Algorithms of multifractal wavelet analysis in problems of specifying raster images of self-similar structures.pdf На современном этапе теория самоорганизации представляет перспективное направление, которое активно используется для исследования объектов, обнаруживающих самоподобие и высокую степень самоупорядочения или, напротив, обладающих свойствами диссипативности, нерегулярности, шероховатости, хаоса и беспорядка [1]. Концепции теории фракталов часто выступают в качестве теоретического базиса, привлекаемого для математической формализации и количественного анализа различных твердотельных структур. Как известно, центральным понятием теории фракталов является фрактальная размерность. Сложные физические системы характеризуются проявлением свойств самоподобия в иерархии масштабных уровней, поэтому для спецификации таких объектов - мультифракталов - используют спектр размерностей. Основной подход в применении методов фрактального и мультифрактального анализа состоит в установлении зависимостей между физическими свойствами физического объекта и скейлинговыми характеристиками его структуры или динамического поведения. Особую роль в практике приобретают алгоритмы мультифрактальной параметризации как инструменты детального анализа дисперсии фрактальных размерностей [2]. Одной из важнейших задач рассматривается проблема обработки, характеризации и классификации сложных 2D- и ЗО-структур на основе математического аппарата мультифрактального анализа. В числе методов мультифрактального анализа растровых изображений особого внимания заслуживают методы, основанные на покрытии объекта кластерами, когда не только происходит подсчет количества «занятых» кластеров при уменьшении их размера, но и определяется их удельный вес. Методы этой группы базируются на идее метода покрытий. Другим многообещающим и непрерывно развивающимся направлением является использование вейвлет-преобразований для оценки мультифрактальных характеристик изображений. Так, метод максимумов модулей вейвлетпреобразования (ММВП), предложенный Мьюзи, Бакри и Арнеодо [3], нашел применение не только для анализа временных рядов, но и для расчета скейлинговых характеристик растровых изображений [4-5] и даже распространился на 3D растровые и векторные поля [6]. Альтернативными подходами являются основанный на вейвлет-преобразованиях метод мультифрактального флуктуационного анализа [7] и методы, использующие дискретное вейвлет-преобразование, в частности метод вейвлет-лидеров [8-9]. Все указанные подходы вполне сопоставимы в плане алгоритмической сложности, точности и потенциальности для расчета скейлинговых характеристик. В числе твердотельных структур, обладающих интересными фрактальными свойствами, можно выделить особый класс полярных диэлектрических материалов - сегнетоэлектрики. Сегнетоэлектри-61 А.Г. Масловская, Л.С. Афанасов ческий кристалл имеет неоднородную структуру и разбит на домены, каждому из которых соответствует определенное направление спонтанной поляризации. Способность сегнетоэлектриков переключать поляризацию под внешним воздействием обусловливает востребованность этих материалов в микроэлектронике, оптике, акустике, пиро- и пьезотехнике, приемниках и преобразователях излучений. Доменные конфигурации типичных сегнетоэлектриков являются результатом процесса самоорганизации и обнаруживают самоподобные геометрические свойства. Фрактальность сегнетоэлектриче-ских доменов была установлена рядом независимых авторов на основе анализа растровых изображений, полученных методом селективного химического травления, поляризационным или зондовыми методами (растровой электронной микроскопии (РЭМ) и атомно-силовой микроскопии) [10-13]. Можно также отметить, что фрактальная динамика доменов, эффекты памяти, присутствие шумовых компонент в поляризационных и диэлектрических откликах, а также скачки Баркгаузена, вызванные сложным характером перестройки доменов, были исследованы с привлечением методов фрактального анализа временных рядов, теории клеточных автоматов, перколяции и математического аппарата дробного дифференцирования [14-15]. Рассматривая РЭМ-изображения сегнетоэлектрических доменов как объекты фрактального анализа, требуется учитывать их специфику. Изображения в РЭМ формируются построчно и представляют результат регистрации видеосигнала как отклика образца на воздействие электронного