Numerical method for testing robust control quality for linear one-dimensional dynamic control systems.pdf Технологические процессы, обладающие разнотемповыми составляющими, широко распространены [1, 2]. Характерной особенностью моделей таких процессов является выделение в модели операторов так называемой «основной динамики», описывающей ту часть объекта управления, которая подлежит регулированию, и операторов «структурных возмущений» - к ним относят те части объекта управления, которые уже обладают свойствами устойчивости и заданного качества управления [3. С. 29-30]. При синтезе регулятора структурные возмущения, как правило, не учитывают, в результате в передаточной функции (ПФ) замкнутой системы возникает неопределенность. Поскольку свойства устойчивости и качества управления системы определяются расположением полюсов ее ПФ, возникает вопрос: при каких операторах структурных возмущений в объекте управления замкнутая система еще сохранит свойства устойчивости (робастная устойчивость) и качества управления (робастное качество управления)? В схеме модального управления [3. С. 8-21; 4. С. 5-20] качество управления задается в виде области S на комплексной плоскости; область S определяет желаемое расположение полюсов ПФ. Следовательно, вопросы исследования (проверки) робастной устойчивости и робастного качества управления могут быть рассмотрены с единых позиций: требуется проверить, принадлежат ли корни заданного семейства полиномов области S. Проблема исследования робастной устойчивости и робастного качества управления широко представлена в литературе. Можно выделить три главных направления, в рамках которых решается данная задача: 1) принцип исключения нуля [5-9]; 2) теория Нда [10-11]; 3) метод LMI [12-14]. Тем не менее общая формулировка критерия робастного качества управления (не зависящая от формы области S) до сих пор не получена [9. С. 227]. В настоящей статье в развитие результатов, полученных в [9], разрабатывается метод проверки робастного качества управления. Далее приняты следующие обозначения: = - равно по определению; I - единичная матрица соответствующей размерности; T - транспонирование; * - комплексное сопряжение; j - мнимая единица; Rn, Cn - пространства n-мерных векторов x = (хь... xn ), коэффициенты которых соответственно вещественные или мнимые числа; s - комплексная переменная; S - область на C1; dS - граница области S; int S - внутренняя часть области S; t - непрерывное время; p = d1 /d t - оператор i-й степени дифференцирования по времени (0 < i < да). 4 Численный метод проверки робастного качества управления Пусть fx) - комплекснозначная функция векторного аргумента х, определенная на области X с Rl; обозначим \\А + = ^1 f (4 \\А -=mnlf (x) min xex (1) «Полиномиальным оператором» степени l будем называть дифференциальный оператор вида: I f (l, p) = if, - P i = 0 (2) где fi - постоянные коэффициенты (0 < i < l). В изображениях по Лапласу полиномиальному оператору (2) соответствует алгебраический полином1 I f (l, s) = i fi • si, i=0 определенный на С1; здесь за s обозначена переменная преобразования Лапласа (s е C1). «Интервальным дифференциальным оператором» степени l будем называть семейство дифференциальных операторов вида: Г ’ \\т f(l,F, p) = jf(l,f, p) = if - Р : Vf = (fо, •, fi )T е f|, (3) где F = jf e Rl+1: Vf ef - f, f0 +f ] f° * 0, f > 0, i = 0, l} -область (многомерный параллелепипед) заданная в пространстве коэффициентов. Выполняя в (3) формальную замену p на s, получаем «интервальный полином» f(l, F, s ) = jf(i, f, s )= if - si : Vf e f|. (4) Интервальный полином (4) можно представить в виде: f (l, F, s) = f 0 (l, s) + Af (l, AF, s) (5) где I Ц-,s)= iJt •s - «точечный» полином, а интервальный полином с симметричными интерваi=0 лами неопределенности коэффициентов Af (l, AF, s ) определится по формуле: Af(l, AF, s ) = j$f(l, 5f, s )= if - st : VSf = f •, f )T e AF |, AF = jSf: VSft e\\- Aft, Af ] i = 0,7 }. 1. Синтез модального регулятора для линейных объектов управления со структурными возмущениями и постановка задачи проверки робастного качества управления Пусть линейный одномерный объект управления задан моделью вида: v(l,V, p)- a(n, A, p)y(t) = w(r,W, p)- b(m, B, p)u(t), n > m, l > r, (6) здесь u - входной (управляющий) сигнал, y - выходной (управляемый) сигнал, a(n, A, p), b(m, B, p), v(l, V, p), w(r, W, p) - интервальные дифференциальные операторы вида (5) такие, что a'0 = 1, Aan = ° v° = 1, Av0 = a w0 = 1, Aw0 = 0. 1 Полином fl, s) может быть получен путем формальной замены в (2) оператора p на s. 5 А.Н. Паршуков Модель a0 (n, p)y(t ) = b0 (m, p)u(t), (7) принадлежащую семейству моделей (6), назовем «номинальной»; интервальные операторы a(n, A, p), b(m, B, p) - «основной динамикой»; операторы v(l, V, p), w(r, W, p) - «структурными возмущениями». Качество управления будем назначать в виде области S, определяющей допустимое расположение полюсов ПФ на С1. Предполагаем, что область S удовлетворяет условиям: расположена в ограниченной части С1 слева от мнимой оси; односвязна; для любой точки s е S также выполняется s* е S. Кроме того, исходя из смысла задачи, потребуем, чтобы операторы структурных возмущений v(l, V, p), w(r, W, p) удовлетворяли выражениям1 Л(ѵ )с int S, A(w)c int S. (8) Поскольку требования к качеству управления выражены в корневых показателях качества, регулятор будем рассчитывать по схеме модального управления. Следуя методу синтеза модального регулятора (изложенному, например, в монографии [4. С. 5-20]), регулятор для номинальной модели (7) ищется в виде дифференциального уравнения (n - 1)-го порядка: p(n - \\ p) ы (t) = a.(n -1 p) y (t) + г(q, p) g (0, q ^ n - p pn-i =1 (9) здесь g - заданный программный сигнал. В схеме модального управления коэффициенты операторов P(n - 1, p) и a(n - 1, p) регулятора (9) рассчитываются из условия обращения в тождество уравнения aet. (2n -1, s) = a0 (n, s)p(n -1, s)- b0 (m, s)a(n -1, s), a^n_1 = 1, (10) где aet(2n - 1, 5) - заданный характеристический полином эталонной системы управления (далее -«эталон»); выбор эталона ограничен условием л(а et. )с int S. (11) Очевидно, что выбор полинома %(q, 5) не влияет на свойства робастной устойчивости и робастного качества управления, поэтому вопрос расчета полинома x(q, 5) в данной работе не рассматривается. Методика вычисления коэффициентов операторов P(n - 1, p) и a(n - 1, p) приведена в работе [3. С. 8-21], она сводится к решению системы из 2n - 1 линейных алгебраических уравнений относительно 2n - 1 неизвестных коэффициентов полиномов