The problem of optimal synthesis of binary 4-D-nonlinear modular dynamic systems.pdf Модулярные динамические системы (МДС) [1-6] являются одним из важных классов дискретных динамических систем (понятие модулярной динамической системы - синоним понятия «конечные автоматы», «конечные последовательностные машины» и т.д. [7]). Обычные, т.е. однопараметрические, и многопараметрические МДС широко применяются в вычислительной технике, системах диагностики, кодировании и декодировании дискретных сообщений, в криптографии, моделировании, управлении непрерывных и дискретных объектов, в распараллеливании выполнения вычислений для различных задач (см. [1, 2, 4-6, 8-12]). Исследованы также задачи теории и приложений МДС (см.: [1-7, 13-19]). К таким задачам относится и задача синтеза МДС. К настоящему времени разработаны методы и алгоритмы решения задачи синтеза для различных классов однопараметрических и многопараметрических МДС, заданных в виде двухзначного аналога полинома Вольтерры [5, 6, 20-22]. Одним из классов МДС является класс двоичных 40-нелинейных МДС (40-НMДC), который имеет более общие структуры, чем «.D-НMДC, n е {1, 2, 3}. А это стимулирует изучение различных задач также для 40-НMДC. Лишь в работе [23] для полной реакции двоичных 4.D-НMДC, заданных функциональными входно-выходными соотношениями, получено полиномиальное соотношение в виде двухзначного аналога полинома Вольтерры. В данной работе рассматривается вопрос разработки метода и алгоритма решения задачи синтеза для двоичных 40-НMДC. 1. Постановка задачи Рассмотрим двоичную 40-НMДC с фиксированный памятью «0, ограниченной связью Р = р х Р2 х р, со степенью S, описываемую в виде двухзначного аналога полинома Вольтерры [23]: s _ у[п,с1,с2,с3\\ = Х 2 _ Е _ Z е £ m^j,а,р,т]х ;=1 (£1,£2,1з’т)еР(.0 (У,а, р)е.Ь(£1,(2Лъ) хеГ(У1,У2>^з>,и) ^а,р,у х П П ы[и-т(а,р,у,£ о ),с1+д1Оа),с2+д2(ср),с3+д3(р )\\,GF(2). Gfi,y)eQ0(i,i1,£2,i3,m) 5адт=1 Здесь n е T = {0,1,2,...}, сае{...,-1,0,1,...}, а = 1,3 ; y[n, c1, c2, c3] и u[n, c1, c2, c3] есть соответственно выходная и входная последовательности над полем GF(2) ; Ра= {ра(1),...,ра(га)}, -ж< ра(1) р>у * 0), (VP g {1,...,^2})(3а g {1,...Л})(Зу е {1 => (/иа>р>у * 0), (Vy g {1,... А))(3а е {1,...,^})(3Pg {1 „„Л)) =>Ке,т Ф 0); £а е {1,...,гс},а = Щ ; ДААЛ) = {(7Лр)|7еА(АХ aeZ^), peZg(^3)}, где А(А) = {7 = С/і»-»Л)|і^Уі ••• ./ A(^2) = {5 = (0i»-,Of2)|1^ai у) = {ха>р>у = (х(а,р,у,1),...,х(а)),р,у, т^у\\0 < х(а,р,у,1)) < ... 0, a = 1,..., R, (19) где daa, a = 1, R, - элементы матрицы VT •V. Рассмотрим следующую задачу квадратичной оптимизации над полем действительных чисел: Y = V • K, (20) J = (Y - Y0)T(Y - Y0) ^min, (21) где количество компонентов неизвестного вектора K суть R, и задача (20), (21) есть непрерывный аналог задачи (16), (17). Через ka и ha обозначим a-й компонент вектора K и вектора H соответственно. Если решение задачи (20), (21) известно, то решение задачи (16), (17) определяется по формуле [20] h = |1, если ка > 0,5, І0, если k -0,5. (22) 105 Ф.Г. Фейзиев, Н.Б. Абаева В случае удовлетворения входной последовательностью (18) условия ортогональности (19), решение задачи квадратичной оптимизации (20), (21) можно определить по формуле K = (VT •V)-1 • VT • Y0 . (23) Рассмотрим вопрос определения оптимального значения импульсных характеристик h v[j, а, р, Т1, теГг ѵ, (j,а,р) е Div, ѵе{1,...,X,}, i е{1,...,S} . Для этого определим номера компонентов вектора Hi(i,V,(j,а,р)а) = (h vijiа,р)а,ill,...,h vij,а,р)а,i |1)T среди компонентов вектора H. Рассмот- ’ ’ ri,v| рим компоненту hi viO,а,р)а, Тр 1 вектора Hl(i,v,(7,ар)а), где ре{1,...,|гг,ѵ}, ае{1,...,||}. Номер компоненты h v[(j, а, р)а, тр ] можно определить по формуле i 1 Хя |L^,?