System operating time with unreliable interchangeable elements and precarious recovery device.pdf По мере развития технических комплексов естественным образом возникла необходимость учитывать влияние разного рода отказов и сбоев их составляющих на эффективность работы всей системы. Данная проблема служит предметом изучения теории надежности. Определение нестационарных характеристик системы является одной из немаловажных задач в рамках этой теории. Разнообразие реальных функциональных систем обеспечивает довольно широкое распространение моделей, имеющих как рабочие компоненты, так и компоненты, отвечающие за восстановление последних. Известны публикации, где рассматривается система с несколькими одинаковыми элементами, когда в каждый момент времени работает только один элемент, а другие находятся в холодном резерве или восстанавливаются [1-8]. Зачастую в подобных моделях предполагается, что время восстановления отдельного элемента имеет экспоненциальное распределение, а время его работы - произвольное. Параметры системы не зависят от ее состояния. При таких условиях находится преобразование Лапласа-Стилтьеса времени безотказной работы системы [9-11]. Также многие исследования посвящены статистическим вопросам, связанным с оценкой надежности практически значимых моделей [7, 10, 11]. Мы рассмотрим случай, когда состояние системы влияет на работу и восстановление ее компонент, и получим результаты для системы с постоянными параметрами. В работе будет предложен метод решения подобной задачи, значительно упрощающий нахождение искомой характеристики: вместо введения многомерного марковского процесса, задающего состояние системы в произвольный момент времени, и попыток решения получающихся в результате уравнений в частных производных, мы рассмотрим двумерный марковский процесс, который в дальнейшем позволит получить систему линейных алгебраических уравнений для искомых неизвестных. 1. Постановка задачи и математическая модель Ставится задача надежности следующего вида. В системе есть n рабочих элементов и один восстанавливающий прибор. В каждый момент времени работает только один элемент, который после поломки немедленно отправляется ремонтироваться в очередь на прибор, который тоже может выходить из строя. Вероятность восстановления элемента на приборе в интервале (t, t + At) равна PiAt + o(At), где i - число неисправных элементов на момент t. Элемент работает случайное время с функцией распределения Ѳю(х), если на момент начала его работы сломано i элементов и прибор исправен; Gn(x), если прибор неисправен и сломано i элементов. Прибор на интервале (t, t + At) 59 Э.А. Головастова выходит из строя с вероятностью a,At + o(At), восстанавливается с вероятностью P^At + o(At), где i -число неисправных элементов на момент t. Система прекращает свое функционирование, если сломаны все n элементов. Все описанные случайные величины полагаем взаимно независимыми. Цель работы - получение распределения времени работы системы в данной модели. Рассмотрим время между двумя последовательными поломками элементов. Отметим, что в течение этого времени происходит либо восстановление, либо сохранение исходного числа неисправных элементов. Введем на этом промежутке времени процесс {v(t), e(t)}, где v(t) - число неработоспособных элементов в момент t; e(t) = 0, если прибор работает, e(t) = 1, если прибор сломан. Обозначим переходные вероятности такого процесса следующим образом: Pj0 (t) = P(v(t) = j,e(t) = 0| ѵ(0) = і,е(0) = О), Pj0(t) = p(v(t) = j,e(t) = 1| v(0) = i,e(0) = 0) , Pj 0(t) = P(v(t) = j, e(t) = 0| v(0) = h e(0) =1)> Pj1 (t) = P(v(t) = j, e(t) =11 v(0) = > , e(0) =1) • Данный процесс