Nonparametric identification and control algorithms for multidimensional inertialess processes.pdf Идентификация и управление многомерными безынерционными процессами (объектами) с запаздыванием продолжают оставаться довольно актуальными проблемами в настоящее время. При этом следует учитывать, что по различным каналам многомерного объекта процессы чаще всего могут быть и динамическими, но контроль переменных осуществляется через дискретные интервалы времени. В качестве примера можно привести самые различные технологические, производственные и активные процессы, в частности в стройиндустрии при сухом измельчении клинкера (клинкер - это продукт обжига), который в последующем подлежит измельчению, а измельчение приводит к получению цемента. Основным параметром, определяющим его качество, является активность цемента, т.е. его прочность при сжатии. Но важными технологическими показателями являются также тонкость помола, удельная поверхность, расплыв конуса и др. Их измерение осуществляется через несколько часов: два, три и более, в то время как постоянная времени по различным каналам многомерного объекта составляет 3-5 мин, следовательно, переходный процесс длится в течение 20-25 мин. Это обстоятельство приводит к тому, что мы вынуждены рассматривать те или иные каналы как статические с запаздыванием, а также к зависимости выходных переменных; в частности, активность цемента зависит от тонкости помола и др. В этом случае объект описывается в виде некоторых неявных функций. Таким образом, можно сделать вывод, что многомерный объект в общем виде описывается в виде системы неявных функций. Особенностью настоящей задачи, о которой пойдет речь в статье, является то, что вид такой системы функций априори оказывается неизвестным. Тем не менее исследователь стоит перед необходимостью решить эту систему функций относительно компонент выходных переменных x(t) объекта при известных входных u(t). Подобные многомерные процессы были названы Т-процессами, а объекты, соответственно, Т-объектами [1]. В данной работе рассматривается задача идентификации и управления в условиях непараметрической неопределенности, т.е. в условиях, когда различные каналы многомерного объекта не могут быть представлены в виде уравнений с точностью до вектора параметров [2]. Классическая теория идентификации и управления предполагает описание объекта с точностью до параметров, т.е. является в большинстве случаев параметрической. Это приводит к еще одной важной особенности при идентификации подобных систем, а именно процедура получения прогноза значений компонент выходных переменных при известных входных представляет собой не отдельно взятый алгоритм, а цепочку алгоритмов, которые позволяют решать подобную задачу. Проведенные вычислительные эксперименты по идентификации и управлению Т-процессами показали достаточно высокую эффективность. В статье приведены некоторые фрагменты численных исследований. При этом рассматривались варианты с различной размерностью объектов, уровнем помех, объемом обучающих выборок и др. 72 Непараметрические алгоритмы идентификации и управления 1. Т-процессы Т-процесс - это многомерный дискретно-непрерывный процесс, имеющий стохастическую зависимость выходных переменных X(t) = (= (t),x2(t)xn(t)), j = 1,n [1]. Обозначим вектор входных компонент - =(t) = (= (t), =2 (t),...,=m =t)), = = 1,m . Это приводит к тому, что математическое описание объекта представляется в виде некоторой системы неявных функций вида F, (=(t), X (t)) = Задача идентификации сводится к задаче решения системы нелинейных уравнений Fj (=(t), X(t)) = 0, j = 1,n , (1) относительно компонент вектора X(t) = (xl (t),X2 (t),...,xn (t)), при известных значениях = (t ) = (=1(t), =2 (t),..., =m (t)). В общем виде исследуемая многомерная система, реализующая Т-процесс, может быть представлена следующим образом (рис. 1). Рис. 1. Многомерный объект Fig. 1. Multidimensional object На рис. 1 приняты следующие обозначения: = (t) = (=1 (t), =2 (t),..., =m (t)) - m-мерный вектор входных переменных; x(t) = (x1(tX X2 (tX.