зонда. Поскольку мультифрактальный вейвлет-анализ предоставляет гибкий математический инструмент для диагностики сложных сигналов, возможности частных методик могут быть применены для характеризации сегнетоэлектриков. В частности, одномерный метод максимумов модулей вейвлетпреобразования может быть использован для спецификации РЭМ-контраста сложных структур на основе анализа профиля видеосигнала. Настоящая работа направлена на развитие алгоритмов в концепции ММВП, разработку системы компьютерного анализа скейлинговых характеристик самоподобных физических структур и применение данной методики к задачам исследования мультифрактальных свойств РЭМ-изображений доменных конфигураций типичных сегнетоэлектриков. 1. Математический аппарат вейвлет-мультифрактального анализа Теория вейвлет-анализа была разработана для исследования временных рядов с меняющимся спектральным составом и выступила конкурирующей альтернативой преобразованию Фурье, дающему локализацию частот без временного разрешения, и возможностям функций Шеннона, специфицирующих моменты времени без частотного разрешения [16]. Семейство вейвлет-анализаторов позволяет на основе частотно-временной локализации характеризовать структуру неоднородных объектов. Вейвлет-преобразование строится на основе солитоноподобной функции у из пространства L2(R). В вейвлет-преобразованиях масштаб заменяет понятие частоты, применяемой в спектральном анализе. Для покрытия вейвлетами временной оси вводится сдвиг функций, и используемые вейвлеты представляются функциями вида: y([t - b]/a), где b - сдвиг, a - масштаб. Непрерывное вейвлетпреобразование некоторой функции g(t) задается в виде: W ( a, b ) 1 да J я(Оѵ -да ' t_-b_ I a dt. (1) Вейвлеты также ассоциируют с «математическим микроскопом», определяя параметр сдвига b как позицию «фокусировки», масштаб a - как увеличение, а сам вейвлет - как «разрешающую способность» [16]. Поскольку различные вейвлеты обладают различными особенностями во временном и частотном пространствах, ключевая роль при анализе данных отводится выбору вейвлета. Наиболее известным подходом к конструированию материнских вейвлетов является использование производных функций Гаусса: ут (t) = (-1)” 3” exp (-t V2)] . Использование производных более высоких порядков, с одной стороны, дает возможность расширить функционал вейвлета за счет извлечения детальной ин-62 Алгоритмы мультифрактального вейвлет-анализа в задачах спецификации растровых изображений формации из данных, но, с другой стороны, требует контроля соотношения между гладкостью вейвлета и анализируемого сигнала. Поэтому на практике особенно востребованными оказались вейвлеты первого (WAVE-вейвлет, m = 1) и второго («мексиканская шляпа», или MHAT-вейвлет, m = 2) порядков [17]. Рассмотрим базовые концепции ММВП. Как показывает практика, более устойчивый результат метод демонстрирует при использовании предварительной нормализации и исключения линейного тренда исходного сигнала G(t) путем построения его «профиля» g (t) = \\0 (tt) - (G)|, i = 1, N, где (G) среднее арифметическое значений исходного ряда. Первый шаг ММВП предполагает проведение непрерывного вейвлет-преобразования функции g(t) по соотношению (1), которое часто реализуют на основе приближенного представления интеграла: 1 N (i-b\\ W(a,b) = Z gi-yl-I . (2) Vai=i ^ a ) Многие авторы также допускают модификацию преобразований (1) и (2) с учетом умножения правой части на коэффициент і/\\fa [17]. Результатом проведенного вейвлет-преобразования является зависящая от двух координат регулярная функция W(a, b), для геометрической интерпретации которой традиционно используют поверхность в трехмерном пространстве и проекцию на плоскость (a, b). Другой важной характеристикой является скелетон - линии локальных экстремумов функции (максимумов и минимумов) W(a, b) для каждого значения масштабного коэффициента а. Второй шаг алгоритма ММВП состоит в оценке скейлинговых характеристик анализируемых сигналов на основе полученных данных. С этой целью используют статистические функции Z (q, a)= Z W(a', xl (a')f , (3) leL( a) где L(a) - множество всех линий l локальных максимумов модулей вейвлет-коэффициентов W(a, b), существующих на масштабе a; q - дискретный массив эмпирически устанавливаемых параметров деформации. Для более корректного воспроизведения функций Z(q, a) при отрицательных значениях параметра