Rational interpolation of transfer functions of linear dynamic systems with distributed parameters.pdf При проектировании систем автоматического управления и регулирования находят применение методы исследования качества динамики, основанные на определении ее запаса устойчивости и быстродействия по корням характеристического уравнения [1, 2]. Последнее определяется полиномом знаменателя передаточной функции (ПФ) (1) Ф(5) = AY.L _ Ь0 + b1S + + ••• + bmSm AY i 1 + as + a,s2 +... + +ansr‘ где AY;, AYo - лапласовы трансформанты отклонения динамических функций входного воздействия и целевой выходной функции от стационарного равновесного положения систем, n > 0, m > 0, n > m, s - переменная преобразования Лапласа [2, 3]. Определение коэффициентов (1) для систем с сосредоточенными параметрами обычно не вызывает затруднений. Однако существуют устройства, динамика которых описывается системами с распределенными параметрами. Примерами данных систем являются разнообразные радиоэлектронные устройства, трубчатые теплообменники, газостатические и газодинамические опоры скольжения и ряд других [4-7]. Для таких систем ПФ формулируются на основе использования одной или нескольких краевых задач для дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых дается трансцендентными функциями, либо таковые могут быть получены лишь численными методами [8]. Для получения ПФ данных систем необходимо применение методов, которые бы обеспечивали их представление в форме (1) на основе расчета критериев запаса устойчивости и быстродействия устройств с наперед заданной точностью. 4 Рациональная интерполяция передаточных функций линейных динамических систем Представление ПФ в форме (1) подпадает под классическую задачу рациональной интерполяции [9], решение которой, однако, не дает исчерпывающего ответа на вопрос о точности критериев устойчивости системы, полученных корневыми методами с использованием характеристического уравнения, ибо значение степени n характеристического полинома (ХП) наперед неизвестно. Следовательно, рациональная интерполяция ПФ является лишь локальной процедурой в общем алгоритме определения критериев качества динамики систем. Нередко при расчете упомянутых критериев требуется определить лишь вектор а коэффициентов ХП и его длину n с тем, чтобы иметь возможность определить корневые критерии с требуемой точностью. В этом случае задача несколько упрощается, поскольку необходимо найти лишь полином знаменателя (1), т.е. ХП. Основной задачей при расчете критериев качества динамики систем с распределенными параметрами при фиксированных значениях n и m является рациональная интерполяция. Существующие методы опираются на решение линейной системы уравнений относительно коэффициентов (1), которая содержит n + m уравнений [5]. Такие системы могут быть решены общими методами, например методом Гаусса-Жордана, который имеет кубический порядок сложности (n + m)3 (здесь и далее под порядком сложности вычислительного метода подразумевается временная сложность реализующего его алгоритма [1, 7]). При больших n и m это может повлечь значительные затраты машинного времени в процессе многопараметрической оптимизации динамических систем. В настоящей статье предложен быстрый метод нахождения коэффициентов (1). Он основан на решении систем линейных уравнений специального вида существенно меньшего порядка, что позволяет найти их решение быстрыми методами с квадратичным порядком сложности m(n + m); это способствует существенному ускорению процедуры оптимизации динамических систем. Если требуется найти лишь коэффициенты ХП, то порядок сложности метода равен n2. 1. Определение разности n - m степеней полиномов передаточной функции При проведении рациональной интерполяции методом, который изложен ниже, степени n и m полиномов (1) должны быть известны. Однако приемлемые их значения могут быть получены лишь на основе удовлетворительной точности определения критериев качества динамики системы. Если определить значения этих параметров без расчета упомянутых критериев нельзя, то нахождение их разности не представляет затруднений. Действительно, если an ф 0 и bm ф 0, то бесконечный предел (2) spФ(5) ^ bm Ф 0, an где p = n - m. Обычно разность p исчисляется несколькими единицами, чаще она равна одному или двум, поэтому найти данный предел иp можно довольно быстро. 