The development of training procedures for modeling the processes of diagnosing technical systems.pdf Разработка и совершенствование математического обеспечения процессов диагностирования сложных технических систем имеет особую актуальность, поскольку является необходимым условием повышения достоверности решений о техническом состоянии. Решение указанной задачи предполагает формализованное описание как работоспособного состояния системы, так и неработоспособных состояний, обусловленных отказами различных функциональных элементов. В терминологии теории распознавания образов [1, 2] - методологической базы технической диагностики - описание конкретного состояния системы называется его изображением. Совокупность изображений работоспособного и всех неработоспособных состояний составляет основу модели диагностирования системы. Теоретические и прикладные вопросы диагностики активно решаются в различных областях техники [3-11]. Критический анализ и осмысление полученных результатов показывают, что в указанных работах не уделяется должного внимания вопросам эффективного использования статистической информации о состоянии систем. В то же время получение такой информации, прежде всего по неработоспособным состояниям системы, является одним из самых трудоемких предварительных этапов разработки моделей. Целью данной работы является дальнейшее развитие подходов [12, 13] к моделированию процессов диагностирования, в частности к построению изображений неработоспособных состояний при острой ограниченности и недостаточном качестве статистических данных об исследуемой системе. 1. Теоретические основы обучения при синтезе изображений неработоспособных состояний системы Разрабатываются методы синтеза изображений на основе обучающих процедур [1, 2, 4, 5, 1113]. В обобщенном виде данные методы могут быть представлены следующим образом. Пусть Y = (л, У2,-> Уп )т (1) вектор зарегистрированных значений физических величин, характеризующих внутреннее состояние системы. Вектором (1) определяется наблюдаемое состояние, а его компоненты y, j = 1,n выступают в качестве диагностических (информативных) параметров. Всевозможные наблюдаемые состояния образуют множество Y = {Y} , (2) 38 Развитие обучающих процедур при моделировании процессов диагностирования технических систем на котором задается структура «-мерного евклидова пространства [14. С. 55]. Тогда подмножество Yi (Yi с Y) являет собой неработоспособное состояние, обусловленное отказом i-го функционального элемента системы (далее - i-е неработоспособное состояние). Любое из подмножеств Yi есть область в пространстве (2), которая ограничивается диапазонами (3) Ач = У; yij ] > i =1 m , J =n, изменения диагностических параметров (где ун, ув - соответственно нижнее и верхнее граничные значения j-го диагностического параметра в i-м неработоспособном состоянии системы; m - мощность множества рассматриваемых неработоспособных состояний). Области Yi, i = 1, m (4) в евклидовом пространстве (2) могут пересекаться в силу самых различных факторов, среди которых возможность лишь приближенной оценки диапазонов (3) на основе имеющейся статистической информации о неработоспособных состояниях системы. Поэтому каждую область необходимо заменить одним элементом - изображением i-го неработоспособного состояния, которое формируется в виде вектора (5) Е і = ( eiU ei 2,■■■, ein )т, E i где E = {Ei | i = 1,m} (6) множество изображений всех неработоспособных состояний. Изображение Ei должно аккумулировать в себе свойства всей i-й области (4). Иначе, произвольная компонента ej вектора (5) характеризует подобие наблюдаемых состояний (1), представляющих i-е неработоспособное состояние, по j-му диагностическому