деформации q оценку получают посредством вычисления максимальных значений модулей коэффициентов вейвлет-преобразования вдоль каждой линии локальных экстремумов l на всех масштабах a', меньших заданного значения масштабного параметра a, по формуле Z ( q, a ) z leL( a ) SUPa', откуда, выполнив построение зависимостей Z(a) для каждого q в двойном логарифмическом масштабе, можно получить оценку скейлинговой экспоненты x(q), которая имеет вид линейной зависимости для монофрактальных объектов и нелинейной - для мультифракталов: x(q) = qh - 1, где h(q) - альтернативная характеристика, связанная со спектром размерностей D(q) фрактального множества: D(q) = x(q)/(q - 1). Преобразование Лежандра позволяет установить связь между основными спектральными характеристиками рассматриваемого мультифрактального множества: a(q) = d x( q )/ dq , f(a) = q-a-x(q), (5) где a - экспоненты Гёльдера и fa) - спектр сингулярностей. Носителем фрактальной меры является множество ¥, представляющее собой объединение фрактальных подмножеств ^a. Множество ^ характеризуется фрактальной размерностью D, а каждое из подмножеств ^a - величиной fa < D). 2. Алгоритмы фильтрации и маркировки линий локальных максимумов Анализируя ММВП, можно отметить, что ключевым этапом, представляющим сложность в алгоритмическом плане, является запись скелетона функции W(a, b) согласно (1) или (2) в виде, 63 А.Г. Масловская, Л.С. Афанасов пригодном для дальнейшего вычисления статистических функций Z(q, a). При построении линий локальных максимумов могут возникнуть цепочки «ложных» или, как отмечают авторы работы [18], «грязных» максимумов. Кроме того, возможно присутствие «висячих» или «обрывающихся» максимумов, не относящихся к продолжающимся линиям, как показано на рис. 1. Рис. 1. Пример фильтрации и маркировки линий локальных максимумов (квадратами обозначены минимумы, закрашенными кругами - максимумы, подлежащие маркировке, пустыми кругами - «ложные» максимумы) Fig. 1. An example of filtering and marking the local maxima lines (squares refer to minima, shaded circles - marked maxima, and empty circles - “false” maxima) Подобные «артефакты» искажают результат вычисления значений статистических функций, поэтому возникает подзадача фильтрации линий локальных максимумов, которая позволит исключить из рассмотрения «ложные» максимумы. Данный аспект ММВП, как отмечено в работе [18], относится «к темной стороне» алгоритма. Многие авторы избегают организации подобных процедур, ограничиваясь работой с матрицей максимумов модулей коэффициентов вейвлет-преобразования, включающей «ложные» цепочки. Результата процедуры фильтрации будет достаточно для построения функций Z(q, а) по формуле (3). Однако для того, чтобы воспользоваться соотношением (4), необходимо знать, какой цепочке принадлежит подлежащий просмотру максимум, чтобы определить максимальное значение вдоль каждой линии. Здесь возникает другая подзадача - маркировки локальных максимумов. Многие авторы также отказываются от программной реализации этого подхода в пользу применения более простого соотношения (3). В рамках реализации ММВП введем в рассмотрение следующие алгоритмы фильтрации и маркировки линий локальных максимумов. Алгоритм основной функции формализован с помощью блок-схемы, приведенной на рис. 2. Входными параметрами являются: Scales - диапазон изменения масштаба a; D - матрица максимумов модулей коэффициентов вейвлет-преобразования W(a, b). Выходные данные: FiltD -сформированная в результате фильтрации матрица максимумов модулей коэффициентов вейвлетпреобразования; MarkD - матрица, содержащая уникальные для каждой линии максимумов метки. Процесс поиска выполняется последовательно на каждом масштабе снизу вверх. На первом шаге выполняется инициализация матриц FiltD и Mark D как матриц с нулевыми элементами. Далее значения для первой строки матрицы Filt D определяются равными значениям первой строки матрицы D. Выполняется маркировка для самого нижнего уровня масштаба a: каждый максимум маркируется цифрой и маркер инкрементируется. На втором шаге выполняется цикличный перебор всех значений матрицы D на каждом масштабе ai. Если при просмотре элементов массива Filt D было найдено значение, отличное от нуля, то выполняется вызов вспомогательной функции next max, которая выполняет поиск индексов максимума на следующем масштабе от текущей позиции. Далее осуществляется маркировка вновь найденного максимума: значение маркера равно значению маркера максимума, для которого был проведен поиск. 