксплуатация трубопроводов - это ключ к бесперебойному обеспечению энергоресурсами и нормальной работе всех отраслей промышленности. Сильная вибрация трубопровода подвергает его конструкцию усталостному повреждению, вызывая ослабление и разрыв соединительных частей. Чрезмерная вибрация может повлиять на эффективность транспортировки нефтепродуктов и даже привести к серьезным авариям, что влечет значительные экономические потери, а также риск загрязнения окружающей среды. Анализ изгибных вибрационных свойств трубопровода, содержащего проточную жидкость, имеет большое практическое значение при проектировании трубопроводов. Действительно, скорость потока жидкости внутри трубы оказывает существенное влияние на ее динамические свойства. В работе [1] представлен метод конечных элементов для нелинейного анализа колебаний труб Тимошенко, транспортирующих жидкость. В ней обсуждены предельный цикл и связанная с ним амплитуда вибрации для проблемы вибрации, вызванной потоком. Проведен анализ для оценки влияния скорости потока и соотношения масс жидкости / трубы на амплитуду колебаний предельного цикла. Динамика и устойчивость коротких труб, транспортирующих жидкость, рассмотрена с помощью теории балки Тимошенко для трубы [2]. Численные результаты сравнены с экспериментальными данными. Показано, что уточненная теория балки Тимошенко необходима для адекватного описания динамического поведения чрезвычайно коротких трубок. Тенденция развития исследований динамики трубопроводов идет по пути усложнения математических моделей, описывающих колебательные процессы трубопроводов с протекающей жидкостью. Математическому моделированию колебания упругих трубопроводов посвящено большое количество теоретических исследований [3-8]. Однако моделирование задач колебаний трубопроводов на базе теории балки Тимошенко с учетом вязкоупругих свойств материала конструкций рассматривается в сравнительно небольшом количестве работ. Последнее объясняется специфическими аналитическими трудностями исследования вязкоупругих трубопроводов типа стержня. В работе [9] разработана математическая модель вязкоупругих труб, транспортирующих жидкость. При рассмотрении упругих систем внутреннее трение материала учитывается с помощью модели Кельвина-Фойгта. Безразмерное уравнение поперечного движения и связанные с ним классические и неклассические граничные условия получены с использованием вариационного подхода. ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020 № 51 Управление, вычислительная техника и информатика Анализ устойчивости композитной тонкостенной консольной трубы, транспортирующей жидкость, рассматривается в работе [10]. Основные уравнения системы получены по принципу Гамильтона. С применением модели Галеркина выполняется анализ собственных значений, при этом анализируются критическая скорость жидкости и, следовательно, устойчивость системы. В настоящее время задача колебательных процессов вязкоупругих трубопроводов, лежащих на грунтовом основании, представляет большой теоретический и прикладной интерес. На сегодняшний день разработано множество подходов для решения подобных задач, но ни один из них не способен адекватно отразить реальную картину взаимодействия между трубопроводом и подстилающим грунтом. В основном эти подходы описывают отдельные стадии процессов, происходящих в трубопроводе. Поэтому несомненный научный и практический интерес вызывает построение математических моделей, позволяющих исследовать динамические процессы вязкоупругих трубопроводов с жидкостью. Из приведенного обзора можно сделать вывод, что разработка динамических моделей процессов колебаний трубопроводов из композиционных материалов с протекающей жидкостью, учитывающих основания Винклера, представляет собой достаточно сложную и актуальную исследовательскую задачу. В данной статье исследуется изгибная вибрация вязкоупругого трубопровода, транспортирующего жидкость и лежащего на упругом основании, что является обычной практической проблемой. Целью данной работы является создание математической модели, численного алгоритма и компьютерной программы для решения линейных задач о колебаниях вязкоупругих трубопроводов на основе теории Тимошенко. 