The Pontryagin maximum principle for nonlinear fractional order difference equations.pdf Известно, что принцип максимума Понтрягина является необходимым условием локального минимума. Это условие дает возможность среди всех возможных допустимых управлений выделить те, которые могут претендовать на роль оптимальных. Производные нецелого порядка, дробные дифференциальные и разностные уравнения находят применение в современных исследованиях в теоретической физике, механике и технике. Наличие в уравнениях дробной конечной разности интерпретируется как отражение свойства памяти процесса. Вопросы развития теории и практики применения дифференциальных уравнений дробного порядка и, соответственно, их дискретных аналогов - разностных уравнений дробного порядка - рассмотрены в работах [1-7]. Дискретному принципу максимума для задач оптимального управления посвящено большое количество работ, среди них можно выделить работы [8-10]. В настоящей статье формулируется и доказывается принцип максимума Понтрягина для случая, когда динамика системы задана разностными уравнениями дробного порядка. 1. Основные понятия и постановка задачи Сначала приведем некоторые понятия и определения, необходимые в дальнейшем [1]. Пусть N -множество натуральных чисел вместе с нулем. Для a е Z введем следующие обозначения: Na+ =[a,a + 1,a + 2,...,}, ст(t) = t +1, p(t) = t -1. Определение 1. Расширенный биномиальный коэффициент a V n У определяется следующим образом: n > 0, Г( a +1) Г(a - n + 1)Г(n +1), 4 V n У = (j)j=° У J У j-1 у n j Одновременно дробную сумму и дробный оператор порядка а можно определить еще и следующим образом. Пусть a - произвольное действительное и b = k + a, здесь к е N, к > 2; T = {a, a +1,...,b}, Tk = {a,a +1,...,b -1}. Через T обозначим множество функций определенных на T. Определение 3. Пусть f е T, левые и правые дробные суммы порядка а > °. Они соответственно определяются следующим образом: 1(а-1) Л" ~“f (' ) = FT“\\У('-а( s ))(а_1) f (s) Г(а) s=a b tЛь-f (t) - 7^ У (s-a(t^){a l)f (s). Г (а) s=t+a Определение 4. Пусть 0< а < 1 и р, = 1 - а тогда f еT, левые и правые дробные суммы порядка а определяются следующим образом: a Л V(t) = Л( a Л,Лf (t)), t Л,“ f (t ) = -Л( t ль-'^f (t)). Опишем некоторые свойства дробной суммы и дробной разности: 1. ЛаЛр f (t ) = Ла+р f (t); 2. Л-аЛ^ (t) = f (t)-f (°); 3. ЛаЛ-аf (t )= f (t); 4. ^аf (°) = ° и Лаf (1) = f (1)-f {°) = Лf (1). Теорема (дробное суммирование по частям). Пусть f и g - неотрицательные функции с действительными значениями, определенными на Тк и Тсоответственно. Если 0

Скачать электронную версию публикации