Estimation procedure of the uniform distribution parameter of unextendable dead time duration in a generalized recurrent.pdf В подавляющем большинстве работ по исследованию систем и сетей массового обслуживания (СМО, СеМО) в качестве входящих потоков событий (сообщений, запросов, заявок) рассматривались простейшие потоки. Однако в связи с бурным развитием (начиная с 80-х гг. прошлого века) телекоммуникационных систем и сетей, беспроводных и мобильных сетей связи модель простейшего потока перестала быть адекватной реальным информационным потокам событий. Таким образом, требования практики послужили стимулом к рассмотрению дважды стохастических потоков в качестве математической модели реальных потоков событий в телекоммуникационных системах и сетях. Интенсивность дважды стохастического потока событий является случайным процессом, а события в потоке наступают в случайные моменты времени. Дважды стохастические потоки можно разделить на два класса: первый класс составляют потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс [1, 2]; второй - потоки, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний. Впервые результаты исследований потоков второго класса опубликованы практически в одно и то же время, в 1979 г., в работах [3, 4] и работе [5]. В [3, 4] указанные потоки получили название MC(Markov ейаіп)-потоки. В [5] - MVP(Markov versatile ргоее88е8)-потоки. В работе [6] отмеченные выше потоки называются также MAP(Markovian Arrival Process)-потоками событий. Основным свойством введенных потоков является их коррелированность. Следует отметить, что MC-потоки событий являются наиболее характерной и подходящей моделью потоков в реальных телекоммуникационных сетях, в частности в широкополосных сетях беспроводной связи вдоль протяженных транспортных магистралей [7-11]. Большинством авторов исследования СМО и СеМО осуществляются в условиях, когда все события входящего дважды стохастического потока доступны наблюдению. В реальности же поступившее на регистрирующий прибор сообщение потока порождает период мертвого времени (период ненаблюдаемости потока), в течение которого другие события потока становятся ненаблюдаемыми для регистрирующего прибора (теряются) [12]. При этом все устройства регистрации делятся на две группы: первую группу составляют устройства с непродевающимся мертвым временем, вторую -устройства с продлевающимся мертвым временем. Период ненаблюдаемости событий потока может продолжаться некоторое фиксированное время, а также может быть случайным. В этой связи можно 65 Л.А. Нежельская, А.А. Першина считать, что мертвое время выступает искажающим фактором при решении различного рода задач оценивания по измерениям моментов наступления наблюдаемых сообщений исходного дважды стохастического потока (часть сообщений исходного потока не наблюдается (теряется)). В настоящей работе в качестве искажающего фактора рассматривается непродлевающееся случайное мертвое время. В мировой литературе в настоящее время имеется, по-видимому, единственная монография [13], где приведено систематизированное изложение теории очередей с коррелированными потоками применительно к телекоммуникационным сетям. Подчеркнем, что изложенная теория и ее применение в телекоммуникационных сетях рассмотрены без искажающих факторов, воздействующих на входящий дважды стохастический поток сообщений. Математические модели дважды стохастических потоков событий с непродлевающимся детерминированным мертвым временем широко использовались и используются при решении задач оценивания состояний и параметров дважды стохастических потоков событий по измерениям моментов наступления событий наблюдаемых потоков [14-19]. Однако достаточно открытым остается вопрос изучения дважды стохастических потоков событий, когда мертвое время является случайной величиной. Здесь отметим работу [20], в которой решается задача оценки параметров асинхронного потока событий в условиях случайного мертвого времени, работу [21], в которой решается задача оценки параметра распределения непродлевающегося случайного мертвого времени в пуассоновском потоке, и работу [22], в которой находятся формулы для начальных моментов общего периода ненаблюдаемости в пуассоновском потоке событий при продлевающемся случайном мертвом времени. В настоящей статье рассматривается рекуррентный обобщенный асинхронный дважды стохастический поток событий (рекуррентный обобщенный MMPP-поток), являющийся обобщением асинхронного потока событий [23], функционирующий в условиях непродлевающегося случайного мертвого времени. Случайное мертвое время распределено по равномерному закону. На параметры обобщенного асинхронного потока событий накладываются ограничения, приводящие его к рекуррентному потоку (особый случай). Данная статья является непосредственным развитием работы [24]. 