1. Постановка задачи Рассмотрим вязкоупругий трубопровод длиной L, лежащий на упругом основании, описываемом моделью Винклера (рис. 1). По трубопроводу передается поток несжимаемой жидкости, имеющий осевую скорость V. Предполагается, что поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформированной оси трубы. Рис. 1. Геометрия трубопровода Fig. 1. The geometry of the pipeline Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось х проходила через центры тяжести сечений трубы, а начало оси совместим с левым концом трубы. Перемещения точек оси трубопровода по оси z представляют неизвестную функцию прогибов w(x, t). Перемещения произвольной точки нормали с координатой (до деформации) z по теории Тимошенко будут равны [11-13] uz (x, z, t) = u(x, t) + zy(x, t), wz (x, z, t) = w(x, t) . Здесь u(x, t) - перемещения в направлении оси х, y(x, t) - угол поворота отрезка нормали к срединной поверхности (рис. 2); z - расстояние от точки перечного сечения стержня до нейтральной оси. Интегральную модель Больцмана-Вольтерра, которая характеризует закон зависимости напряжения о от деформации s в одномерном случае определяется из уравнения [14] (1) о = E(1 - RR )s = E\\ s -jR(t - r)s(x)dx \\, здесь E - модуль упругости материала; R(t - т) - ядро релаксации; t - время наблюдения; т - время, предшествующее моменту наблюдения. Рис. 2. Деформация элемента балки по гипотезе типа Тимошенко Fig. 2. Deformation of the beam by the Timoshenko type hypothesis Геометрическую зависимость зададим уравнением [12] ды dw dw s xx = - + z-; 2s x_ = - + w. ЛЛ ^ ^ J Л^ ^ I дх дх dx Усилие, изгибающий момент и сдвигающие усилие Nxx = I ОxxdA, Mx = J ZOxxdA, Qx = K J OxzdA, (2) (3) Ap Ap Ap где Ks - поправочный коэффициент на сдвиг; Ap- площадь поперечного сечения трубы. Подставляя (1) и (2) в (3), получим Nxx = EpAp (1 - R*) dx, Mxx = EPIP (1 - R*) ddx, Qx = GpApKs (1 - R*) где Ip = J z2dA; Ep - модуль упругости материала трубы; Gp - модуль сдвига. dw + dx (4) p Пользуясь принципом Гамильтона-Остроградского, после некоторых преобразований получим уравнения движения трубопровода, основанные на теории Тимошенко [11-13]. С учетом вязкоупру-гих свойств материала конструкции и наличия упругого основания они имеют вид: d2 u (mp + mf) ^ = epap (1 - R ) tt = 0 dt dx ( ^2 d2 w d 2 w d w + dy r2 d2 w (mp + mf) - + 2mfV - + mfV2 - + kww = GpApKs (1 - R ) dt dt dx dx dx2 dx \\ (P pIp + P fIf) ^ = EpIp (1 - R) dw - GpApK (1 - R*) {j- + w j. d2 u (5a) (5b) (5c) Здесь mp , mf - соответственно масса трубы и жидкости, отнесенные к единице длины; If = J z2dA; Af - площадь, ограничивающая объем потока жидкости; kw - жесткость основания Винклера; Pf, Pp -плотность жидкости и материала трубы соответственно. Очевидно, что уравнение (5а) может полностью отсоединиться от (5b) и (5c), поэтому осевая деформация рассматривается независимо от проблемы поперечной деформации. Поперечная деформация трубопровода будет рассмотрена в этой работе. r2 d2 w ^ d 2 w dw dx2 dx d2 w d 2 w (6) dt2 dx2 (mp + mf) + 2mfV ^ + mfV -Г + kww = G pApK s (1 - R) (P pIp + P fIf) f? = EpIp (1 - R) dw - GpApK (1 - R*) [d- + w j. 2. Метод решения Приближенное решение системы уравнений движения (6) будем искать в виде: N N w(x,t) = У Wn (t) 0n (x), v(x, t) = У Vn (t) Xn (x), (7) n=1 n=1 где wn (t), уn (t) - неизвестные функции времени. Координатные функции 0n (x), %n (x) должны быть подобраны так, чтобы каждый член суммы (7) удовлетворял граничным условиям. Граничные условия имеют вид: м|х=0 = о, v|x=0 = о, w|x=o = о, Mxx|x=0 = о, (8) В этом случае в разложении метода Бубнова-Галеркина (7) аппроксимирующее координатные функции выбираем в виде: „ . . . n_x . . n_x 0n(x) =sin-; Xn(x)=cos~Y~• Подставляя (7) в систему (5) и применяя метод Бубнова-Галеркина, получим систему интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ). Введя в ИДУ следующие безразмерные величины: mp t -S t EI p т2 x w x , w -, V VL (9) mp + m^ V L' ^ и сохраняя при этом прежние обозначения, запишем G + вfp У Ynkwn + ^yKsk2_2(1 _R*)wk _ (Ep-^ У (1 _R*)YnkVn _mfpV2k2_2wk + kw,wk = 0, I-N p_1 Г у-N 111 wpk + 2Vyjmfp в fp У Bp Ynkwpn = w0 p + w 0 ptp _ У Br \\2V^jmfp в fp У Ynkwrn _ mfpV k _ wrk + kwwrk + n=1 r=0 L n=1 + ((p Y^kV f wrk _ A У Cse~Kwr_Skk !