является цепью Маркова на промежутке времени работы элемента, и он полностью описывает состояние системы в любой момент из этого промежутка. Отметим, что j < i + 1. Уравнения для переходных вероятностей введенного процесса на промежутке времени между двумя последовательными поломками элементов имеют следующий вид для j = і, 0 < і < n - 1, e e 0,1: Pe (0) = 1, Pi- (0) = 0, Pit(0) = 0, P’t-e (0) = 0 0 < j < n - 1; dP0 (t) dt d P1° (t) dt =- k+ia )p \\e (t)+рг p 1e (t), = -Рг P1e (t) + аг P >0 (t); (1) для 0 < j < i: dp; e (t) dt (a j+a j) p e (t)+p p e (t)+a j+1p% 0 (t), dP) e (t) dt p Pi e (t) + a Pi e (t); (2) для j = 0: dPQt (t) dt P0Pj i (t) + a0P00 (t) dP0eo (t) dt a Pie (t)+P0 P0e (t) + a PP (t); (3) для i = 0: dPp (t) dt dPp (t) dt = -a0 Pp (t) +P0 Pp (t) = -P0 РЦ1e (t) + a0 Pp (t). (4) Введем следующие обозначения: тг0 - время до выхода из строя всей системы, если на момент начала работы элемента имеется i неработоспособных элементов и прибор исправен; Ті1 - время до выхода из строя всей системы, если на момент начала работы элемента имеется i неработоспособных элементов и прибор неисправен; П'0 - время работы элемента, заступающего первым, если на начало его работы имеется i неработоспособных элементов и прибор исправен; П'1 - время работы элемента, заступающего первым, если на начало его работы имеется i неработоспособных элементов и прибор неисправен. 60 Время работы системы со взаимозаменяемыми элементами, выходящими из строя Также введем обозначения для события, задающего состояние системы на конец рабочего периода элемента: Aj- = {ѵ(Г-) = J,е(Г-) = 0} , Aj- = {v(r) = j,е(ц)) = 0}, Aj - = {v(r-) = j, е(г-) = 1}, 41 = {v(r,)) = j, е(П ) = 1}. Тогда имеем следующие соотношения времени безотказной работы системы для i = п - 1: П - 2 П-2 С i = пПѴ (4-S+a;:;; ) + £ (гП-i + 4i) i (a;-10)+ £ (гП- + *', +i )i ( a;-10) j=0 n-2 j=0 n-2 41 = пП-1І ( a]:;; + a]':;; )+£ (r1;-1+1- +i) I (A^'-11)+£ (гП-1+t‘ .1 )I ( a;-;i); j=0 j=0 для 0 < i < и - 1: T°=£ (r°+t j+i) 1 (а- o)+£ (r°+Tj+i) 1 (Aj i), j=0 j=0 1 =£ (r; +1'°+1) 1 (Aj-) + £ (r; + +1) 1 j=o j=0 где І(Д1 = 1, I(A) = 0 - индикатор события А. Найдем уравнения для преобразований Лапласа-Стилтьеса искомого. Пусть: Ф- (s) = Ее~ 0 on-1,n -1 (s) = J7 е 6і (P]-\\o (t) + p;:4 (t))dGn_;,o (t), g /•CO rAs) = \\{) e-stP;eAt)dGi e(t), j,i e 0,n-l, е,ё ; е 0,1. Тогда имеем следующие уравнения для i = п -1: П-2 П-2 Ф--i(s) = g0-1,П-1(s) + £ Ф-+і(s) oj o10 (s) + £ Ф;+і (s) oj 110 (s) j=0 n-2 j=0 n-2 фП-i(s)=оП-і,п-i(s)+£ф°+і(5) g; -11(s)+£ф;+i(s) oП-11(s); (5) j=o j=o для 0 < i < n - 1: i i (6) Ф- (s) = £ Ф-+1(s) gj 0 (s) + Ф1;+1(s) gij 0 (s) Ф1 (s) = £ Ф-+1 (s) g jo (s) + ф1;+1 (s) gji (s). j=0 j=0 Заметим, что события, задающие состояние системы на конец рабочего периода элемента, образуют полную систему несовместных событий. Поэтому можно преобразовать систему стохастических уравнений для случайных величин, определяющих время работы системы, и, взяв математическое ожидание от обеих частей этих преобразованных уравнений, получить для i = п-1: П-2 С 1 = Hi 1 +£ (j p;-10 + j j-), j=o П-2 Th = Hi-1 + £ (j p;-11 + j PT11) j=o для 0 < i < п-1: Tj = h- +£ (j1 Pj - + j i Pj-), j=- 61 Э.А. Головастова T = H) +£(j Pj1 + jl Pj 1), j=0 где t;=e x;, H=E ne, Pz e = 1je 2. Применение метода к более простой модели Рассмотрим постановку задачи, в которой параметры системы не зависят от числа сломанных элементов и состояния прибора, т.