64 Алгоритмы мультифрактального вейвлет-анализа в задачах спецификации растровых изображений Рис. 2. Блок-схема алгоритма Fig. 2. The flowchart of the algorithm Входными параметрами вспомогательной функции next max являются: значение масштаба а+і, на котором производится поиск максимума; массивы D иMark_D. Выходные данные: i_a, i_b - позиция максимума на уровне аг+1, принадлежащего той же линии, что и максимум, из которого ведется поиск. Первый этап предполагает инициализацию индексов и переменной шага для поиска. Если значение переданного искомого масштаба аг+1 меньше максимального возможного значения, то выполняются дальнейшие шаги алгоритма для поиска максимума, в противном случае происходит выход из функции. Следующий шаг - фиксация диапазона для поиска максимума на текущем значении масштаба и контроль достижения границ. Выполняется проход по диапазону для поиска близлежащего немаркированного максимума на заданном масштабе. Если при переборе было найдено значение, отличное от нуля, и в матрице Mark D с теми же индексами не был записан маркер, то выполняется запись индексов данного максимума. После полного прохода от крайней левой точки до крайней правой выбираются индексы того максимума, который был расположен ближе к исходной позиции по j. А если при полном проходе ни одного из максимума не было найдено, то функция вернет индексы нулевыми. Предложенные алгоритмы в концепции ММВП могут быть применены для мультифрактального анализа растровых изображений. Строго говоря, особенностью описанного выше метода является его локальная одномерность: исследованию подлежит «сигнал» - выбранная строка растрового изображения. Система компьютерного анализа реализована в виде программного приложения в IIIIII Matlab, структура которого представлена на рис. 3. Графический интерфейс пользователя позволяет загрузить исследуемое изображение в рабочую область, зафиксировать определенный профиль изображения для анализа, осуществить выбор материнского вейвлета и выполнить расчет мультифрактальных характеристик. Модуль обработки транслирует монохромное изображение в матрицу яркости и выделяет «двумерный сигнал», соответствующий профилю изображения, выбранному пользователем. Следующий модуль выполняет вейвлет-преобразование, строит поверхность коэффициентов вейвлет-преобразования. Далее следует блок построения скелетона на основе алгоритмов фильтрации и маркировки линий локальных экстремумов, после чего ММВЛ рассчитываются характеристики анализируемого множества: скейлинговая экспонента x(q), значения экспонент Гёльдера a(q) и спектр сингулярностей fa). !рограмма сохраняет данные в библиотеку файлов и выводит результаты расчета в графическую область. 65 I Исходные изображения. Модуль обработки растровых изображении А.Г. Масловская, Л.С. Афанасов Графический интерфейс пользователя Выбор материнского вейвлета Модуль вычисления мультифрактальных характеристик Модуль расчета частичных функции Модуль веивлег-преобразовапия Модуль построения фильтрации и маркировки линий локальных зкетремумон Функциональные модули Рис. 3. Структурная схема программного приложения Fig. 3. Block diagram of a software application Можно заметить, что IIIIII Matlab имеет встроенный инструментарий не только для проведения вейвлет-преобразования (функция cwt), но и для мультифрактального анализа сигналов на основе методов ММВП и вейвлет-лидеров (функции wtmm и dwtleader соответственно). Применение указанных функций избавляет исследователя от необходимости программной реализации сложных алгоритмов, тем не менее «пользовательский» подход на практике встречает некоторые серьезные ограничения. Например, использование функции wtmm не предполагает вариацию выбора материнского вейвлета, изменение диапазона значений параметра деформации и включает только определенный набор скей-линговых характеристик. Кроме того, результат работы функции cwt, используемой функцией wtmm, не предполагает дальнейшей фильтрации максимумов. Также разработчиками предусмотрено нормированное представление при вычислении статистических функций: соотношение (3) умножается на параметр, что дает сдвиг скейлинговой экспоненты и, как следствие, сдвиг спектра сингулярностей. Таким образом, для получения адекватного результата потребуется искусственная настройка графического вывода. 