Estimation of the unextendable dead time duration in semi-synchronous events flow of the second order by the method of m.pdf В данной работе рассматривается один из типов дважды стохастических потоков событий [1-9], являющихся математическими моделями информационных потоков заявок, функционирующих в современных телекоммуникационных сетях. Множество состояний вышеприведенных потоков дискретно и конечно. В зависимости от того, каким образом происходит смена состояний, данные потоки событий можно разделить на три типа: 1) синхронные потоки [10]; 2) асинхронные [11]; 3) полусинхронные потоки [12]. Объектом изучения настоящей работы является полусинхронный поток событий второго порядка с двумя состояниями. В большинстве случаев рассматриваются модели входящих потоков, когда события полностью наблюдаемы. Однако на практике любое устройство затрачивает некоторое время на регистрацию события (сообщения), другими словами, событие, поступившее на прибор, порождает период мертвого времени [13], в течение которого другие наступившие события потока недоступны для наблюдения. В статьях [14-18] рассматриваются задачи оценки состояний либо параметров для различных моделей дважды стохастических потоков событий. В настоящей работе рассматривается полусинхронный поток событий второго порядка, функционирующий в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности (события, наступившие в данный период, не вызывают его продления). Тогда возникает вопрос об оценке среднего числа потерянных сообщений, ответ на который дает решение задачи оценивания длительности мертвого времени, осуществляемое методом моментов [19]. Данное исследование является непосредственным развитием [20]. 1. Постановка задачи Рассматривается стационарный режим функционирования полусинхронного дважды стохастического потока событий второго порядка (поток), сопровождающий случайный процесс которого X(t) является кусочно-постоянным с двумя состояниями -у и у . Длительность пребывания процесса A,(t) в состоянии у определяется случайной величиной р = min( '%(1), ^(2)), где \\(1) имеет функцию распределения Fx(1)(t) = 1 - , t > 0; \\ ^2) - функцию распределения Fx(2)(t) = 1 - e~ait, t > 0; E,(1) и E,(2) - независимые случайные величины. В момент наступления события потока в зависимости от того, какая из случайных величин ^(!), i = 1, 2, приняла минимальное значение, процесс A,(t) переходит из состояния у в у с вероятно-73 Л.А. Нежельская, ДА. Тумашкина (i), стью P(i)(X2| Хр либо X(t) остается в состоянии S с вероятностью P-^1)(Х1 | ХД i = 1, 2 . Здесь >(i) P(i ^X2 | p) + Pli )(p | Xj) = 1, i = 1, 2 . Длительность интервала между событиями потока в состоянии S является случайной величиной с функцией распределения р (t) = 1 - e~(Х+“l) 1, t > 0 . Длительность пребывания процесса X(t) в состоянии S2 есть случайная величина с функцией распределения F2(t) = 1 - e~“2t, t > 0 . В течение времени пребывания процесса X(t) в состоянии S2 имеет место пуассоновский поток событий с параметром Х2. В последующем изложении полагается, что имеет место состояние St (i -е состояние) процесса X(t), если X(t) = Xi, i = 1, 2, Х1 > Х2 > 0 . Матрицы инфинитезимальных характеристик [21] процесса X(t) имеют вид (Х1 + ^1) 0 D = Х^ЧХ^) + «1Р(2)(Р|Р) ХP(1)(Х2 | Х) + ttlP(2)(Х2 | Х) а2 -(Х2 + а2) , D1 0 Х 2 Do = После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает период мертвого времени фиксированной длительности T, в течение которого другие события исходного потока недоступны наблюдению. По окончании периода мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности T (непродлевающееся мертвое время) и т.д. На рис. 1 приведен пример возникающей ситуации, где ti, t2, ... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке; периоды мертвого времени длительности T обозначены штриховкой; черными кружками обозначены события потока, недоступные наблюдению. Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Fig. 1. Formation of the observed event flow Поскольку X(t) является принципиально ненаблюдаемым, наблюдаются только моменты наступления событий t1, t2, ..., то X(t) - скрытый марковский процесс или ненаблюдаемый сопровождающий марковский процесс. В свою очередь, в моменты t1, t2, ., tk, . последовательность {X(tk)} представляет собой вложенную цепь Маркова. Обозначим тк = tk+l - tk, к = 1, 2, ... - значение длительности интервала между соседними событиями наблюдаемого потока, рт (гк) - плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке. В силу того что рассматривается стационарный режим функционирования потока, рт(тк) = рт(т) для всех к = 1, 2, ..., т>0 . Вследствие этого без ограничения общности момент наступления события tk можно положить равным нулю, т.е. момент наступления события есть т = 0 . Ставится задача оценивания длительности мертвого времени T методом моментов. Для решения поставленной задачи необходимо найти явный вид плотности вероятности рг (т) , т> 0 . 74 Оценивание методом моментов длительности непродлевающегося мертвого времени 2. Вывод плотности вероятности pT (т) Рассмотрим интервал (0, т) длительности т = Т+1 между соседними событиями наблюдаемого потока, где T - значение длительности мертвого времени, t - значение длительности интервала между моментом окончания мертвого времени и моментом наступления очередного события, t > 0. Введем переходную вероятность q (T) того, что за мертвое время длительности T процесс Х(т) перейдет из состояния Si в момент времени т = 0 в состояние S в момент т = T, i, j = 1, 2; условную стационарную вероятность ni (0 \\ T) того, что процесс Х(т) в момент времени т = 0 находится в состоянии Si, i = 1, 2, при условии? что в данный момент времени наступило событие наблюдаемого потока, породив период мертвого времени длительности T. Введем в рассмотрение условную вероятность Pj (t) того, что на интервале (0, t) нет событий потока, и в момент времени t значение процесса X(t) = X j при условии, что в момент времени t = 0 значение процесса X(0) = Xi; Pj (t) - соответствующая плотность вероятности, i, j = 1,2. В силу того что процесс X(t) обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать, начиная с момента времени tk, к = 1,2, ..., наступления события потока, плотность вероятности pT (т) определяется в виде: 0, 0 < т < T, 2 2 2 (° \\т )Ъ q1 ~jk (X-T), т> T. (1) Pt (т) = < ^ i=1 j=1 к=1 Явный вид 7Г,(0|7-). q0(T), р/к(т- Т). i,j, к = 1, 2, устанавливают следующие леммы. Лемма 1. Переходные вероятности q (T), i, j = 1,2, в полусинхронном потоке событий второго порядка имеют вид: (2) qu(T) = ъ +^2е-( а+а)Т q2l(T) = я, -ще-а+а)Т ql2(T) = %2 -%2е (аі+а)Т q22(J) = ^2 + Це-а+а)Т где a = XjPj(1)(X2 | Xj) + а1Pj(2)(X2 | Xj); априорные финальные вероятности состояний Sl и S2 равны TCj =а2 /(а2 + а), п2 = a/(а2 + а) соответственно. Доказательство. Построим систему дифференциальных уравнений для нахождения введенных переходных вероятностей q (Т), i, j = 1,2: qnCO=а2ql2(т) - aqll(т), q'22^) = aq21(т)-а 2 q22(т), qll(т) + q^OO =1, q2l(т)+q22(т)=1, qn(0) = q22(0) = 1, q12(0) = q21(0) =0. Интегрируя систему дифференциальных уравнений с учетом начальных условий [22] и заменяя в решении момент времени т на Т, приходим к (2). Лемма 1 доказана. Лемма 2. Плотности вероятностей Д-Дт), /,/ = 1,2. в полусинхронном потоке событий второго порядка определяются формулами P1j(т) = [X1P1(1)(Xj IX1) + а1Р1(2)(Ху |Х1)]е-(Х +а')т, j = 1,2, PM - а 2[X1 'l(X! 1 Xl) + а1Р ^ (X1 1 X1 )] r.-(X2+a2)^e-(X1+а1)т-| 21 (X+а) - (^+^) ^ (2) p22 (т) = а 2[X1 P11>(X 2 1 Xi) +а1р11 J(X 2 1 Xi)] [е-(Х2+а2)т- e-(X1+а1)т ] + x2 е ~(X2+а2)т , т>0 , (3) (Xj+а) - (X2 +а2) где (X1 +а1) - (X2 +а2) ^ 0 . 75 Л.А. Нежельская, ДА. Тумашкина Для нахождения %г- (01 T), i = 1, 2 , введем в рассмотрение вероятности перехода ptj, i, j = 1, 2, процесса 1(т) из состояния Si в S за время, которое пройдет от момента т = 0 до момента наступления очередного события потока. Лемма 3. Вероятности перехода p , i, j = 1,2, в полусинхронном потоке событий второго по рядка имеют вид: \\Pim(X ;Ц) + o1if)(1 j) Pij =- ' ' 1 +Oj ?(i) j = 1, 2 , P 21 P 22 о [1p(1)(12 11)+o P(2)(K 11)] 1 12 +o2 о 2[11І1(1)(11|11) + о1р(2)(11|11)] (1 +o )(12 + o) , P11 + P12 =1, P21 + P22 =1- (4) (1 +0 )(І2 + 0 ) Лемма 4. Условные стационарные вероятности %г- (01 T), i = 1, 2 , в полусинхронном потоке событий второго порядка определяются выражениями: % (0| T) = (Zj - а) (о2 +12я, [1 - e4

Скачать электронную версию публикации