^ Xn (t)) - «-мерный вектор выходных переменных, который напоминает мультиколлинеарный вектор с той лишь разницей, что компоненты вектора x(t) могут зависеть и нелинейно; \\ (t) - случайные помехи, действующие на объект; вертикальные стрелки показывают стохастическую зависимость выходных переменных. По различным каналам исследуемого объекта зависимость j-й компоненты вектора х может быть представлена в виде некоторой зависимости от тех или иных компонент вектора u: x = f (=) j = 1, n. Каждый j-й канал зависит от нескольких компонент вектора u, например x = (=, =3,=), где x - составной вектор. Составной вектор - это вектор, составленный из компонент векторов входных и выходных переменных [3]. В этом случае система уравнений (1) примет вид: Fj =~J>(t\\X(t))= 0, j = 1,n, (2) где = (t), x (t) - составные векторы. В общем виде зависимость той или иной компоненты вектора выхода может быть от всех компонент вектора входа. Одним словом, составные векторы выписываются исследователем на основании имеющейся априорной информации. Заметим, что вид уравнений Fj (•), J = 1, n продолжает оставаться неизвестным и не может интерпретироваться как модель исследуемого процесса. Задача состоит в моделировании подобных процессов, т.е. Т-процессов. 2. Т-модели Описание процесса, показанного на рис. 1, может быть принято в виде (2). При этом особенностью моделирования подобного процесса в условиях непараметрической неопределенности является 73 А.В. Медведев, Д.И. Ярещенко тот факт, что вид функций (2) неизвестен. Система моделей исследуемого процесса может быть представлена в следующем виде: Fj {u (t),x (t),xs,us^ = 0, j = \\n, (3) где xs,us - временные векторы (набор данных, поступивший к 5-му моменту времени), но и в этом случае F (•), j = 1, n продолжают оставаться неизвестными. В теории идентификации подобные задачи не только не рассматриваются, но и не ставятся. Обычно идут по пути выбора параметрической структуры (2), но, к сожалению, преодоление этого этапа затруднено из-за недостатка априорной информации. И требуется длительное время для определения параметрической структуры, т.е. представления модели в виде: Fj (u(t),X(t),а) = 0, j = 1,n, (4) где а - вектор параметров. Далее следуют процедура оценки параметров по элементам обучающей выборки ut, xt, i = 1, s , и последующее решение системы нелинейных взаимосвязанных соотношений (4). Успех построения модели в данном случае будет зависеть от качественной параметризации системы (4). Рассмотрим задачу построения Т-моделей в условиях непараметрической неопределенности, т.е. в условиях, когда система (4) неизвестна с точностью до параметров. Таким образом, задача моделирования Т-процессов сводится к прогнозу значений выходных переменных x (t )=x (t), x2 (t),..., Xn (t)) при известных входных u (t ) = (ui(t), u2 (t),..., um (t)). В результате измерений, проводимых на объекте, формируется обучающая выборка xi, ui, i = 1, s . В этом случае оценка компонент вектора выходных переменных X(t) = (xl(t), x2(t),..., хи (t)) при известных значениях входных u (t )=(ul(t К (t um (t)) , как уже было отмечено выше, приводит к необходимости решать систему уравнений (3). В итоге задача идентификации сводится к тому, что при заданном значении вектора входных переменных u = u’, необходимо решить систему (3) относительно вектора выходных переменных X (t )=(xl (t)> X2 (tXn (t)) . По этому поводу следует сделать некоторые специальные замечания, которые и будут содержать сущность отличия проблематики идентификации Т-процессов от общепринятой схемы идентификации [3, 4]. Она состоит в том, что