2. Методика рациональной интерполяции (3) где r(s) = -Ф-1 (s), A(s) = -b0 -T(s). Уравнение (3) содержит k = n + m неизвестных коэффициентов. 5 В.А. Коднянко Положим s = 1, найдем Sj = esj_l, j = 2,3,..., k, ^ = ф( s}), Г =r( s}), Kj =Л( s}), J = 1,2,..., k. Обратим внимание, что Sj =Sk+1-j ,J =1,2,... , k, следовательно, ф( sk_J+1) = Ф* ( Sj ), что позволяет сократить вычисления и найти Г ,Л за [(к + 1)/2] обращение к ПФ. Последовательно подставив s = Sj, (j = 1, 2, ..., к) в (3), получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов (1) Mx = у, (4) где " S1 S1 S1 1 uT " a1 " " V S1 " S1 S2 S3 .. Г2 S1 ... a л2 / s2 S1 S3 S5 .. r3S1 ... , x = bm-1 , У = Лk-1 / sk-1 _ S1 Sk S1 1 І-Ч § 0 матрица K имеет клеточную структуру вида K = E C 0 D . где E и 0 - единичная и нулевая матрицы размера n х n и m х n, C и D - тёплицевы матрицы размера n х m и m х m соответственно. Действительно, блоки матриц F- и M клеток 1 х 1 _ n х n являются взаимно обратными матрицами дискретного преобразования Фурье, следовательно, их произведение даст единичную матрицу E. Элементы блока клеток m + 1, к ... 1 х n получены перемножением строк матрицы F- и столбцов матрицы M, которые также являются элементами прямой и обратной матриц преобразования Фурье. Суммы их произведений, дающие недиагональные элементы единичной матрицы, будут нулями по аналогии с тем, как это имеет место для нулевых элементов расположенного над ними блока E. Характер матриц C и D объясняется тем, что элементы столбцов матрицы M для j > n образованы суммами произведений смещенных элементов матриц F и элементов вектора Г, которые отличны от единицы. В таких случаях их скалярные произведения дают тёплицевы матрицы [12]. Аналогично можно показать, что матрица L = C D (7) является прямоугольным циркулянтом вида 6 Рациональная интерполяция передаточных функций линейных динамических систем ' llk .. l n+3 ln+2 l2 l- ... ln+4 l , n+3 L = lk-i lk-2 ... ln+1 ln _ lk lk-1 ... ln+2 ln+1 _ а C и D персимметричными тёплицевыми матрицами (8) ' l lk . .. ln+3 ln+2 ln+1 ln . .. lm+1 lm l2 h . .. ln+4 l , n+3 ln+2 ln+1 . .. lm+ 2 l , m+1 C = nxm ln-1 ln-2 . .. l2 l1 , Dmxm lk-2 lk-3 . .. ln+1 ln _ ln ln-1 . .. із і2 _ _ lk -1 lk-2 . .. ln+2 ln+1 _ Вектор l совпадает с (п + 1)-м столбцом матрицы K: j=1 l =£FuMjn+i = ТЕГДі,j), i = 1,2,...,k. k ,=1 Аналогично можно показать, что первые к - 1 элементов вектора z zj =~b0 lj+^ j = 1,2,..., k - 1 а последний элемент 1 k (9) z = -k ^ k j=1 Таким образом, векторы l и z, матрицы C и D можно получить с помощью векторов s и ¥ без использования матриц K, F- и M. В случае т = 0, система (4) принимает вид: Fa = у, следовательно, a = z и задача рациональной интерполяции ПФ решена. Из (5)-(8) следует, что при m > 0 вектор b коэффициентов ПФ (1) удовлетворяет системе уравнений Db = d, (10) где d - вектор, составленный из последних m элементов вектора z: di = zn+i, i = 1,2,..., m. В сравнении с исходным уравнением (3), имеющим порядок к = п + т, уравнение (10) имеет существенно меньший порядок: т < к/2. Следовательно, его решение может быть получено значительно быстрее. Уравнение (10) является стандартной задачей с несимметричной тёплицевой матрицей специального вида [13-15], и оно может быть решено как общими методами, сложность которых пропорциональна т3, например методом Гаусса-Жордана [16], так и специальными быстрыми методами, учитывающими особенности уравнения (10) и имеющими сложность, пропорциональную т2. К числу последних относятся методы Тренча, Берлекэмпа-Месси, Евклида [11, 13-18]. Элементы матрицы C могут быть выражены через вектор l: Ci,j = h(k+i-л, i = ^^..^n j = m С учетом этого можно обойтись без матрицы C и, используя решение системы (10), быстро найти коэффициенты ХП по формуле сложности пт: m ai = 1 -Z lq(k+i-f) bJ , i = 1,2,..., n. (11) j =1 С учетом этого суммарный порядок сложности данного метода нахождения коэффициентов (1) составляет т(п + т). 7 В.