Estimation of the parameter of the uniform distribution of the duration of unextendable dead time in the semi-synchronou.pdf Широкое применение в исследовании реальных физических, технических, экономических и других объектов и систем получили математические модели систем и сетей массового обслуживания (СМО, СеМО). Основными элементами СМО и СеМО при этом являются случайные входящие потоки событий. В подавляющем большинстве работ по исследованию СМО и СеМО до 80-х гг. прошлого века в качестве входящих потоков событий рассматривались пуассоновские потоки событий. Однако в связи с интенсивным развитием вычислительной техники, спутниковых, компьютерных, беспроводных и мобильных сетей связи модель простейшего потока перестала быть адекватной реальным информационным потокам сообщений. Поэтому в это же время была предпринята успешная попытка создания адекватных математических моделей информационных потоков в телекоммуникационных системах - так называемых дважды стохастических потоков. Дважды стохастические потоки можно разделить на два класса: первый класс составляют потоки, сопровождающий процесс (интенсивность) которых есть непрерывный случайный процесс [1, 2]; второй - потоки, сопровождающий процесс (интенсивность) которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным (произвольным) числом состояний. Первые результаты исследований потоков второго класса были опубликованы практически одновременно в 1979 г. в работах [3-5]. В [3, 4] указанные потоки получили название MC(Markov ейаіп)-потоки, в [5] - MVP(Markov versatile processes)-™™^. В статье [6] описанные выше потоки названы также MAP(Markovian Arrival Process)-потоками событий. Подчеркнем, что MC(MAP)-потоки событий являются наиболее характерной и подходящей моделью коррелированных потоков в реальных телекоммуникационных сетях, в частности в широкополосных сетях беспроводной связи вдоль протяженных транспортных магистралей [7-9]. Зарубежными и отечественными авторами при описании подобных входящих потоков событий в СМО и СеМО используются термины: дважды стохастические потоки событий, MAP-потоки, MC-потоки и др. В свою очередь, в зависимости от того, каким образом происходит переход интенсивности из состояния в состояние, МС-потоки можно разделить на три типа: синхронные потоки (потоки, у которых состояние интенсивности меняется в случайные моменты времени, являющиеся момента-28 Оценивание параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося мертвого времени ми наступления событий) [10]; асинхронные потоки (потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени и не зависит от моментов наступления событий) [11]; полусинхронные потоки (потоки, у которых одна часть состояний интенсивности меняется в моменты наступления событий потока, другая часть - в произвольные моменты времени, не связанные с моментами наступления событий потока) [12]. В большинстве публикаций авторы рассматривают математические модели потоков, когда события потоков доступны наблюдению. Однако на практике возникают ситуации, когда наступившее событие влечет за собой ненаблюдаемость последующих событий. Причиной ненаблюдаемости, как правило, выступает мертвое время регистрирующих приборов [13], в течение которого другие события, наступившие в этот период, теряются. Регистрирующие приборы при этом делятся на два вида: с непродлевающимся мертвым временем и продлевающимся [13]. Длительность мертвого времени может быть как детерминированной величиной, так и случайной. Задачи по оценке параметров потока событий в условиях наличия непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности рассматривались в ряде работ, в частности в работе [14]. Однако достаточно открытым остается вопрос изучения потоков событий, когда мертвое время является случайной величиной с тем или иным законом распределения. В частности, в [15] решена задача оценки параметра распределения непродлевающегося мертвого времени случайной длительности в пуассоновском потоке событий, в [16] - в асинхронном потоке событий. В настоящей работе рассматривается дважды стохастический полусинхронный поток событий, функционирующий в условиях непродлевающегося случайного мертвого времени, приводятся результаты статистических экспериментов, реализованных на имитационной модели изучаемого потока. 