алгоритм идентификации не может быть представлен так, как обычно он принят в теории идентификации: x (t )= F (u (t), а) (5) где а - вектор параметров модели объекта. В случае, если а как-то оценен, формула (5) является моделью исследуемого объекта. При наличии описания (3) этот путь оказывается неприемлемым. Но возможно выстроить цепочку алгоритмов, которые в своей взаимосвязи и будут представлять модель Т-процесса. Таким образом, обычная в теории идентификации формула (5) подменяется взаимосвязанной цепочкой некоторой последовательности алгоритмических соотношений, которые рассматриваются ниже. Общая схема решения такой системы сводится к следующему. Сначала вычисляются невязки по формуле еи =ej(U^(i)A,us), І = \\п, (6) где в j ^П.x (i). xv. us j находятся с использованием непараметрической оценки функции регрессии Надарая-Ватсона [5]: s 8 (i) = Фв; (u , Xj (i)) = Xj (i)- E Xj [i] п Ф i=1 k=1 ( u'k- uk [/]^ s (uk-uk[і]Л j = 1, n, (7) E П Ф i=1 k=1 74 Непараметрические алгоритмы идентификации и управления где - размерность составного вектора ик, < m > < m , в дальнейшем это обозначение используется и для других переменных. Колоколообразные функции Ф ( , т-Л «к- и Н у Cs«k у и параметр размытости c s«k удовлетворяют следу ющим условиям [5]: (8) (9) (10) (11) (12) (13) Ф (•) < да; I Ф (c-1 («к- «к )У«=1; Q(«) Ѵ 7 Ііт^да C-^(с-1 (ик - «ki )) = S(«k - «к); limу^да Cs =0; Ііт у^да К = да. Следующий шаг состоит в оценивании условного математического ожидания: Xj = M{x, | «,8 = oj, j = 1,n . В качестве оценки (13) примем непараметрическую оценку регрессии [Там же]: xj = £ X., и •П Ф і=і к =і Л, к- «к1[і] у« П Ф 8k [і] Л у CS8 у £П ф і=1 к =і к- «к[і] у« П Ф к =і 8кМ j = 1, n (14) У CS8 где колоколообразные функции Ф (•) примем в виде треугольного ядра: и Ф «к1 «кх И у s« у Ф f8k [і]Л c У S8 у J |«к1 «к1 [і]| |«к1 «к1 [і]| ^ ^ (15) C s« 1 1° -8k2[i]| 1° -8k2[i]l ;1 0, Ml , 1. (16) S8 C Осуществляя эту процедуру, получаем значения выходных переменных х при входных воздействиях на объект и = и’, а в этом и состоит основное назначение искомой модели, которая в дальнейшем мжет быть использована в различных системах управления [6], в том числе в организационных [7, 8]. Точность моделирования оценивается по следующей формуле: s Ex. - X («.) I i S V i/| _ 5 j. = -, j = 1, n, (17) £ x- xl i=1 где xt - наблюдения на объекте, xs («) - прогноз выхода объекта, x - среднее значение по каждой компоненте вектора х. 75 А.В. Медведев, Д.И. Ярещенко Поясним механизм работы предложенной цепочки (7) и (14), составляющей алгоритм работы идентификации. Учитывая локальные свойства непараметрических оценок функции регрессии, можно увидеть и проанализировать технологию функционирования цепочки (7) и (14), которая и дает прогноз каждой компоненты вектора выхода х при известных значениях вектора входа u. Действительно, если значения вектора входных переменных u известны, то они (7), (14) тем самым локали (г, u). Далее , при зуют некоторую подобласть в пространстве входных-выходных переменных оценивании (прогнозе) каждой компоненты вектора х в соответствии с (14), в силу локальности непараметрических оценок, выделяется та подобласть, для которых соответствующие е^- близки к нулю. При других значениях входных переменных u подобная ситуация повторяется. 