параметру. Предполагается, что для построения изображений из множества (6) сформирована обучающая выборка наблюдаемых состояний (обучающих образов), принадлежность которых каждой области (4) известна: {Yl\\k = Щ } с Yi, i = im, (7) где Ni - мощность множества обучающих образов по i-му неработоспособному состоянию системы. Выборка (7) характеризуется неоднородностью и ограниченным объемом, что связано с высокой трудоемкостью получения статистических данных о неработоспособных состояниях систем. Неоднородная статистическая информация малых объемов обрабатывается методами непараметрического статистического анализа, к которым относится метод стохастической аппроксимации [2. С. 384]. На его основе предлагаются различные алгоритмы, но наиболее универсальной является вычислительная схема, реализуемая рекуррентными соотношениями Е,-(k) = Ег(k-Y)- 1[Ei(k-11 -G(Y(k))], i = 1^. (8) k Указанные соотношения позволяют выводить изображение Ei(k) на текущем шаге через это же изображение Ei(k - 1) на предыдущем шаге и очередной элемент Y1 из обучающей выборки (7). В структуре выражения (8) содержится векторная функция G(Y) = (gi(Y), g2(Y),..., (Y))т, (9) которая представляет ортогональное преобразование наблюдаемого состояния Y. Иначе, попарные скалярные произведения координатных функций в (9) должны быть равны нулю: ( gr , gs) = 0, r = 1, n, s = 1, n, r * s . (10) Для векторного преобразования (9) в работах [5. С. 191; 12. С. 35; 13. С. 2] аргументируется применение тригонометрического базиса 1, sin lx, cos lx, l e N, x e R, (11) где N - множество натуральных чисел; R - множество вещественных чисел. 39 В.И. Сеньченков, А.С. Матюнин Базис (11) содержится в пространстве C2 непрерывных функций, квадратично интегрируемых по Риману [15. С. 158], с областью определения [-п; п], где п ~ 3,14. Известно, что скалярное произведение в С2[-п; п] определяется выражением П (gr, gs) =1 grgd, r, s e N, r *s . -П Если в качестве элементов gr, gs пространства С2[-п; п] употреблять базисные функции из (11), то П (sin rx, cos sx) = J sin rx ■ cos sxdx = 0 ; -П (sin rx, sin sx) = 0; (cos rx, cos sx) = 0 ; (1, sin rx) = 0; (1, cos rx) = 0 . Поскольку равенства (10) справедливы для всех элементов базиса (11), он является ортогональным в пространстве С2[-п; п]. Начальные элементы данного базиса могут использоваться для построения системы функций (9). Произвольная координатная функция gr(Y) задается следующими соотношениями [12. С. 35, 13. С. 2]: (12) gr (Y) = < 5r;sin ly j, l = (j +1)/2, j - нечетно; Srj cos ly j, l = j /2, j - четно; r , j = 1, n, 1, r = j; ', r * j При указанном задании каждая функция gr(Y) определяется только одним элементом базиса (11), влияние других элементов исключается введением в соотношения (12) символа Кронекера (13). где ^ = I 0. - символ Кронекера. (13) 2. Обучение с применением ортогонального базиса в функциональных пространствах с произвольной областью определения В предыдущих работах [5, 12, 13] не акцентировалось внимание на том, что базис (11) является ортогональным только в пространствах С2, которые заданы на интервале [-п; п]. Это частный случай данных пространств. Из указанного факта следует, что строгая попарная ортогональность координат вектора (9) соблюдается только при Ы -п, j = 1,n . (14) Неравенство (14) указывает на ограниченность по модулю значений диагностических параметров системы величиной 3,14. В действительности диагностические параметры сложных технических систем могут принимать любые конечные значения. Если условие (14) не выполняется, координатные функции в (9) свойством попарной ортогональности в полной мере не обладают. Это может отрицательно сказываться на качестве процесса обучения и в конечном