1. Математическая модель наблюдаемого потока Рассматривается полусинхронный дважды стохастический поток событий (далее - поток), сопровождающий процесс (интенсивность) которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс X(t) с двумя состояниями Si и S2. Будем говорить, что имеет место первое состояние процесса (потока) Si, если X(t) = Хі, и наоборот, имеет место второе состояние процесса (потока) S2, если X(t) = Х2 (Хі > Х2 > 0). Если имеет место первое состояние процесса Si, то в течение временного интервала, когда X(t) = Хі, поступает пуассоновский поток событий [17] с интенсивностью Хі. Если имеет место второе состояние процесса S2, то в течение временного интервала, когда X(t) = Х2, поступает пуассоновский поток событий с интенсивностью Х2. Переход из состояния Si процесса X(t) в состояние S2 возможен только в момент наступления события, при этом этот переход осуществляется с вероятностьюp (с вероятностью 1 -p процесс X(t) остается в состоянии Si). Переход из состояния S2 процесса X(t) в состояние Si может осуществляться в произвольный момент времени, не связанный с моментом наступления события. При этом длительность пребывания процесса X(t) во втором состоянии есть случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону: F(t) = 1 - e~at, t > 0 , где а2 - интенсивность смены состояния S2 на Si. Так как переход из второго состояния в первое не привязан к моменту наступления события во втором состоянии, то поток называется полусинхронным дважды стохастическим потоком событий. В сделанных предположениях X(t) - скрытый марковский процесс (X(t) - принципиально ненаблюдаемый процесс; наблюдаемыми являются только моменты наступления событий потока). После каждого зарегистрированного события в момент времени tk наступает период мертвого времени случайной длительности, который порождается этим событием, так что другие события исходного потока, наступившие в течение этого периода мертвого времени, недоступны наблюдению и не вызывают его продления (непродлевающееся мертвое время). Принимается, что случайная длительность мертвого времени распределена по равномерному закону с плотностью вероятности p(T) = 1/T*, где T - значение длительности мертвого времени, 0 < T < T*. 29 А.М. Горцев, А.В. Веткина Возможный вариант возникающей ситуации приведен на рис. 1, где S1 и S2 - состояния случайного процесса A.(t); временная ось (0, t) - ось моментов наступления наблюдаемых событий в моменты времени t, t2, ...; временная ось (0, t(1)) - ось наступления событий в моменты времени t/1 1, t2(11, ... в первом (Si) состоянии процесса ^(t), на которой также указаны значения длительностей Тх(11, Т2(11, ... мертвых времен, порождаемых наблюдаемыми событиями потока; аналогично для временной оси (0, f2). Белыми кружками обозначены наблюдаемые события, черными - ненаблюдаемые, штриховкой -периоды продолжительности мертвого времени; траектория процесса k(t) привязана к временной оси (0, t(1)). Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Fig. 1. Formation of the observed event flow Рассматривается стационарный режим функционирования наблюдаемого потока. Цели данной работы: 1) на основании выборки tx, t2, ... ,tn моментов наступления событий наблюдаемого потока оценить параметр равномерного распределения длительности непродлевающегося мертвого времени T; 2) исследовать качество оценки T на имитационной модели полусинхронного потока событий. 2. Уравнение моментов для оценивания параметра T Обозначим тк = tk+l - tk, к = 1,2,..., - значение длительности к-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (Ук > 0). В силу того, что рассматривается стационарный режим функционирования потока, плотность вероятности значений длительности к-го интервала есть р(ук) = р^Х т > 0, для любого к, т.е. момент наступления события есть у = 0 . Для оценки неизвестного параметра T используется метод моментов [18]. Для этого находится теоретический момент - математическое ожидание длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке M(т | Т ), затем оценка T вычисляется численно из уравнения моменад тов. Для нахождения теоретического момента имеем формулу M (т|Т*) = | p(T)dт. Здесь плотность 0 вероятности р(т) = [ р(т, Т)dT = [ р(Т)р(т | Т)dT , где (T) - область изменения значений случайной (Г) (Г) величины T. В работе [19] приведена плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в полусинхронном потоке, функционирующем в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности T: (1) 0, 0 < т < Т, у(Т)\\е~К (т-Т 1 +(1 - у(Т) 1 Т, 30 Оценивание параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося мертвого времени где у(Т) = а2 - Л2 - а2 - \\р) Р (Л1 -Л 2 ) Z - ^2 + ^2, Л] ^2 ^2 Ф 0* 1 -- (1 - р )Л2-(а2+Л2) е(Лр+а2 )Т Так как область значений случайной величины мертвого времени представляет собой объединение двух областей, когда 0 < т < Т и когда т > Т, то выражение для плотности р(т) примет следующий вид: (Лр +а2)(л1 -л2 -а2) т Рі (т) - j р(Т)р(т | Т)dT, 0 < т < Т*, р(т) - (2) 0 Т * р2(т) = j р(Т) р(т\\Т^Т, т> Т *. 0 Подставляя выражение (1) в (2) и учитывая, что р(Т) - 1 / Т *, находим е(%ур+а 2>І е(^1р'+а2)т ^ е~Лі 1 j f (x)dr - ze-zx j f2 (x)dx 1 рі(і) =y \\ 1 - a1e~h % - a2e~" - a3 где a1 - f2(x) - ,0

Скачать электронную версию публикации