3. Управление дискретно-непрерывным процессом Рассмотрим задачу управления многомерным Т-объектом в условиях непараметрической неопределенности. При этом приведем следующую схему (рис. 2). На рис. 2 введены следующие обозначения: u(t) = (u(t),u2(t),...,um(t)) - входные управляемые переменные процесса; p(t) = (^(t),p2(t),...,^p(t)) - входные неуправляемые, но контролируемые переменные процесса; x(t ) = (x (t), x2 (t),..., xn (t)) - выходные переменные процесса; x*=(xj,...,x*)eQ(x*)c Rn - задающее воздействие, £,(t) - случайные стационарные помехи, действующие на объект. Рис. 2. Схема непараметрической системы управления безынерционным объектом Fig. 2. Diagram of a nonparametric control system of an inertialess object Переменная p(t) является входной контролируемой, но неуправляемой переменной, в частности это могут быть технологические параметры, для измерения которых используется физикохимическая технология. Например, клинкер может быть недообожженным или переобожженным. Такая переменная существенно влияет на объект и на значения выходных переменных x(t). Поэтому задача управления таким объектом усложняется, так как необходимо поддерживать на выходе объекта заданное значение x*(t) при известном значении p(t). Управление дискретно-непрерывным процессом рассматривается в условиях непараметрической неопределенности, т.е. в условиях, когда модель процесса с точностью до вектора параметров отсутствует полностью. В этом случае известные приемы неприменимы [4], и следует использовать другие подходы для решения задачи [9]. В случае отсутствия достаточной априорной информации об исследуемом объекте целесообразно использовать непараметрический алгоритм управления изложенный в [1]: 5 n I u П Ф _ k '=! J= * i x j - xJ \\ p П Ф Jv=i f^v-к \\ J k v °x v c^ Us ~ s n ІП Ф i=1 l=1 V x* - xi ^ J x ^ p f П Ф v=i v *i ^v-^v , k c X J cp J (18) 76 Непараметрические алгоритмы идентификации и управления где (иі, Ц, X, i = 1, s ) - обучающая выборка. Однако в данной задаче естественно использовать следующую цепочку: входную переменную u\\(t) берем произвольно из области Q(u). Входная переменная пг(і) может быть определена в соответствии со следующим алгоритмом: I и2Ф і=1 П Ф j=1 XJ - XJ П Ф и2 = - XJ ) ( * іЛ Цу -ц V сЦу IФ і=1 Л ( V “і ) П Ф j=1 XJ- x^- П Ф XJ ) ( * i V Цу-Цу с V Цу ) (19) Для входной переменной us(t) алгоритм управления будет выглядеть следующим образом: I и3Ф і=1 и - и У f Ф Л иъ = V “і ) V и2 ) П Ф J=1 х^-- XJ XJ ) П Ф ( * і\\ Цу -ц, c V Цу ) IФ і=1 и - и у ( Ф л ( V “і ) V и2 ) П Ф j=1 XJ- XJ П Ф *i Цу-Цу V Сцу ) (20) И так далее для каждой компоненты входа Um(t) объекта. В общем виде для многомерной системы алгоритм управления будет выглядеть следующим образом: ик = s к -1 Iик П Ф і=1 к =1 ( V У n ( ПФ X^- - XJ ПФ Uk ) j=1 XJ ) ( * іЛ Цу -Цу V СЦу ІП Ф =1 к=1 и, - и. ик ) ПФ j=1 xj - xj ПФ ( * іЛ Цу-Цу к = 1, га (21) xj ) В реальных задачах часто число компонент вектора и больше числа компонент вектора х. Если же размерность вектора и превышает размерность вектора х, т.е. m > n, то обычно поступают следующим образом: в число компонент вектора Ц включают компоненты вектора и, с тем чтобы размерность векторов и и х сделать одинаковой [10]. Настраиваемыми параметрами будут параметры размытости сщ , сх и сц , для них будем использовать следующие формулы: си^ =а\\ик -м[|, с =Р|X* -x'.| и сц =у|ц* -Ц,|, где а, в и у - некоторые параметры, большие 1: а > 1, в > 1, у > 1. Следует заметить, что выбор сщ , сх и сц осуществляется на каждом такте управления. При этом если сначала определен сщ , то определение сх и сц осуществляется с учетом этого факта. Однако может быть и наоборот, например сначала определяется с или с , а потом остальные. X і Цу 4. Экспериментальная часть Для проведения вычислительного эксперимента был взят объект с пятью входными переменными м(і )=(«! (t), и (t )>мз (t) и (t )и (t)), принимающими случайные значения в интервале n[t)е [0, 3], и тремя выходными переменными X (t) = (x1 (t)> X2 (t) X (t)) , принимающими значения в интервалах: Xj (t)e[-2; 15], x2 (t)e[1; 10], x3 (t)e [6; 23]. Для данного объекта была сформирована выборка входных и выходных переменных и найдены прогнозные значения выходных переменных при известных входных. Для вычисления использовались объем выборки s = 2 000, параметр размытости с = 0,3, помеха, действующая на компоненты вектора выходных переменных, ^ = 0,07 . Описание объекта 77 А.