Estimation of the uniform distribution parameter of unextendable dead time duration in a generalized asynchronous flow o.pdf В связи с интенсивным развитием сетей связи модель простейшего потока событий перестала быть адекватной реальным информационным потокам. Требования практики послужили стимулом к рассмотрению дважды стохастических потоков [1-14] в качестве математической модели реальных потоков событий в телекоммуникационных сетях. Большинство авторов рассматривают математические модели потоков событий, когда события потока доступны наблюдению. В реальности же зарегистрированное событие создает период мертвого времени [15], в течение которого другие события потока становятся ненаблюдаемыми. При этом, чтобы оценить потери событий потока, необходимо оценить значение длительности мертвого времени. Период ненаблюдаемости потока может продолжаться некоторое фиксированное время, а также может быть случайным. Задачи по оценке параметров и состояний потока событий в условиях мертвого времени фиксированной длительности рассматривались в работах [16-23]. При этом в [16, 18, 20-23] получены результаты для непродлевающегося мертвого времени, в [17, 19] - для продлевающегося. Достаточно открытым остается вопрос изучения потоков событий, когда мертвое время является случайной величиной. Здесь отметим работу [24], в которой решается задача оценки параметров асинхронного потока событий в условиях случайного мертвого времени, работу [25], в которой решается задача оценки параметра распределения непродлевающегося случайного мертвого времени в пуассоновском потоке, и работу [26], в которой находятся формулы для начальных моментов общего периода ненаблюдаемости в пуассоновском потоке событий при продлевающемся случайном мертвом времени. В настоящей статье рассматривается обобщенный асинхронный поток событий (обобщенный MMPP-поток) в условиях непродлевающегося случайного мертвого времени, распределенного по равномерному закону, когда на параметры потока накладываются ограничения: А1 + а1 = А2 + а2, p = 1 (особый случай). Методом моментов находится оценка параметра равномерного распределения, приводятся результаты статистических экспериментов. ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020 № 51 Управление, вычислительная техника и информатика 1. Постановка задачи Рассматривается обобщенный асинхронный дважды стохастический поток событий, сопровождающий процесс которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс X(t) с двумя состояниями Ал и А2 (Ал > А2 >0). В течение временного интервала, когда X(t) = Xi, имеет место пуассо-новский поток событий с интенсивностью Xi, i = 1, 2. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе (из второго в первое) может осуществляться в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса X(t) в i-м состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром at, i = 1, 2. При переходе процесса X(t) из первого состояния во второе инициируется с вероятностью p (0 < p < 1) дополнительное событие во втором состоянии. Наоборот, при переходе процесса X(t) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью q (0 < q < 1) дополнительное событие в первом состоянии. В сделанных предположениях X(t) - скрытый (принципиально ненаблюдаемый) марковский процесс. После каждого зарегистрированного события в момент времени tk наступает период мертвого времени случайной длительности, и другие события исходного потока, наступившие в течение этого периода мертвого времени (периода ненаблюдаемости), недоступны наблюдению и не вызывают его продления (непродлевающееся мертвое время). Принимается, что случайная длительность мертвого времени распределена по равномерному закону с плотностью p(T) = 1/T, 0 < T < T*. Рассматривается стационарный режим функционирования наблюдаемого потока. Необходимо в момент времени t на основании выборки t1, t2, ..., tn наблюденных на полуинтервале (t0, t] моментов наступления событий оценить методом моментов параметр T*. В настоящей работе рассматривается особый случай, когда на параметры потока накладываются ограничения: Ал + а1 = X + а2, p = 1. Заметим, что задача оценки параметра T методом моментов без указанных ограничений на параметры потока решена в статье [27]. 2. ММ-оценка параметра T Обозначим Tk = tk+1 - tk, k = 1, 2, ..., - значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (Tk > 0). Плотность вероятности значений длительности k-го интервала есть pT„(xk) = pT„(т), т > 0, для любого k, т.е. момент наступления события есть т = 0. В [20] получено выражение для плотности p(t|T) в особом случае (Ал + а1 = А2 + а2, p = 1), когда длительность мертвого времени является детерминированной величиной: p(T | T) = 0,0 T; (1) p (T) = p - [P2 - P2 (01T)]e-(a1 +a2)T , p (01T) = (p,2 + 5p [1 - e-(a'+a2)T ]) /(1 - 5e~(a1 +a2)T), 5 = 2 - qa1a2)/(X1 + ax)2 , p2 = aj /(ax + a2), p12 = ax /(A^ + ax). Тогда плотность pT„ (т) примет вид (для упрощения индекс T опустим): А(т) = J p(T) p(t | T )dT ,0 T . Подставляя в (2) выражение (1), учитывая, что p(T) = 1/T*, находим -(1 - q)e"(X1+a1)T |[(^ + at)T -1] J (т) + (^ - a2) А(т) = T* f1 1 1 aa - e-(x1+a1)t | + 1^2 -т x T (a1 +a 2^ + a1 J2(Т) + V+^L j3(t) _ А

Скачать электронную версию публикации