| I I v 1 |Li,i;| , , , , T=Zi: S rJ+£ 2 Ы + (а- 1)ГаІ + р. (24) Л=1£,=1 Ц=1 £,=1 Ц=1 Таким образом, при ортогональной последовательности (18) решение задачи (16), (17), т.е. оптимальное h,v[(7, а, р)а, 1, ре{1,..., |гг> }, ае{1,...,^г> }, ve{1,..., Хг.}, і е{1,..., S} , можно определить по следующей последовательности: определение вектора K - решения задачи (20), (21), по формуле (23); для каждых ре{1,..., |Г^ }, ае {1,...,|L;,v }, ve{1,..., X,}, і е{1,..., S} определение /^[(/, а, р)а, Тр 1 по формуле h,v [(j , ^ р)а , тр 1 1, если k > 0,5, 0, если k - 0,5, где у определяется по формуле (24). 4. Решение задачи оптимального синтеза 4.0-НМДС при произвольных входных последовательностях Пусть входная последовательность (11) суть произвольная неизвестная двоичная последовательность. Тогда элементы матрицы U, образованной по формулам (5), (6), неизвестны, и условие ортогональности (12) не выполняется. По этой причине решение задачи оптимального синтеза (2), (4) на основе существующих методов невозможно, так как для решения задачи оптимизации этими методами должны быть известны значения элементов матрицы U или ее какие-либо свойства. Поэтому для решения поставленной задачи необходима разработка специального метода, основанного на ор-тогонализации входной последовательности, которая будет поступать на вход 4,0-НМДС. Для реализации этого поставим на вход 4,0-НМДС специальные преобразователи, с помощью которых входная последовательность (11) преобразуется в специальные ортогональные последовательности Kv[n,q,c21: n е [0,N1,q е[0,CJ,c2 е [0,C21,q. е[0,C21}, ve{1,...,X}, i е{1,...,S} . Для каждых ve{1,...,X,}, i е{1,...,S} , в качестве преобразователя можно использовать линейную модулярную систему, описываемую следующим уравнением: П-1 4,v[n,С1,C2,Сз1 = 2 gf,v[n - m - 1,C1,C2,c21 u[m,q,ог,Сз1 + g;,v[n,q,C2,Сз1 , GF(2) , (25) m=0 где giv [n, c1, c2, c31 является импульсной характеристикой соответствующего преобразователя. Выход преобразователя (25) подается на вход тех блоков 4,0-НМДС (2), которые соответствуют (i, v), где ve {1,..., X, }, і е {1,..., S} . Для каждых ve {1,..., X, }, i е {1,..., S}, при известной последовательности K,v [n, c1, c21: n е [0, N1, q е [0, C11, c2 е [0, C21,c3 е[0,C31}, импульсную характеристику преобразователя (25) можно определить по формуле n-1 gi,v[n,c1,c2,c31 = 2 gi,v[n - m - 1,q,c2,c31 u[m,c1,c2,c31 + и;>[n,c1,c2,q1 , GF(2) . m=0 106 Задача оптимального синтеза двоичных 4В-нелинейных модулярных динамических систем Таким образом, для решения задачи синтеза 40-НМДС с произвольными неизвестными входными последовательностями сначала осуществляем ортогонализацию ее входной последовательности, а после этого, применяя методику решения задачи синтеза 40-НМДС с ортогональными входными последовательностями, рассмотренную в разделе 3, решаем поставленную задачу. Заключение В работе задача оптимального синтеза одного класса двоичных 40-НМДС, заданных двухзначным аналогом полинома Вольтерры, сформирована как задача квадратичной оптимизации. Получен матричный вид задачи оптимального синтеза. Введены понятие ортогональной входной последовательности для двоичных 40-НМДС. Приведена методика решения задачи оптимального синтеза двоичных 40-НМДС с ортогональными входными последовательностями. А для решения задача оптимального синтеза двоичных 40-НМДС с произвольными двоичными входными последовательностями предложена методика, основанная на привлечении специальных ортогональных последовательностей. Отметим, что ортогональные последовательности строятся на основе условий ортогональности, учитывающих особенности рассматриваемой МДС. Поэтому в дальнейшем, во-первых, необходимо найти такие условия и, во-вторых, на основе этих условий разработать алгоритм для построения ортогональных входных последовательностей.

Скачать электронную версию публикации