1. Постановка задачи Рассматривается рекуррентный обобщенный асинхронный дважды стохастический поток событий, сопровождающий процесс которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс X(t) с двумя состояниями X1 и X2 (X1 > X2 > 0). В течение временного интервала, когда X(t) = X, , имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью X,, i = 1, 2. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе (из второго в первое) может осуществляться в произвольный момент времени, не связанный с моментами наступления событий пуассоновского потока интенсивности Xi, i = 1,2 (свойство асинхронности потока). При этом длительность пребывания процесса X(t) в i-м состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром аг-, i = 1, 2. При переходе процесса X(t) из первого состояния во второе инициируется с вероятностью p (0 < p < 1) дополнительное событие во втором состоянии. Наоборот, при переходе процесса X(t) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью q (0 < q < 1) дополнительное событие в первом состоянии. В сделанных предположениях X(t) - скрытый (принципиально ненаблюдаемый) марковский процесс. После каждого зарегистрированного события в момент времени tk наступает период мертвого времени случайной длительности, так что другие события исходного потока, наступившие в течение этого периода мертвого времени (периода ненаблюдаемости), недоступны наблюдению (теряются) и не вызывают его продления (непродлевающееся мертвое время). Принимается, что случайная длительность мертвого времени распределена по равномерному закону с плотностью p(T)=1/T*, 0 < T < T*. В результате формируется наблюдаемый поток событий, отличный от исходного (часть событий исходного потока теряется). Рассматривается стационарный режим функционирования наблюдаемого потока событий (переходными процессами на полуинтервале наблюдения (t0, t], где t0 - начало наблюдений, t - окон-66 Процедура оценивания параметра равномерного распределения длительности чание наблюдений, пренебрегаем). Необходимо в момент времени t на основании выборки ti, 12,..., tn (tn < t) наблюденных моментов наступления событий оценить методом моментов параметр T* (ММ-оценка). 2. ММ-оценка параметра T Обозначим Tk = tk+i - tk, k = 1, 2,., - значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (Tk > 0). Так как рассматривается стационарный режим функционирования наблюдаемого потока, то плотность вероятности значений длительности k-го интервала есть pT„ (тк) = pT„ (т), т > 0, для любого k > 1. В силу этого момент времени tk наступления события без ограничения общности можно положить равным нулю, или, что то же самое, момент наступления события есть т = 0. Пусть теперь длительность непродлевающегося мертвого времени - детерминированная величина T (T > 0); если T = 0, то мертвое время отсутствует. Пусть (tk, tk+i), (tk+i, tk+2) - два смежных интервала, значения длительностей которых есть Tk = tk+i - tk, Tk+i = tk+2 - tk+i соответственно; их расположение на временной оси в силу стационарности потока произвольно. Тогда, полагая k = 1, будем рассматривать два соседних интервала (ti, t2), (t2, ts) с соответствующими значениями длительностей Ti = t2 - ti, T2 = ts - t2; Ti > 0, T2 > 0. При этом Ti = 0 соответствует моменту ti наступления события наблюдаемого потока, T2 = 0 соответствует моменту t2 наступления следующего события наблюдаемого потока. Соответствующая совместная плотность вероятности при этом есть p(Ti, T2I T), Ti > 0, T2 > 0, T > 0; одномерная плотность вероятности есть p(t| T), t > 0, T > 0; (p(t| T) = p(Ti| T), p(t| T) = p(T2| T), т > 0, Ti > 0, T2 > 0, T > 0). В [25] изучен особый случай соотношения параметров потока при T = const (T > 0): (hi - ^2 + ai - a2)2 + 4aia2(i -p) (i - q) = 0. Этот особый случай возможен в трех вариантах: 1) hi + ai = h2 + a2, p = i; 2) hi + ai = h2 + a2, q = i, 3) hi + ai = h2 + a2, p = q = 1. Рассмотрим первый вариант. В [25] при hi + ai = h2 + a2, p = 1 приведены формулы дляp(t| T) иp(Ti, T2I T): [0,0 T; %2(T) = %2 - [%2 - %2 (01T)]e-(ai+a2)T , %2 (01T) = P12 + 5%2[1 - e -(ai+a2)T a. 1 -§e-( a1 + a2 )T a +a2 ■, P12 = a. h + ax 5=(hxh2 - qaa )/(h + a )2; p(Ti, T2I T) = 0; 0 < Ti < T, T2 > 0; Ti > 0, 0 < T2 < T; \\2/ (i) x P(T1, T2 | T) = p(T1 | T)р(т2 | T) - e (a1+a2)T (1 - q)2(h^ - qa^2): aa [h +a -(h -a )e-(a1+a1)T] (a +a2)[(h +a)2 -(hh2 -qaa)e ^a1+a2)T] [1 - (h1 +a1) (т1- T)]: x[ 1 - (h1 + a1)(т2 - T)]e“(Va1)(T1 +T2-2T),т1 > T,т2 > T. (2) В (2) плотности вероятности p(Ti| T), p(T2| T) определены соотношением (1), в котором вместо т нужно подставить либо Ti , либо T2. Замечание 1. Из (2) следует, что в исследуемом особом случае соотношения параметров обобщенный асинхронный поток событий при непродлевающемся мертвом времени фиксированной длительности T (наблюдаемый поток) является коррелированным потоком. Замечание 2. Если в (1), (2) положить 5 = 0, т.е. q = hih2 /aia2, 0 < q < 1, то наблюдаемый поток становится рекуррентным обобщенным асинхронным потоком событий при непродлевающемся мертвом времени фиксированной длительности T; аналогичный результат имеет место, если положить q = i. 67 Л.А. Нежельская, А.А. Першина Изучим случай рекуррентного наблюдаемого потока событий. Подставляя в (1) 5 = 0 (АД2 - qaa = 0), находим р(т| T) в виде р(т| T) = 0, 0 < т < T, Р(х | T) = j1 +CXJ - 1 А1 а2 е~(«! +«2)T [1 -(Ax + а)(т - T)] >е~(Хі+аі)(х_T), х > T. (3) Ax +ах Условие 5 = 0 (А1А2 - qaia2 = 0) определяет условие рекуррентности потока при детерминированном мертвом времени. Это условие не изменится и при случайном мертвом времени. Тогда введенная выше плотность вероятностиру. (х) примет вид (для упрощения записи индекс T* опустим): Р1 (х) = Jp(T)Р(х | T)dT, 0 < х < T*; Р(х) = J p(T)р(х | T)dT = (T) 0 T (4) Р2 (х) = J P(T)р(х | T)dT, х> T . 0 Подставляя в (4) выражение (3), учитывая, что p(T) =1/7*, находим (5) X р (х) =1 {1 - 2е_(^1+«1)х + е_(а1+«2)х} , 0 < т < T*; р2 (Т) = _L е~(Ѵ«1)х j-2 + e(^1+«1)T* + e(Va2)T* + (A + a1)(A a2) (T_ f) T [ a1 +a2 е(A1 a2 ')T _ е(A1 +a1)T’ : > T*. (6) В точке т = T* имеем: 1) p1(T*) = p2(T*), 2) px (T*) Ф p2 (T*), т.е. плотность р(т) в точке т = T* непрерывна, но имеет излом. Для нахождения оценки T* параметра T* используем метод моментов [26, 27]. Теоретическое математическое ожидание случайной величины т - длительности интервала между соседними событиями наблюдаемого потока - определится в виде: T M(х | T ) = J %p(%)dх = J %pl(%)dх + J хр2(х^х . (7) 0 0 Подставляя в (7) выражения (5), (6), получаем T M (т | T*) = - +- 1 2 A1 +a1 A a9 1 - 1 2 a1 +a2 + T* A^ a2 2 (a1 +a2)(^1 +a1) 1 - е -(a1 +a2)T (8) Изучим поведение M(т | T ) как функции переменной T* (T* > 0). Утверждение. Математическое ожидание M(т | T ) является возрастающей функцией переменной I* (T* > 0). Доказательство. Производная функции (8) по переменной T* имеет вид: [(a1 +a2)(Х1 +a1 )T*]2 -2(Х1 -a2)2 1 -(1 + (a1 +a2)T*)е"^1+«2)Г M'(т | T ) = - 2 (a1 +a2)(^1 +a1)T 2 (9) Из (9) при T ^ 0 получаем (A + A, )(a +a ) lim M (т | T ) = 1 2 1 2 > 0. T ^0 2(A1 +a^ Знак производной (9) определяется ее числителем: y(T*) = f(a1 + a2 )(A1 + a1 )T*]2 - 2(A1 - a2 )2 1 - (1 + (a1 + a2 )[)е-(a1 +a[ (10) (11) 68 Процедура оценивания параметра равномерного распределения длительности Имеем у(Т = 0) = 0, y(T* ^ да) = да ; > y'(T*) = 2T* (aj + a2 )2 (Xj + aj)2 -(Xj -a2 )2 e-(a+“2)r > 2T* (ax +a2)2 (Xj + aj)2-(Xj-a2)2 = 2T* (X! +X2 )(aj +a2 )3 > 0, (12) здесь равенство нулю имеет место только при T = 0. Таким образом, из (12) следует, что (11) есть возрастающая функция переменной T (T > 0): возрастает от 0 до да. Тогда y(T) > 0 для T > 0. Отсюда следует, что M'(т | T*) > 0 для T > 0. Присоединение сюда (10) доказывает сформулированное утверждение. Уравнение моментов для нахождения оценки T* параметра T выпишется в виде: M(т | T*) = С, С = (і/n)zU(tk+j -h). (13) Статистика C, являющаяся оценкой математического ожидания M (т | T ) находится путем имитационного моделирования наблюдаемого потока. Решение уравнения моментов (13) определяет значение оценки T* параметра T на основе полученной выборки моментов времени наступления событий ti, ..., tn, tn+i наблюдаемого потока. Так как M(т|T*) есть возрастающая функция переменной T*, то решение уравнения моментов (13) будет единственным, что обеспечивает в итоге состоятельность оценки T* [28]. Решение уравнения моментов (13) возможно только численно. Замечание 3. Уравнение моментов (13) может не иметь решения только в одном единственном случае, когда C < (aj + a2) / (Xj + aj) (С

Скачать электронную версию публикации