3. Демонстрационный пример !роверка адекватности работы программного приложения проводилась на тест-объектах - искусственно сгенерированных абстрактных сигналах, являющихся монофрактальными объектами с известным характером поведения скейлинговых характеристик и значениями фрактальных размерностей. С целью верификации и демонстрации особенностей работы модифицированного алгоритма рассмотрим тестовую задачу анализа анизотропного изображения, искусственно синтезированного с использованием коричневого шума для каждой строки изображения. Будем считать, что исходное изображение задано в растровом формате «градации серого», как показано на рис. 4, а, и всему изображению поставлена в соответствие матрица яркости G(x, y). !ользовательский выбор строки изображения дает анализируемый сигнал, профиль g(x) которого представлен на рис. 4, b. Выполним преобразование (1) над сигналом g(x), используя вейвлет «мексиканская шляпа». Результатом являются поверхность абсолютных значений коэффициентов вейвлет-преобразования W(a, b) и ее проекция на плоскость (a, b). !роекция наглядно отображает иерархическую структуру сигнала - характерные разветвления на различных масштабах а. Модули прикладной программы реализуют предложенные алгоритмы и позволяют построить отфильтрованные линии локальных экстремумов и выполнить их уникальную маркировку. Дальнейшая реализация алгоритма предполагает вычисление функций Z(a, q), фиксируя набор параметров деформации q е [-2, 2]. Вычисление функций Z(a, q) дает визуально не различимый результат для положительных q, что служит также верификацией работы алгоритма. Результаты расчета скейлинго-66 Алгоритмы мультифрактального вейвлет-анализа в задачах спецификации растровых изображений вых характеристик приведены на рис. 5. В данном случае зависимость x(q) имеет «спрямленный» вид, а спектр сингулярностей fa) четко локализован и имеет максимум в точке с координатами (0,5; 1), что соответствует проявлению фрактальных свойств анализируемого сигнала. d w ш :нмі »кі ш» ою яю X а « из и« as х Ъ Рис. 4. Растровое тест-изображение и пример выбора строки у* для анализа (пунктирная линия) - а, значение яркости сигнала G(x, у*) в нормированном виде и «профиль» g(x) этого сигнала - b Fig. 4. Raster test-image and an example of selecting the stringy* for analysis (dashed line) - a, the signal brightness value G(x, y*) in the normalized form and the “profile” g(x) of this signal - b Рис. 5. Скейлинговые характеристики анализируемого сигнала g(x), установленные ММВП: скейлинговая экспонента x(q) - а, спектр сингулярностейfa) - Ьб Fig. 5. The scaling characteristics of the analyzed signal g(x) specified by WTMM: the scaling exponent x(q) - a, the singularity spectrumfa) - b Известно, что значение скейлинговой экспоненты т(0) = -1 и для коричневого шума т(2) = 0, что отвечает данным, представленным на рис. 5, а. Для фрактальных сигналов между т(2) и показателем степени р функции спектральной плотности мощности б'(ф) = 1/фр существует взаимосвязь: Р = 2 + т(2). Кроме того, р = 2H + 1, где H - параметр Херста фрактального множества, и H = 0,5 для коричневого шума. Значение максимума функции спектра дает информацию о носителе меры, а абсцисса максимума соответствует значению параметра Херста amax = 0,5 (рис. 5, b). 3.1. Мультифрактальный вейвлет-анализ РЭМ-изображений доменных структур сегнетоэлектриков В качестве прикладной задачи рассмотрим анализ РЭМ-фотографий доменных структур типичных сегнетоэлектриков. Все исследуемые изображения были предварительно представлены в формате «градации серого». Для анализа выбиралось несколько строк из матрицы яркости соответствующего изображения. Формируемый в РЭМ контраст отвечает построчной визуализации сигнала как отклика образца на воздействие электронного зонда. Таким образом, считая скорость движения зонда посто-67 А.Г. Масловская, Л.