В. Медведев, Д.И. Ярещенко с точностью до параметров было принято только для проведения компьютерного исследования и оставалось неизвестным для изложенной выше теории. На рис. 3 и 4 по оси абсцисс представлены такты t, по оси ординат - значения выхода объекта и модели. На рисунках представлены 20 точек выборки из-за простоты представления результатов, т.е. каждая сотая точка выборки. «Точкой» обозначены значения выхода объекта, а «крестиком» - значения выхода модели. Как видно из рисю 3 и 4, прогноз значений выходных переменных многомерного объекта по известным входным переменным достаточно удовлетворителен. Рис. 3. Прогноз выходной переменной xi(t) объекта, измеренный с равномерной помехой 7% Fig. 3. Forecast by the output variable xi(t) of the object, measured with uniform interference of 7% Рис. 4. Прогноз выходной переменной X2(t) объекта, измеренный с равномерной помехой 7% Fig. 4. Forecast by the output variable X2(t) of the object, measured with uniform interference of 7% Далее приводятся результаты вычислительных экспериментов для данного объекта при использовании алгоритма управления (21). В проведенном вычислительном эксперименте число компонент вектора u больше числа компонент вектора х. Если же размерность вектора u превышает размерность вектора х, т.е. m > n, то заменим u4 (t) = ц (t), а us (t) = ц2 (t), чтобы размерность векторов u и х сделать одинаковой. Так как входные переменные u(t) принимали случайные значения в интервале u(t)е[0, 3], то ц (t) и ц2 (t) также принимают случайные значения в заданном интервале. Обратим еще раз внимание на то, что исследователю неизвестен вид системы уравнений, описывающих управляемый объект. В качестве информации о последнем используются измерения входных и выходных переменных (u1, ц1, x1, i = 1,5 ) . Как видно из рис. 5, при управлении объектом выход объекта X1(t) близок к задающему воздействию x1(t) . 78 Непараметрические алгоритмы идентификации и управления Далее в качестве задающего воздействия x* (t) будем принимать случайные воздействия в интервале выходной переменной x2 (t) е [1; 10] . Рис. 5. Управление при задающем воздействии x* (t) в виде ступенчатой функции Fig. 5. Control under the setting action x*(t) in the form of a step function Рис. 6. Зависимость выхода объекта x2(t) от задающего воздействия x2 (t) , носящего случайный характер Fig. 6. The dependence of the output of the object X2(t) on the driving influence x2 (t) , which is random Из рис. 6 можно увидеть, что выход объекта X2(t) также близок к задающему воздействию x2(t) . Заключение В настоящей статье рассмотрена задача идентификации и управления многомерным дискретнонепрерывным объектом в условиях непараметрической неопределенности. Основной идеей, изложенной выше, является и при идентификации, и при управлении введение соответствующих цепочек алгоритмов. Приведенные фрагменты вычислительных экспериментов показали достаточно хорошие результаты предлагаемых цепочек идентификации и управления многомерной системы. При статистическом моделировании алгоритмов идентификации и управления исследовалось влияние на объект различных случайных факторов при различных объемах обучающей выборки, различных способах и приемах оценивания коэффициентов размытости. Сравнительно произвольно изменялись также и многомерные объекты, положенные в основу статистического моделирования. В итоге можно ска-79 А.В. Медведев, Д.И. Ярещенко зать, что полученные результаты численных исследований оказались достаточно удовлетворительными для многомерных объектов в условиях непараметрической неопределенности, хотя они незначительно отличались в зависимости от изменения вида объекта, помех и обучающих выборок.

Скачать электронную версию публикации