_ ^ ^ У Ynk f Vr,n _ A У Ce^ Vr_sn 1, Ep V 2 s=0 ) Ep 2 n=1 V 2 s=0 ) p_1 f k2_2 f A r _в 1 Vpk = V0p + tpV0p _ДBr(tp _tr)LffVrk _-ДCse~KVr_s,k J+ (11) f A r 1 n f a r 1 I Фrk _- У Cse~KVr_s,k 1+ У Ynk\\wrn _- У ^e'^w^n I _V 2 s=0 ) n=1 V 2 s=0 )_ wk + 2Vjmfpв fp У Ynkwn + elY^k2^ _R*)wk _-Jl±2- у (1 _R_mfpV2k2_\\^ n=1 Ep Ep 2 n=1 Vk + (1 _ R* )-Vk + Y1 (1 _ R* ) f У Ynkwn +Vk 1 = 0, (10) P fp Ep P fp V n=1 ) wk(°) = w0k; wk(°) = w0k; Vk(°) = V0k; Vk(°) = v0k; k = 1'2'...'N. mf mf p pIp + p fIf ApV Здесь вfp =---, mfp =-?-, p p = r r-J->2, y1 =-, ynk - безразмерные коэффициенmp + df JF mp (m + mf )L Ip ты, связанные с координатными функциями и их производными; точки над переменной означают взятие производной по времени соответствующего порядка. Интегрирование системы (10) проводилось численным методом, основанном на использовании квадратурных формул [15-18]. На основе этого метода описан алгоритм численного решения системы (10). Проинтегрировав полученную систему (10) два раза по t и заменив интегралы квадратурными формулами трапеций, полагая t = t', t' = 'At, ' = 1, 2, ... (At - шаг интегрирования), для вычисления U'n = U'n(t'), Ф'п = фш(^), w'n = w'n(t'), получим следующие формулы при ядре Колтунова-Ржаницына (R(t) = Ata_1e"pt, А > 0, в > 0, 0 < a < 1): ' N - p_1 _ Г I-N 111 r i2VJmfp в fp У Ynkwrn _ mfpV k _ wrk + k "w rk Gp Ks ep p fp p = 1, 2, 3.; k = 1, 2, ..., N. Здесь Br, Cs - коэффициенты квадратурной формулы трапеций [19-20]. Результаты вычислений отражаются графиками, приведенными на рис. 3-4. 3. Обсуждение результатов Исследовано влияние свойств материала на колебания для вязкоупругих трубопроводов, лежащих на упругом основании, при скорости потока выше критической. На рис. 3 представлена зависимость перемещений w от времени срединной точки упругого (A = 0; см. рис. 3, а) и вязкоупругих трубопроводов (A = 0,005; см. рис. 3, b; A = 0,05; см. рис. 3, c; A = 0,1; см. рис. 3, d). Из графиков видно, что решение упругих и вязкоупругих задач существенно отличается. В упругом случае происходят периодические колебания, и амплитуда колебаниий уже с момента t = 10,5 резко возрастает. Подобные вибрации являются нежелательными, так как приводят к зарождению и развитию усталостных трещин. С поступательным увеличением параметра вязкости в начальный период времени происходит затухание с дальнейшим переходом периодических колебаний, однако этот процесс недолог по времени, и процесс периодических вибраций заменятся нежелательными вибрациями. Из графиков видно, что критическое время, за которое возникают колебания с быстро возрастающими амплитудами, зависит от параметра вязкости. Чем больше значение параметра вязкости, тем раньше начинается нежелательный процесс колебаний. При расчете были использованы следующие значения геометрических и физических параметров: а = 0,25; р = 0,05; = 410; mfp = 0,01; kw = 100; ks = 0,35; pfp = 0,05; Pf, = 0,005; V = 2. Рис. 3. Зависимости прогиба трубопровода от времени t для различных значений параметра вязкости: А = 0 (a); А = 0,005 (b); А = 0,05 (c); А = 0,1 (d) Fig. 3. Displacement-time dependences at А = 0 (a); А = 0,005 (b); А = 0,05 (c); А = 0,1 (d) Таким образом, на основании полученных результатов (см. рис. 3 b, c, d) можно заключить, что учет вязкоупругого свойства материала трубопровода приводит к снижению значения критической скорости жидкости и вызывает при V > Vcr увеличение частоты колебаний, имеющих быстро возрастающую амплитуду. На рис. 4, a приведены зависимости прогиба w от времени t для различных значений параметра вязкости A при скорости потока меньше критической. Из этого рисунка также видно, что с увеличением параметра A амплитуда и частота колебаний трубопровода уменьшается. На рис. 4, b приведены зависимости прогиба w от времени t для вязкоупругого трубопровода при различных параметрах сингулярности а: 0,1 (кривая 1); 0,-5 (кривая 2); 0,5 (кривая 3). Влияние параметра сингулярности а в этом случае