е. распределение времени восстановления элемента - экспоненциальное с параметром ц, распределение времени работы прибора - экспоненциальное с параметром а, распределение времени восстановления прибора - экспоненциальное с параметром в, функция распределения времени работы элемента - G(x). Все описанные случайные величины полагаем взаимно независимыми. Число элементов - п, прибор один. Также предполагаем, что прибор не выходит из строя, когда он не работает. Такая формулировка задачи является более простой по сравнению с представленной ранее, поэтому тут тоже рассмотрим время между двумя последовательными поломками элементов и введем процесс {v(t), e(t)} на этом промежутке. В силу предположения P0)(t) = 0, i е 0,...,n- 1; e еОД, i = 0, Po0o0(t) =1. (7) Уравнения для переходных вероятностей введенного процесса имеют вид для j = i, 0 < i < n - 1, e е 0,1: Pi(0) = 1, Pie (0) = 0, P'; (0)=0, Pile (0)=0 0 < j < i, (t) dt d Pj\\ (t) dt = - (a + |x) P0 (t) + PP1e (t), = -PP1e (t) + aP0 (t); (8) для 0 < j < i: dPj 0 (t) dt (a + ^)Pj 0 (t) + РІ (t) + j(t), dj (t) dt Pi (t) + aPj e (t); (9) для j = 0: 62 d P0 0e (t) dt P (t). (10) Взяв преобразования Лапласа от обеих частей уравнений (8)-( 10), получаем для 1 < i < n - 1: s +P 4 ni0*, N a Po» = Po*(s) = s(s + ^ + a+P) + ^P P s(s + ^ + a + P) + ^P = P(s), Pl*(s) = s(s + ^ + a + P) + ^P = A(s) =Q(s) ■ P»>) = , s+"+“ „ = B(s); s(s + ^ + a + P) + ^P Время работы системы со взаимозаменяемыми элементами, выходящими из строя для 2 < k < i, i > 2: P i 0*, i+1-k 0 (s)=(P(s))k цк-1, р;+1-к 0» = (P(s))k ц i 0 * i+1-k 1 \\k k-1 a s + p’ P i 1 *, i+1-k 0 1 *{ 1 i+1-k 1 a (s) = (P(s)^)k-1Q(s), P-1 -s) = - -s) s + P \\k- P°00 *(s) = £-(P(s))1, i 1*(s) = ц-(s))I-1Q(s) . s s В данной постановке задачи уравнения для преобразований Лапласа-Стилтьеса искомого будут иметь вид для i = n -1: Ф0-1 (s) = gQ-1,n-1(s) + Z ф°+1 (s)gj 010 (s) + Z j (s)gj 110 (s)’ Фn-l(s) = gn-1,n-1 (s) + 2ф°+^) g=o11(s) + §ф= +1(s) g=-111(s); (11) j== j=i для 0 < i < n-1: Ф° (s) = Z ф°°+1(s) g= 0 (s) + Z Ф1= +i (s) g'j о (s) 1=1 1== для i = 0: ф1 (s)=Z ф°°+1(s) 1(s)+Z ф=+1(s) 1(s); === ==i (12) ф°М = ф° (s)}” e stP°0°0(t) dG(t). (13) Рассмотрим случай n = 2 для последней системы. Решая дифференциальные уравнения для переходных вероятностей (7)-(10), получаем: P°°o0(t) = 1, P°1°°(t) = 1 -P11°°(t) -P111°(t) , P°10(t) = 1 -P1°1(t) -P111(t) , P11°°(t) = (r -Г2)-1((Р + r- -(P + S), P11°(t) = a(r -r-e -e*), P1°°(t) = (r - /2)-1((ц + а + г)/1 - 1 + a +1), P» = P(r - ^(e* -ert), где a + P + ц „ К =--^ (1 + 1 - 4Рц -), i = 1,2. 2 ' 'У (a + P + ц)2 Заметим, что r °(s): где g(s) = } e-stdG(t). J 0 Заключение В работе получены соотношения для преобразований Лапласа-Стилтьеса от функции распределения времени работы системы. Они имеют вид системы линейных алгебраических уравнений (5)-(6), 63 Э.А. Головастова в которой искомые неизвестные, множители и свободные переменные являются функциями. Причем как коэффициенты, так и свободные члены в этой системе вычисляются с помощью вероятностей событий, задающих состояние системы в конце рабочего периода элемента, потому являются известными. Эти вероятности находятся из системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1)-(4). Для систем линейных алгебраических уравнений известны алгоритмы, по которым можно найти их точное решение, а также имеется программное обеспечение, реализующее эти алгоритмы. Для небольшого числа рабочих элементов можно выписать явные выражения для ответа в поставленной задаче, что было представлено в качестве примера в данной работе. Благодарность. Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук Л.Г. Афанасьевой, профессору кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, за помощь в подготовке материала и ценные замечания в процессе оформления данной статьи.

Скачать электронную версию публикации