счете снижать результативность диагностирования. Следовательно, необходим поиск способов обеспечения ортогональности координат вектора (9), когда диагностические параметры принимают произвольные конечные значения: \\У]\\ - z, j = 1,n, z e R+, (15) где R+ - множество положительных вещественных чисел. Если базис (11) рассматривать в категориях гармонического анализа [14. С. 488], будет допустимой трактовка каждой из функций sin/x, coslx как отдельной гармоники на интервале [-п; п] с периодом T = 2п//. Тогда на интервале [ - z; z] (16) в виде аналогичных гармоник могут рассматриваться функции 40 Развитие обучающих процедур при моделировании процессов диагностирования технических систем sin-lx, cos-lx z z с периодом T = 2z/l. Из представленных рассуждений следует, что базис 1, sin-lx, cos-lx, (17) z z является ортогональным в пространстве C2[-z; z]. Действительно, попарные скалярные произведения элементов базиса (17) равны нулю: - - z - - 1 | z - z - I (sin - rx, cos-sx) = J sin - rx • cos - sxdx = -\\ J sin - (r + s)xdx + J sin - (r - s)xdx I = z z -z z z 2\\-z z -z z I f Z n., -cos-(r + s)x -(r + s) z ---- cos-(r - s)x -(r - s) z Л ■ J ( 2 , cos-(r + s)z - cos-(r + s)( - z) 1+---- -(r + s) \\ z z J -(r - s) cos-(r - s)z - cos - (r - s)( - z) zz 1 ( 2 -(r + s) (cos(r + s)- - cos(r + s)-) +- --(cos(r - s)- - cos(r - s)-) Л = 0; - - - - - - аналогично (sin-rx, sin-sx) = 0 , (cos-rx, cos - sx) = 0, (1, sin-rx) = 0, (1, cos-rx) = 0 . z z z z z z Возникает вопрос, какой должна быть величина z, определяющая диапазон ортогональности базиса (17). Пусть z равна максимальной по модулю координате вектора Y: z = max jy.| | j = 1, n } . (18) Тогда (16) будет самым узким интервалом из тех, которые охватывают все координаты наблюдаемого состояния Y. Использование такого интервала упрощает вычислительные операции и повышает их точность, поскольку он не включает избыточные величины в отличие от более широких интервалов. По этой причине в качестве рабочего принимается базис (17), а граничные точки области определения пространства C2[-z; z] задаются условием (18). Таким образом, попарная ортогональность элементов системы (9) имеет место при любых значениях координат вектора Y, если выражение (12) принимает вид: - sin ly., l = (j +1)/2, j - нечетно; J z (19) gr (Y) = i &rj cos - lyj, l = j /2, j - четно; r, j = 1, n. Начальное приближение процесса обучения (изображение на первом шаге) в дальнейшем принимается в виде элемента Y! из выборки (7), преобразованного на основе (19): E; (1) =G(Y* (1)), i = 1m . (20) Соотношениями (8) реализуются второй и последующие шаги. Тригонометрическим преобразованием (19) обеспечивается ограниченность компонентов ву в изображениях (5) интервалом [-1; 1]. Это означает, что на множестве всех преобразованных элементов пространства (2) генерируется замкнутое и ограниченное евклидово пространство G(Y). Метрика данного пространства будет другой в сравнении с метрикой исходной структуры (2), поскольку каждая его координата локализована в диапазоне [-1; 1]. Топология G(Y) характерна тем, что в нем выделяются области G(Y), частично пересекающиеся между собой. При этом G(Y) содержит в себе и множество (6) построенных изображений (Eс G(Y)). 41 В.И. Сеньченков, А.