P(n - 1, 5) и a(n - 1, 5). Данная система однозначно разрешима, если корни полинома a0(n, 5) не совпадают с корнями полинома b0(m, 5). После замыкания исходного объекта (6) регулятором, синтезированным по схеме (9)-( 11), несложно получить следующее выражение для характеристического полинома замкнутой системы: ac (2n +1 -1, A, B, V, W, s) = {a (2n +1 -1, a, b, v, w, s): Va е A, b е B, v eV, w eW}, (12) здесь ac. (2n +1 -1, a, b, v, w, s) = v(l, v, s) • a(n, a, s) • p(n -1, s)- w(l, w, s)- b(m, b, s)-a(n -1, s) Множество полиномов ac (2n + l - 1, A, B, V, W, 5) назовем «семейством характеристических полиномов» замкнутой системы. Множество л(ас. )={А,г- : 3a е A, 3b е B, 3 v eV, 3w eW, ac. (2n +1 -1, a, b, v, w, Xi ) = 0, i = 1,2n +1 -1} назовем «множеством корней» семейства характеристических полиномов (или «множеством полюсов» ПФ) замкнутой системы. Будем считать, что замкнутая система с характеристическим полиномом (12) обладает робастным качеством управления, если множество Л^) лежит внутри области S, т.е. выполнено условие 1 Выполнение выражений (8) легко проверить методами, изложенными в работе [15]. 6 Численный метод проверки робастного качества управления л( ac' )с int S (13) (далее - условие робастного качества управления). При наличии структурных возмущений в объекте управления нельзя заранее гарантировать, что модальный регулятор, рассчитанный по формулам (9)-(11), будет обеспечивать выполнение условия (13). Таким образом, задача синтеза модального регулятора при наличии структурных возмущений в объекте управления состоит из следующих этапов: 1) синтез модального регулятора для номинального объекта (7) по формулам (9)-(11); 2) последующая проверка выполнения условия (13) для заданного семейства характеристических полиномов (12) (задача проверки робастного качества управления). В следующем разделе изложен численный метод проверки робастного качества управления для семейства характеристических полиномов вида (12). 2. Численный метод проверки робастного качества управления 2.1. Критерий робастного качества управления Лемма 1. Пусть семейство полиномов (12) удовлетворяет условиям (8), (11). Тогда для того, чтобы для данного семейства было выполнено условие робастного качества управления (13) необходимо и достаточно выполнения1 0 ё Лс' (у), V 5 edS, (14) где ^с'(5) = |ас'(2и+ /-1,5): Vae А, b е В, ѵ е V, w е wj с С1 - «геометрический образ» семейства полиномов (12) для точки s edS . Доказательство. Рассмотрим произвольный полином, принадлежащий семейству (12). Изменение количества корней этого полинома, лежащих внутри области S, может происходить только в том случае, когда хотя бы один из них (при вариациях векторов параметров a e Л, b e B, v eV и w e W) пересечет границу области S и условие (14) будет нарушено. Что и требовалось доказать. Замечание 1. Полиномы, входящие в семейство (12), содержат произведения варьируемых параметров, следовательно, область ^c(s) на С1 может быть невыпуклой (и даже неодносвязной). Таким образом, непосредственное построение невыпуклой области Лс(у) и последующая проверка выражения (14) представляют собой трудные задачи. Ниже мы получим достаточные условия робастного качества управления путем оценки расстояния от области ^c(s) до точки (0, j0). Для