А. Коднянко В тех случаях, когда s = Sj является нулем ПФ или необходимо найти лишь коэффициенты ХП, можно применить другой подход. Перепишем уравнение (3) форме b1 + b2s +... + bmsm 1 - O(s)(a1 + a2s +... + ansn ') =---0. Следуя изложенному методу, процедуру нахождения коэффициентов ХП можно свести к решению системы уравнений более низкого порядка n < k Da = d, (12) где lm-1 l , m-2 .. l2m+1 L 1 2m l m lm-1. .. l2m+2 l2m+1 D = - nxn , li- =1 Z°( Sj) S (i, j), i = 1,2,..., k, lk-3 4-4 .. lm-1 l 9 m- 2 k j=1 _ lk-2 lk-3. .. l m lm-1 _ lk = lk -1 - Ь0, di = lm+i-1, i = 1, 2,...,П - 1 dn = lk. В сравнении с (10) система (12), как правило, имеет несколько больший порядок n > m, однако ее решение позволяет сразу найти коэффициенты ХП, минуя процедуру нахождения полинома числителя ПФ. Система (12) также может быть решена упомянутыми быстрыми методами с порядком 2 сложности n . 3. Методика расчета корневых критериев качества динамической системы с распределенными параметрами Для оценки качества динамики линейных систем автоматического управления часто используются корневые критерии [2, 19]: - степень устойчивости n = Max Re{s,}, где s, - нули характеристического полинома динамической системы, которым является полином - знаменатель ПФ (1); - затухание колебаний за период £ = 100[1 - Exp(- |2лр/п|]%, где в - мнимая часть корня характеристического уравнения с наибольшей действительной частью. Степень устойчивости n характеризует быстродействие системы, т.е. быстроту затухания ее свободных колебаний. Критерий £ затухания колебаний за период может быть применен к оценке запаса устойчивости системы. Чем меньше £, тем большую колебательность будет иметь переходная характеристика, а система - меньший запас устойчивости. Считается, что динамическая система хорошо демпфирована, если £ > 90% [2]. Вначале, используя алгоритмом расчета значений передаточной функции, необходимо определить разность степеней полиномом ПФ p = n - m на основании (2). Дальнейшие вычисления ведутся при помощи следующего итерационного процесса. Шаг 1. Положить i = 1 и m = 1, no = inf, £о = inf, где inf - большое число (например, inf = 1010), задать точность определения степени устойчивости ел и затухания колебаний за период в£. Шаг 2. Вычислить n = p + m и, выполнив рациональную интерполяцию по формуле (11), найти вектор а коэффициентов ХП. Шаг 3. Определить корни характеристического уравнения, найти среди них корень с наибольшей действительной частью и вычислить критерии п, и £■. Шаг 4. Проверить выполнение условий сходимости итерационного процесса к решению hi- п-1| 0, критерий затухания колебаний за период ^ = 100%. Это значит, что система устойчива и характеризуется отсутствием колебательности, что свидетельствует о высоком качестве ее динамики. Заключение В работе предложен метод рациональной интерполяции передаточной функции линейных систем с распределенными параметрами, значения которой могут быть найдены численными методами либо иным образом, например расчетом трансцендентных функций переменной интегрального преобразования Лапласа. Метод позволяет определить в явном виде характеристическое уравнение такой степени, которая достаточна для удовлетворения требований точности при расчете корневых критериев качества динамики систем автоматического управления. Согласно предложенному методу рациональная интерполяция сводится к решению системы линейных уравнений, порядок которой значительно ниже (более чем вдвое) порядка аналогичных систем, применяемых для рациональной интерполяции функций известными методами. Свойства данной системы таковы, что при необходимости ее решение может быть получено специальными быстрыми методами квадратичного порядка сложности. Рассмотрен демонстрационный алгоритм вычисления корневых критериев качества системы автоматического управления на примере оценки качества динамики опоры с газовой смазкой. Алгоритм позволил вычислить критерии качества с требуемой точностью за четыре итерации, на каждой из которых последовательно выполнялась рациональная интерполяция передаточной функции, полученной решением нескольких задач для дифференциальных уравнений конечно-разностным методом прогонки высокой точности.

Скачать электронную версию публикации