С. Матюнин 3. Сходимость процесса обучения с применением тригонометрических базисов Анализ пространства G(Y) приводит к заключению, что на основе его метрических соотношений может быть задано условие сходимости процесса обучения: lim р (E; ( k ),E; ) = 0, (21) k ^ где Ег- - оптимальное изображение i-го неработоспособного состояния; ( « « р(Е (k),Е;) = 2 (еу - еу (k))2 - расстояние в пространстве G(Y) между векторами Ег(к) и Ег- . V j =1 ) Предельное условие (21) показывает результат обучения, когда допускается возможность неограниченного увеличения количества шагов (к ^ да). Для любой конкретной системы формируются только приближенно оптимальные изображения в силу ограниченности обучающей выборки (7). Поскольку объем данной выборки по каждому неработоспособному состоянию составляет N элементов, оптимальным изображением считается полученное на заключительном шаге: Е* = Еi (N), i = . (22) После завершения этапа синтеза изображений встает задача распознавания текущих состояний системы, для этого также целесообразно опираться на метрику евклидова пространства G(Y). Наблюдаемое состояние Y, которого нет в обучающей выборке, идентифицируется с одним из неработоспособных состояний по критерию минимума метрического различия [5. С. 229; 16. С. 953] в пространстве G(Y) между G(Y) и изображениями из множества (6): Y е Yi, если p(G(Y),Е,) = min |p(G(Y),Ек)}, i = 1,m . (23) к=1, m Применение критерия вида (23) всегда дает однозначный результат при условии, что он базируется на метрике замкнутого и ограниченного пространства [17. С. 360]. Введение условия (21) позволяет сравнивать сходимость различных вариантов процесса обучения. Пусть 5 - расстояние в евклидовом пространстве G(Y) между векторами изображения на текущем и последующем шагах обучения: Р(Еiк),Е,(к +1)) = 5 . (24) Если 5і и 52 - расстояния вида (24) при обучении на основе базисов (11) и (17) соответственно (варианты обучения 1 и 2), то при 52 < 5і сходимость выше по варианту 2. Указанное неравенство может означать и пренебрежимо малое повышение сходимости обучения в случае использования базиса (17), если сравниваемые расстояния сопоставимы между собой. В действительности указанный базис обеспечивает значимое преимущество при формировании изображений, когда величина (25) L = • 100 51 52 (относительное различие между расстояниями 51 и 52) будет не меньше интегральной относительной погрешности Л регистрации диагностических параметров в контрольных точках системы: L >Л. (26) Пример. Наблюдаемое состояние системы задано вектором, включающим пять диагностических параметров: Y = (У^ У2 , Уз , У4 , У5 )т. Сформирована обучающая выборка по і-му неработоспособному состоянию системы (N = 12): Y = (5, 6, 1, 1,8, 2,5)т; Y2 = (5,5, 5,8, 1,2, 2,1, 2,7)т; Y( = (5,8, 5,1, 0,9, 1,6, 2,8)т; Y4 = (5,1, 4,8, 1,4, 1,7, 2,6)т; Yi = (6, 5,6, 1,3, 1,7, 2,7)т; Y6 = (5,1, 6, 1,1, 2, 2,5)т ; Y7 = (6,1, 5,4, 1, 2,2, 2,4)т; Y' = (5,3, 6,2, 1,2, 1,6, 2,5)т; Yi = (5, 6,1, 1,1, 2,1, 2,7)т ; Y2 = (5,8, 5,5, 0,9, 1,6, 2,4)т . Yi0 = (5,2, 6,3, 1, 2, 2,7)т Yi1 = (5,1, 6, 1,3, 1,8, 2,8)т 42 Развитие обучающих процедур при моделировании процессов диагностирования технических систем Интегральная относительная погрешность Л регистрации диагностических параметров составляет 10%. Требуется построить изображение /-го неработоспособного состояния. В каждом обучающем образе имеются координаты со значениями, выходящими за диапазон ортогональности базиса (11): VY ^, j = 1,5: У* > %. Следовательно, процедуру обучения целесообразно выстраивать на основе базиса (17) или, что равносильно, в рекуррентных соотношениях (8) использовать ортогональное преобразование (9) с координатными функциями (19). Пусть z(k) - величина, которая определяет диапазон попарной ортогональности элементов системы (9) при выполнении k-го шага обучения. Тогда из (18) следует z(1) = max {5, 6, 1, 1,8, 2,5} = 6. В соответствии с выражениями (19), (20) первый шаг обучения задается как Второй шаг заключается в ортогональном преобразовании обучающего образа Y2i и поиске приближения E/(2): z(2) = max{5,5, 5,8, 1,2, 2,1, 2,7} = 5,8; ^sin ( (%/5,8) • 5,5) Л cos ( (%/5,8) • 5,8) sin ( (%/5,8) • 