достаточно заметно и состоит в увеличении амплитуды и частоты колебаний. Следовательно, учет этого влияния при проектировании тонкостенных конструкций имеет важное значение, так как чем меньше параметр сингулярности материала конструкции, тем интенсивнее протекают диссипативные процессы в этих конструкциях. а) A = 0 (1); A = 0,01 (2); A = 0,1 (3); ks = 0,35; pfp = 0,05; Pip = 0,005; V = b) a = 0,1 (1); a = 0,-5 (2); a = 0,5 (3); A = 0,1; P = 0,05; Y1 = 400; mjp = 0,01; ks = 0,35; pp = 0,05; Pip = 0,005; V = c) kw = 0 (1); kw = 100 (2); kw = -50 (3); A = 0,1; a = 0,-5; P = 0,05; Y1 = 300; mfp = 0,1; ks = 0,35; Pfp = 0,005; V = 0,4 d) Pfp = 0,001 (1); Pfp = 0,007 (2); A = 0,1; a = 0,-5; P = 0,05; Y1 = 300; mfp = 0,01; pp = 0,05; Pfp =0,005; V = 1 e) Y1 = -00 (1); Y1 = 300 (2); A = 0,1; a = 0,-5; P = 0,05; mfp = 0,1; kw = 100; ks = 0,35; pp = 0,05; Pfp = 0,005; V = 0,8 j) N = - (1); N = 5 (2); N = 6 (3); A = 0,1; a = 0,-5; P = 0,05; mfp = 0,1; Y1 = -0; kw = 80; pp = 0,001; Pfp = 0,001; V = 0,0- Рис. 4. Зависимости прогиба трубопровода от времени t для различных совокупностей значений параметров модели Fig. 4. Displacement-time dependences for different sets of model parameter values Влияние параметра оснований Винклера kw на колебательный процесс показано на рис. 4, с. При неучете оснований (kw=0) амплитуда колебаний медленно затухает. При наличии оснований и увеличении значения параметра kw это приводит к увеличению частоты колебаний. В качестве исходных данных при вычислениях были приняты следующие: A = 0,1; а = 0,25; P = 0,05; 71 = 3QQ; mfp = 0.1. ks =0,35; Pfp = 0,05; Pfp = 0,005; V = 0,4. На рис. 4, d показано влияние параметра Pf на колебательный процесс трубопровода. При Pfp = 0,001 амплитуда колебаний со временем затухает (кривая 1). Увеличение значения параметра Pfp до 0,007 приводит резкому изменению колебаний. С ростом параметра Pfp уменьшаются масса трубы и, соответственно, ее относительная жесткость. Амплитуда колебаний уже с момента t > 14 резко возрастает. Подобные вибрации являются нежелательными, так как приводят к зарождению и развитию усталостных трещин. На рис. 4, e приводятся графики движения трубопровода по времени. Номера кривых на графиках соответствуют следующим значением параметра уь 2QQ (кривая 1); 3QQ (кривая 2). Приведенные результаты свидетельствуют о том, что для второго значения параметра 71 имеет место периодический характер. Для значения параметра 71 = 2QQ даже при малых прогибах движение трубопровода носит нерегулярный характер. Особенно с момента t > 14,5, когда трубопровод испытывает высокочастотные колебания с большой амплитудой, быстро возрастающими с течением времени. Изучена сходимость метода Бубнова-Галеркина (рис. 4, f). Приведенные здесь результаты показывают, что при вычислениях значений критических скоростей потока в (11) необходимо удерживать по крайней мере пять первых гармоник (N = 5). Расчеты показали, что дальнейшее увеличение количества членов не оказывает существенного влияния на амплитуду колебаний вязкоупругой трубы. Все приведенные результаты получены с учетом пяти членов ряда (пяти первых гармоник). Заключение В работе исследован колебательный процесс вязкоупругих трубопроводов, транспортирующих жидкость. Разработана математическая модель линейной вибрации вязкоупругих трубопроводов, транспортирующих жидкость, на основе теории Тимошенко. Разработан вычислительный алгоритм, основанный на исключении особенностей интегро-дифференциальных уравнений со слабосингулярными ядрами. На основе разработанного вычислительного алгоритма создана прикладная компьютерная программа, которая позволяет проводить численные исследования вибрации трубопровода. При моделировании линейных задач исследован ряд новых динамических эффектов: - установлено, что учет вязкоупругих свойств материала трубопровода приводит к уменьшению амплитуды и частоты колебаний; - показано, что увеличение параметра оснований приводит к увеличению частоты колебаний трубопровода; - выявлено, что уменьшение массы трубы к единице ее длины приводит к увеличению амплитуды и частоты колебаний.

Скачать электронную версию публикации