точки s edS такое расстояние равно (с учетом обозначений (1)) ac' (2n +1 -1, a, b, v, w, s) , таким образом, выражение (14) принимает вид: aс' (2n +1 -1, a, b, v, w, s) > 0, V s edS. Для выражения в левой части последнего неравенства справедлива оценка et. (in +1 -1, s) = (v0 (l, s) + 5v(l, 5v, s))-(aet'(2n -1, s) + 5a(n -1,5a, s)- • p(n -1, s)- 5b(m, 5b, s)- a(n -1, s)) + (v0 (l, s) + 5v(l, 5v, s)- w0 (r, s) - 5w(r, 5w, s))- (b0 (m, s)+ 5b(m, 5b, s))• a(n -1, s) ac (2n s)-w (r,s)-s ))• a(n -1,s) > 1 Здесь и далее (там, где это не будет вызывать недоразумений) несущественные для рассуждений аргументы полиномов будем опускать. 7 А.Н. Паршуков > |ѵ0 (l, 5) + 5v(l, 5v, s) • |aet' (2n - 1, s) + 5a(n - 1,8a, s)• p(n -1, s) - - 8b(m, 8b, s) a(n - 1, s) - |v0 (l, s) + 5v(l, 8v, s) - w0 (r, s) - - 8w(r, 8w, s)+ • |b 0 (m, s )+8b(m, 8b, s ) ^|a(n - 1, s Приведенные рассуждения можно рассматривать в качестве нестрогого доказательства следующей теоремы. Теорема 1. Пусть семейство полиномов (12) удовлетворяет условиям (8), (11) и p(s) = pi(s) - р2(s)> 0, Vs edS, (15) где p1 (s)= v0 (l, s) + 5v(l, 8v, s) • |aet' (2n - 1, s) + + Sa(n - 1,5a, s) • p(n - 1, s) - 5b(m, 5b, s) • a(n - 1, s) _, P 2 (s) = |v 0 (l, s) + 5v(l, 5v, s) - w0 (r, s ) - 8w(r, 5w, s) • (16) • b 0 (m, s )+8b(m, 5b, s) -|a(n - 1, s). Тогда для (12) выполнено (13). Технология проверки условия (15) изложена ниже. 2.2. Методика проверки робастного качества управления Вычисление функций pi(s) и p2(s) в точке s сводится к решению четырех задач квадратичного программирования (далее - задач QP): Jk (xk )=0,5 xkCkxk + qkxk + ч ^ ^ k e1,4, Hxk - Zk ^ 0,1 (17) где X1 =5v, Ax1 = (Avb -, Av, )T, Z1 = (s, -, sl )T, Ф1 = R(s), - , Re(sl))T, ^ =(lm(s), -, Im(sl))T,2 Ѳ1 = v0 (l, s), X2 =(5a, 8b)T, AX2 = (Aa0, -, Aan-1, Ab0, -, Abm)T, z 2 =(p(n - 1,4 -, sn-1 • p(n - 1, s), - a(n - 1, s), -, - sm • a(n - 1, s))T, Ф 2 = Re (z 2), Ф 2 = Im(z 2), Ѳ2 = aet' (2n - 1, s), x3 = (5v, 5w)T, AX3 =(Av1, -, Av,, AW1, -, Awr)T, Z3 =(1, s, -, sl, - 1, - s, -, - sr )T, Ф3 = Re(z3 ), Ф3 = Im(z3 ), Ѳ3 = v0 (l, s) - w0 (r, s), x4 = 5b, Ax4 =(Ab0, -, Abm )T, z 4 =(1, s, -, sm f, 1 За 0 обозначен вектор-столбец, целиком состоящий из нулей. 2 Далее за щ и фі обозначены векторы, состоящие соответственно из вещественных и мнимых частей компонент вектора zk, 1 < k < 4, что условно записывается в виде: фі = Re(zk), фі = Im(zk). 8 Численный метод проверки робастного качества управления k e 1,2, - 2 (Re(Ѳ k) • Фk + Im(0 k) • V k)> k e 3,4, ek = Re2 (Ѳk ) + !m2 fak} а 3k и Zk - матрицы и вектора блочного вида: Sk =(+ 1 -l)T, zk =(Лхk, ^k)k, k e1,4 Нетрудно убедиться, что выполняются Ck = Ck, ek > 0, k e 1,4. В обозначениях (17) функции pi(s) и p2(s) принимают вид: (18) (19) pi(s)=Ji (x*^J2 (x2)i P2 (s)=J3(x3УJ4(x*4У |«(«-1 s^ xk = arg _ min /k (xk ), fk (xk ) = 0,5 xk Ckxk + Qk xk. =*xk-zk Задача QP (19) относится к решенным. В случае ограничений в виде линейных неравенств эта задача может быть решена только численными методами. Теорема 1 и приведенные в данном разделе рассуждения являются основой для изложенного далее алгоритма проверки робастного качества управления. Итак, пусть: 1) на dS задано множество точек Q(ft')=js;- edS, i e 1, (и'

Скачать электронную версию публикации