2 -1,2) cos ( (%/5,8) • 2 • 2,1) sin ( (%/5,8) • 3 • 2,7 ) G(Yl (2))= из (8) следует E, (2) = E, (1) -1 [ E, (1) - G(Y' (2)) ] = ( 0,50 5 -1,00 0,87 -0,30 -0,71 (sin 2,98 5 ( 0,16 5 cos3,14 -1,00 = sin1,30 = 0,96 cos2,27 -0,64 v sin 4,39 j v-0,95 j ( 0,50 5 -1,00 0,87 -0,30 -0,71 ( 0,16 5 -1,00 0,96 -0,64 -0,95 ( 0,33 5 -1,00 0,92 -0,47 -0,83 E, (1) = G(Y * (1))= sin ( (%/6) • 5) 5 (sin 2,62 5 ( 0,50Л cos((%/6) • 6) cos3,14 -1,00 sin ( (%/6) • 2 4) = sin1,05 = 0,87 cos ( (%/ 6) • 2 4,8) cos1,88 -0,30 sin ( (%/ 6) • 3 • 2,5) j v sin 3,93 j v-0,71 j Таким же образом выполняются следующие шаги обучающей процедуры, которые сведены в таблицу. Последовательность шагов процесса обучения Y/(1) G(Y/(1)) Y/(2) G(Y/(2)) E/(2) Y/(3) G(Y/(3)) E/(3) 5 0,50 5,5 0,16 0,33 5,8 0,00 0,22 6 -1,00 5,8 -1,00 -1,00 5,1 -0,93 -0,98 1 0,87 1,2 0,96 0,92 0,9 0,82 0,89 1,8 -0,30 2,1 -0,64 -0,47 1,6 -0,16 -0,37 2,5 -0,71 2,7 -0,95 -0,83 2,8 -0,99 -0,88 43 В.И. Сеньченков, А.С. Матюнин Окончание таблицы Y'(4) G(Yi(4)) Ei(4) Y'(5) G(Yi(5)) Ei(5) Y'(6) G(Yi(6)) Ei(6) 5,1 0,00 0,16 6,0 0,00 0,13 5,1 0,45 0,18 4,8 -0,98 -0,98 5,6 -0,98 -0,98 6,0 -1,00 -0,98 1,4 0,99 0,92 1,3 0,82 0,90 1,1 0,91 0,90 1,7 -0,50 -0,40 1,7 -0,21 -0,36 2,0 -0,50 -0,38 2,6 -1,00 -0,91 2,7 -0,89 -0,90 2,5 -0,71 -0,87 Y'(7) G(Yi(7)) Ei(7) Y'(8) G(Yi(8)) Ei(8) Y'(9) G(Yi(9)) Ei(9) 5,4 -0,00 0,15 5,3 0,44 0,19 5 -0,53 0,23 6,2 -0,98 -0,98 6,2 -1,00 -0,98 6,1 -1,00 -0,98 1 0,82 0,89 1,2 0,94 0,90 1,1 0,90 0,90 2,2 -0,21 -0,36 1,6 -0,05 -0,32 2,1 -0,56 -0,35 2,4 -0,89 -0,87 2,5 -0,61 -0,84 2,7 -0,86 -0,84 Yi(10) G(Yi(10)) Ei(10) Yi(11) G(Yi(11)) Ei(11) Y'(12) G(Yi(12)) Ei(12) 5,2 -0,52 0,26 5,1 -0,45 0,28 5,8 0,00 0,26 6,3 -1,00 -0,98 6 -1,00 -0,98 5,5 -0,99 -0,98 1 0,84 0,89 1,3 0,98 0,90 0,9 0,82 0,89 2 -0,41 -036 1,8 -0,30 -0,35 1,6 -0,16 -0,33 2,7 -0,78 -0,83 2,8 -0,95 -0,84 2,4 -0,69 -0,83 На основании (22) оптимальным считается изображение Е, = Ei(12), представленное в таблице. Расстояние (24) между векторами изображения на предпоследнем и последнем шагах обучения: S2 = р(Ег (11), Ег (12))= ((0,26 - 0,28)2 + ( - 0,98+0,98)2 + (0,89 - 0,90)2 + +(- 0,33+0,35)2 + (- 0,83+0,84)2 )0,5 = 0,032 . Аналогичным образом выполнена процедура обучения с использованием той же выборки, что и в данном примере, на основе базиса (11), т.е. в рекуррентных соотношениях (8) применены координатные функции (12). Все этапы указанной процедуры показаны в работе [12. С. 36], расстояние (24) между векторами изображения на тех же шагах обучения составляет 8і =Р(Е,.(11), ЕД12)) = 0,039 . Относительное различие (25) между расстояниями 5і и 62: 18%. і = .100= 0,039 Неравенство (26) выполняется, тем самым пример подтверждает теоретические рассуждения о повышении эффективности использования статистической информации в случае применения тригонометрического базиса, ортогонального в пространстве C2[-z; z]. При одном и том же объеме Ni выборки (7) имеет место более высокая степень приближения текущего изображения к оптимальному. Заключение В работе представлен в обобщенном виде подход к формированию изображений неработоспособных состояний системы посредством обучающей процедуры, разработанной на базе метода стохастической аппроксимации. Показано, что в соотношениях, реализующих процесс обучения, следует использовать ортогональный тригонометрический базис в пространствах С2 с областью определения, которая охватывает все координаты наблюдаемого состояния системы. При этом обеспечивается повышение сходимости процесса обучения по сравнению с предшествующими разработками. 44 Развитие обучающих процедур при моделировании процессов диагностирования технических систем

Скачать электронную версию публикации