С. Афанасов янной, анализу подлежит регистрируемый видеосигнал. Значение масштабного параметра а соответствовало диапазону [1, 30], параметр деформации q е [-2, 2]. На рис. 6, а приведен пример результатов расчета мультифрактального спектра для кристалла триглицинсульфата (ТГС). Для расчетов использован материнский вейвлет «мексиканская шляпа». Результат оценки скейлинговых характеристик позволяет охарактеризовать особенности изображений. Скейлинговая экспонента x(q) представляется нелинейной зависимостью, что характерно для мультифрактальной структуры. Спектр сингулярностей позволяет определить набор фрактальных размерностей и оценить уровень максимума amax, соответствующий параметру Херста, и ширину фрактального спектра Да. Для изображения кристалла ТГС при выборе различных строк для анализа абсцисса максимума варьировала в диапазоне 0,32-0,58, ширина спектра Да « 0,5-1. Поскольку метод анализа является локально одномерным - преобразование выполняется каждый раз над отдельной строкой изображения, носителем меры во всех случаях является единица (максимальное значение fmax(a) ограничено единицей). На рис. 6, b, c показана эволюция спектра сингулярностей РЭМ-изображения доменной структуры кристалла ТГС, наблюдаемая в условиях температурного нагрева. а b c Рис. 6. Спектры мультифрактальных размерностей для РЭМ-изображений доменной структуры ТГС, визуализируемых: при комнатной температуре - а, при прогреве до Tc - b, при глубоком отжиге T >> Tc - c Fig. 6. Multifractal spectra calculated for SEM images of the TGS domain structure visualized: at room temperature - a, at heating to Tc - b, at deep annealing T>>Tc - c При прогреве кристалла ТГС выше температуры Кюри Tc ~ 49°C визуализируемый поляризационный контраст соответствует структуре, известной при описании процесса полимеризации гелей как «вязкие пальцы». Такая конфигурация характеризуется некоторым сужением и смещением спектра при amax ~ 0,4. Наконец, глубокий отжиг при температуре Т = 70°C приводит к модификации и выстраиванию «псевдодоменов» в вытянутые цепочки. Мультифрактальный спектр также является достаточно узким и еще более сдвинут в сторону меньших значений экспонент Гельдера а и amax ~ 0,23. Таким образом, при нагреве кристалла ТГС свыше температуры Кюри остаточный поляризационный контраст на поверхности имеет достаточно сложную организацию, даже более «упорядоченную», чем исходная доменная структура. Степень, или уровень, такой упорядоченности можно охарактеризовать спектром фрактальных размерностей с шириной Да « 0,2. Поэтому спецификация геометрии доменных структур сегнетоэлектриков хотя и может быть в некоторых частных случаях проведена с использованием фрактального формализма, в общем требует привлечения методов мультифрактального анализа. Отметим, что дополнительные возможности и перспективы в данном классе задач открывает использование 2D и 3D мультифрактального вейвлет-анализа. Заключение Настоящая работа обобщает результаты развития алгоритмов и их применение для анализа растровых изображений самоподобных структур в рамках одномерного метода максимумов модулей 68 Алгоритмы мультифрактального вейвлет-анализа в задачах спецификации растровых изображений вейвлет-преобразования. Предложен алгоритм фильтрации локальных экстремумов, позволяющий работать с корректным представлением скелетона функции, являющейся результатом вейвлетпреобразования. Алгоритм нацелен на ликвидацию «обрывающихся» и «висячих» максимумов при построении непрерывных линий локальных экстремумов. Сателлитом данного алгоритма выступил алгоритм маркировки линий локальных экстремумов, позволяющий однозначно идентифицировать принадлежность максимума к той или иной линии локальных экстремумов и вычислять статистические функции при отрицательных значениях параметра деформации. На базе IIIIII Matlab разработан программный комплекс, предназначенный для проведения мультифрактального вейвлет-анализа растровых изображений. Работа программного приложения продемонстрирована на тестовой задаче оценки скейлинговых характеристик растрового изображения, сгенерированного на основе коричневого шума. Разработанные программные средства применены для оценки мультифрактальных характеристик растровых изображений доменных структур сегнето-электрических материалов. Сказано, что РЭМ-изображение типичного сегнетоэлектрика ТГС характеризуется спектром фрактальных размерностей, представленным достаточно широким диапазоном. !роведен анализ эволюции спектра сингулярностей для сегнетоэлектрика, подверженного температурному воздействию. Сказано, что остаточный поляризационный контраст при отжиге характеризуется сужением и смещением спектра по сравнению с исходной структурой, наблюдаемой в равновесных условиях.

Скачать электронную версию публикации